862直线与平面垂直的性质定理（第2课时）（精讲）（原卷版）

8.6.2直线与平面垂直的性质定理（第2课时）目录一、必备知识分层透析二、重点题型分类研究题型1:利用直线与平面垂直证明线线平行题型2：利用直线与平面垂直证明线线垂直题型3：直线与平面垂直的性质定理的综合运用题型3：空间中的距离问题角度1：点面距角度2：线面距角度3：面面距题型4：直线与平面所成角探索性问题三、高考（模拟）题体验一、必备知识分层透析知识点1：直线与平面垂直的性质定理(定义)（1）定义转化性质：如果一条直线与平面垂直，那么直线垂直于平面内所有直线.（2）符合语言：，.（3）图形语言：（4）定理应用：线面垂直线线垂直.知识点2：直线与平面垂直的性质定理（1）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.（2）符合语言：，（3）图形语言：（4）定理应用：垂直与平行的转换①线面垂直线线平行②作平行线知识点3：点面距、线面距、面面距（1）点到平面的距离过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.①图形语言：如图，线段的长度就是点到平面的距离.②点面距的范围：.③常用方法：等体积法（2）直线到平面的距离一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.①图形语言：线段的长度就是直线到平面的距离.②当直线与平面相交或时，直线到平面的距离为0.（3）平面到平面的距离如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.①图形语言：线段的长度就是平面到平面的距离(2)当平与平相交时，平面到平面的距离是0.二、重点题型分类研究题型1:利用直线与平面垂直证明线线平行典型例题例题1．（2022·全国·高二专题练习）若直线平面，直线平面，则直线与直线的位置关系为（

）A．异面 B．相交 C．平行 D．平行或异面例题2．（多选）（2022春·河北邯郸·高二大名县第一中学校考期末）已知，，是三条直线，是一个平面，下列命题不正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则例题3．（2023·全国·高三专题练习）如图（1），在梯形中，且，线段上有一点，满足，，现将，分别沿，折起，使，，得到如图（2）所示的几何体，求证：例题4．（2022春·四川南充·高二阆中中学校考阶段练习）已知空间几何体中，，是全等的正三角形，平面平面，平面平面.(1)若，求证：；(2)证明：.同类题型演练1．（2022·四川·高三统考对口高考）设，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线．给出下列四个命题：①若，，则；②若，，则；③若，，，则；④若，，，则．其中正确的命题是（

）A．①② B．②③ C．①④ D．③④2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.3．（2023·全国·高三专题练习）在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD．求证：l∥AE．4．（2022·高一课时练习）如图，已知，于点A，于点B，，，求证：．题型2：利用直线与平面垂直证明线线垂直典型例题例题1．（2023·全国·高三对口高考）如题图，正方体中，为棱上一点．(1)试过点在平面上作直线，写出作法，并说明理由；(2)若为棱中点，是棱中点，求异面直线与所成角的大小．例题2．（2023秋·北京顺义·高二统考期末）如图，在三棱柱中，，且，底面，为中点．(1)求证：；(2)求证：平面例题3．（2023秋·宁夏吴忠·高三青铜峡市高级中学校考期末）如图所示，已知平面，，分别是，的中点，．(1)求证：平面；(2)求证：；例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知空间几何体中，与均为等边三角形，平面平面平面．求证：.例题5．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，，，点在棱上，平面平面.(1)证明：；(2)若平面，求三棱锥的体积.同类题型演练1．（2023·全国·高三校联考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面，，，F是PD的中点，点在棱CD．(1)求四棱锥P－ABCD的表面积；(2)求证：．2．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥EABCD中，EA=EB，AB//CD，AB⊥BC，AB=2CD．(1)求证：AB⊥ED；(2)线段EA上是否存在点F，使DF//平面BCE？若存在，求出；若不存在，说明理由．3．（2023·全国·高三专题练习）在四棱锥中，底面，，,，．证明：.4．（2023·全国·高三专题练习）如图，是边长为的等边三角形，、分别是、的中点，是的重心，将沿折起，使得点到达点的位置，点在平面的射影为点．证明：.5．（2023·上海·高二专题练习）如图，三棱柱中，是底面边长为2的正三棱锥．（1）求证：；（2）若异面直线与所成的角为，求三棱锥的体积．题型3：直线与平面垂直的性质定理的综合运用典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在棱长都等于1的三棱锥中，是上的一点，过作平行于棱和棱的截面，分别交，，于，，．(1)证明截面是矩形；(2)在的什么位置时，截面面积最大，说明理由．例题2．（2023·广西桂林·统考一模）在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，点在底面上的射影为棱的中点，且与底面所成角为，点为线段上一动点.(1)证明：；(2)若，求点到平面的距离.例题3．（2023·上海·高三专题练习）如图，三棱台中，，，四边形为等腰梯形，，平面平面.(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值.例题4．（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥中，，，、分别是棱、的中点.(1)证明：；(2)线段上是否存在点，使得平面?若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．同类题型演练1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)；(2)平面ABE．2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥A­BCD中，且AD⊥DC，AC⊥CB，面ABD⊥面BCD，AD＝CD＝BC，E为AC的中点，H为BD的中点.(1)求证：AD⊥BC；(2)在直线CH上确定一点F，使得AF∥面BDE，求AF与面BCD所成角的度数.3．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，平面底面，底面为平行四边形，.(1)求证：；(2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.4．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥的底面是矩形，E为侧棱的中点，侧面是正三角形，且侧面底面．(1)求证：平面；(2)当为何值时，使得？题型3：空间中的距离问题角度1：点面距典型例题例题1．（2023秋·湖北武汉·高二武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．例题2．（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）如图，棱长为2的正方体中，点是的中点，是侧面的中心，则到平面的距离为（

