第06讲三角恒等变换（六种题型）-冲刺2023年高考数学热点重难点题型解题方法与策略真题演练（新高考专用）

第06讲三角恒等变换（六种题型）【热点、重难点题型】题型一：已知角求三角函数值一、单选题1．（2022秋·江苏扬州·高三校考阶段练习）（

）A．4 B． C． D．【答案】D【分析】利用同角三角函数基本关系式，诱导公式和辅助角公式直接求解.【详解】.故选：D.2．（2023·全国·高三专题练习）利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为之间角的三角函数值，而这个范围内的三角函数值又可以通过查三角函数表得到.下表为部分锐角的正弦值，则的值为（

）（小数点后保留2位有效数字）0.17360.34200.50000.64270.76600.86600.93970.9848A． B． C．0.36 D．0.42【答案】B【分析】利用诱导公式化简得原式即得解.【详解】解：故选：B3．（2023春·江苏南京·高三南京市宁海中学校考阶段练习）（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二倍角的正弦公式以及两角差的正弦公式化简可得结果.【详解】.故选：A.4．（2022·全国·高三专题练习）中，，（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求出，再运用三角函数积化和差公式，得到角为等差数列的余弦和，即可求解．【详解】中,,则，又上述各式相加得，故，故原式.故选：B．【点睛】本题考查了三角恒等变换求值，对角为等差数列的余弦和一般乘以角的正弦累加即可，对于积化和差公式，一定要做到熟练运用．5．（2022·河南·校联考模拟预测）已知，，，且计算可知．有下述四个结论：①，

②，

③，

④．其中所有正确结论的编号是（

）A．①③ B．①④ C．②④ D．①②③【答案】D【分析】根据余弦的二倍角公式和诱导公式推导出，，，从而得到，，利用正弦二倍角公式推导出，在此基础上，推导出.【详解】，所以；，，所以，；；，，所以，所以①②③正确，故选：D．二、多选题6．（2023·全国·高三专题练习）下列四个等式正确的是（

