25简单的参数方程（第2课时）课件-高二数学教学课件（2020选择性）

2.5简单的参数方程（第2课时）第2章圆锥曲线沪教版2020选修第一册在求轨迹的方程时，有时根据条件很难直接建立曲线上的动点坐标（x，y）所满足的方程，但如果引入合适的第三个变量，分别建立x、y与第三个变量的联系，问题常常会比较容易得到决．我们先来看一个熟悉的问题：炮弹被击发后的运行轨迹的方程？（空气阻力忽略不计）即使建立平面直角坐标系，炮弹的运动规律也难以直接用炮弹位置的坐标x与y的方程表示出来，但在物理学中，我们知道炮弹的运行轨迹与发射角α、发射时的初速度v０以及运行时间t有关．其中炮弹发射后，发射角α、发射时的初速度v０都是常数，因此炮弹的位置随时间t的变化而变化．不妨引入时间t作为第三个变量来求运动轨迹的方程以炮口所在位置O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为ｙ轴，建立平面直角坐标系，如图２-５-２．设炮弹发射t秒后的位置在点P（x，y）处．由于炮弹的初速度v０

可分解为水平方向和竖直方向的两个速度，其中在水平方向上的初速度为v０ｃｏｓα，在竖直方向上的初速度为v０ｓｉｎα，由于忽略了空气阻力，炮弹运动过程只在竖直方向受到重力作用，容易求得，炮弹的位置坐标（x，y）与间t之间的关系：其中g是重力加速度的值．由于v０、α、g都是确定值．炮弹运动的轨迹是一条抛物线．在这个实际问题中，炮弹运动的轨迹不可能是整条抛物线．首先，因为炮弹击发前是不运动的，必须x≥０．又因为炮弹击中目标后也不再运动，所以炮弹运动轨迹只是x≥０与弹着点之间的一段抛物线．例如，设弹着点与发射点在同一水平线上，则恒有x≥０，由上述讨论可以看到，在求曲线方程时，我们可以先分别求出x、y与某个随动点变化的变量t所满足的方程x＝f（t）、y＝g（t），得到方程组：其中t在某个范围内变动．如果对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点P（x，y）都在曲线C上；反之，对于曲线C上任意一点的坐标，都存在t的某个允许值使得方程组①成立，那么方程组①就叫做曲线C的参数方程．变量t叫做参变量或参数．相对于参数方程来说，直接给出曲线上点的坐标x、y间关系的方程F（x，y）＝０叫做曲线的普通方程．如果可以消去参数方程中的参数t，就可以将参数方程化为普通方程．但在不少情况下，由曲线的参数方程并不一定能够化为曲线的普通方程．举一个通俗的例子．假设有一个小虫在直角坐标平面内爬行，小虫的位置坐标（x，y）是时间t的函数：这揭示了小虫随时间t变化的运动规律，就是小虫运动轨迹的一个参数方程．由于小虫爬行的轨迹不似炮弹那样一直向前，可以倒退及自身相交，不可能化为普通方程来表示，这时，用参数方程来表示这一复杂的运动轨迹就成了唯一合理的选择了。由此可见，用参数方程来表示一个曲线，不仅有具体的物理或几何意义，而且更具有一般性，应用起来有时也更为简便．解

如图２-５-３，设直线y＝x＋b被椭圆所截得的线段的两个端点A、B的横坐标为x１、x２，线段AB中点M（xM，yM）．联立直线方程和椭圆方程得方程组课本练习随堂检测1.参数方程（t为参数），化为一般方程为_______________．2.设圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．（参数法）：设动弦PQ的方程为y＝kx，代入圆的方程，得