）A． B． C． D．例题3．（2023秋·上海浦东新·高二上海市建平中学校考期末）在正四棱柱中，，，则点到平面的距离为_____.例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知三棱锥的高为分别为的中点，若平面，平面，平面相交于点，则到平面的距离为___________.例题5．（2023秋·河北唐山·高二唐山市第二中学校考期末）在我国古代数学名著《九章算术》中，四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑中，平面，．为的中点，则点到平面的距离为______．角度2：线面距典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）若正四棱柱的底面边长为1，与底面所成角的大小为60°，则到底面的距离为（

）A． B．1 C．2 D．例题2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，则到平面的距离是________．例题3．（2023·上海·高二专题练习）在棱长为2的正方体中，直线到平面的距离为___________.例题4．（2023秋·重庆巫山·高二校考期末）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面平面，，，的中点为.(1)求证：平面；(2)求直线到面的距离.例题5．（2023·上海·高二专题练习）在直三棱柱中，，，且异面直线与所成的角等于，设；（1）求的值；（2）求直线到平面的距离.角度3：面面距典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体.已知正六面体的棱长为，则平面与平面间的距离为（

）A． B． C． D．例题2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在棱长为的正方体中，、分别是与的中点.(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面之间的距离.例题3．（2023·全国·高三专题练习）在棱长为的正方体中，、、、分别为、、、的中点．(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面之间的距离．例题4．（2023·上海·高二专题练习）如图，正方体中，.（1）求证：平面平面；（2）求两平面与之间的距离.题型3同类题型演练1．（2022秋·辽宁大连·高二统考期末）若四棱柱的所有棱长均为2，且，则到平面的距离为（

）A． B． C． D．2．（2022秋·上海黄浦·高二校考期末）如图，在三棱柱中，，，，侧棱的长为1，则该三棱柱的高等于________3．（2022秋·山东青岛·高一校考阶段练习）如图，正四棱柱的底面边长为2，，E为的中点，则到平面EAC的距离为________．4．（2022春·安徽安庆·高二安庆市第二中学校考期末）某中学开展劳动实习，对棱长为3的正方体木块进行加工.如图，学生需要分别过顶点A和对角线BD对正方体木块进行平面切割，两个切割面与棱，，，分别交于点M，F，E，N，要求两次切割所得到的截面平行，且，则两个截面间的距离为_____________.5．（2022秋·上海闵行·高二校考阶段练习）如图，在边长为的正方体中，为底面正方形的中心.(1)求证：直线平面；(2)求直线与平面之间的距离.题型4：直线与平面所成角探索性问题典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知正三棱柱中，，是的中点.(1)求证：平面；(2)点是直线上的一点，当与平面所成的角的正切值为时，求三棱锥的体积．例题2．（2022秋·上海浦东新·高二校考阶段练习）已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形.(1)求证：；(2)求点到平面的距离；(3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并说明点此时所在的位置.例题3．（2022·全国·高一专题练习）如图，在三棱锥中，侧面，是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，，另一个侧面是正三角形．(1)求证：；(2)在棱上是否存在一点，使与面所成角为？若存在，求的长；若不存在，说明理由．同类题型演练1．（2022秋·浙江·高二校联考期中）如图，三棱锥中，，，．(1)AB上是否存在点Q，使得．若存在，求出点Q的位置并证明，若不存在，说明理由；(2)若，求直线AB与平面PAC所成角的正弦值．2．（2022秋·甘肃武威·高三武威第六中学校考阶段练习）如图，在三棱锥中，，，，为的中点.(1)证明：平面ABC；(2)若E是棱AC上的动点，当的面积最小时，求SC与平面SDE所成角的余弦值.3．（2022·安徽·芜湖一中校联考模拟预测）在三棱锥中，的面积为，点O为的中点，，且．(1)求证：平面平面．(2)E为线段上的点，若与面所成的角为，求的长度．三、高考（模拟）题体验1．（2022·贵州贵阳·贵阳六中校考一模）在三棱柱中，底面，，点是棱上的点，，若截面分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为（

）A． B． C． D．2．（2022·上海