）A．B．C．D．【答案】AD【分析】根据两角和的正切可判断A的正误，根据同角的三角函数基本关系式及诱导公式可判断B的正误，根据倍角公式可判断C的正误，根据辅助角公式可判断D的正误.【详解】∵，∴，所以A正确；∵设，则，而，故即，故B错误.，所以C错误，，所以D正确，故选：AD．7．（2023·湖南株洲·统考一模）已知是函数的零点，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】设，由可得，再根据选项依次判断正误即可.【详解】设，，，，即，所以要使为系数都是整数的整式方程的根，则方程必须包含因式.由中的最高次数为4，是它的一个零点，因此，即.对选项，，是正确的；对选项，，是正确的；对选项，，是正确的；对选项，，当时，最小值为，当时，无最小值，因此选项是错误的.故选：.【点睛】关键点睛：本题解题关键在于将含有无理数的平方根式通过两次平方化成有理数，得到含有无理数解的有理数整式方程，从而得解.题型二：已知三角函数值求角一、单选题1．（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）若，则（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】将用替换后，解方程解出即可.【详解】因为，可得，可得，解得，因为，所以，所以，所以.故选：C.2．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用三角函数的符号确定角、、的范围，再利用两角差的正弦公式、同角三角函数基本关系的商数关系得到关于和的方程组，再利用两角和的正弦公式求出，进而结合角的范围进行求解.【详解】因为，，所以或；若，则，此时（舍）；若，则，此时（符合题意），所以，即；因为且，所以且，解得，，则，所以.故选：C.3．（2022秋·广东梅州·高三五华县水寨中学校考阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，易得，，从而可求出，即可得出答案.【详解】解：因为，所以，即，所以，即，所以，所以或，所以或，，当时，，不合题意，舍去，当时，，所以.故选：C.二、填空题4．（2022秋·天津西青·高三统考期末）在等腰直角三角形中，，点在三角形内，满足，则______.【答案】【分析】延长、、，与对边分别交于点、、，利用条件可得，，进而可得，延长至点，使得，利用两角和的正切公式可得，进而得，即求.【详解】如图，延长、、，与对边分别交于点、、.，，即，∴，同理∴，又在等腰直角三角形中，，延长至点，使得.则.记，.则，四点共圆，，.故答案为：三、解答题5．（2022秋·河北保定·高一保定市第三中学校考期末）已知，，，.(1)求的值；(2)求的值：(3)求的值.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）同角三角函数平方关系求得，，再由及差角余弦公式求值即可.（2）由诱导公式、二倍角余弦公式可得，即可求值.（3）由（1）及和角正余弦公式求、，由（2）及平方关系求，最后应用差角余弦公式求，结合角的范围求.【详解】（1）由题设，，，∴，，又.（2）.（3）由，则，由，则，∴，，又，，则，∴，而，故.6．（2022·山东日照·统考一模）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.(1)求角A；(2)若，求△ABC的面积.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据正弦定理可得，再由三角恒等变换即可求得A；（2）根据题意和正弦定理可得，利用余弦定理可求得，结合三角形面积公式计算即可．(1)因为sinA+asinB＝，由正弦定理，得，所以，得，又，所以；(2)由(1)知，，，由正弦定理，得，由余弦定理，得，即，整理，得，由得，此时，则，所以S△ABC＝bcsinA＝．7．（2022·四川泸州·四川省泸县第四中学校考模拟预测）已知函数，在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求C；（2）点D为边中点，且．给出以下条件：①；②．从①②中仅选取一个条件，求b的值．【答案】（1）；（2）①;②.【分析】（1）利用二倍角公式，和差角公式将式子进行整理化简，得出最简形式，以及，求出；（2）选①，利用D为AB边的中点，向量加法的平行四边形法则，平方后得到关于b的方程，求出b=4；选②，则用余弦定理得到，由（1）得，解出，以及或.【详解】解：（1）∵∴∵∴∴，（2）若选①∵∴两边平方得：∴；解得或（舍去）∴；若选②由得：由（1）得解得：解得：或由，得（若同时选①②的不给分）【点睛】（1）二倍角公式，和差角公式要熟练掌握，特别注意的范围;（2）选择①或者②，就要根据条件的特点来列方程解决问题,注意条件信息的准确应用.8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，向量，．(1)若，求的值；(2)当时，若向量，的夹角为，求．【答案】(1)1(2)或1【分析】（1）利用向量平行的坐标表示求得，再利用倍角公式与辅助角公式化简，最后将代入即可求得的值；（2）由推得或，分类讨论两种情况得到与的值，进而利用向量的数积量运算求得，的夹角的余弦值，从而求得.【详解】（1）∵，，，∴，即，∴，即，由题意，得，∴．（2）由（1）知，令，得，即，故或，即或，①当时，当为偶数时，，；当为奇数时，，；此时，故；②当时，当为偶数时，，；当为奇数时，，；此时，故；综上：的值为或1．9．（2021·全国·高三专题练习）解方程：.【答案】，，.【分析】因为本题是要解方程，而不是估值，所以思路比较灵活.首先，通过放缩法可以得到时，，时，即，进而可以判断，然后设，解出方程即可.【详解】先对x进行估值：当时，，从而当时，，即.故有，令，则有.因为，所以，所以，，..而它是一个周期函数，n只要取0、1、2即可.因此原方程的解为：，，.【点睛】本题思路比较特殊，如果仅仅针对高考，不建议过度深挖；但是，本题的想法非常新颖，如果作为拓展题，应当是非常好的.题型三：已知三角函数值求函数值一、单选题1．（2021·全国·统考高考真题）若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：．故选：C．【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．2．（2020·全国·统考高考真题）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.【详解】由题意可得：，则：，，从而有：，即.故选：B.【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.3．（2022·全国·高三专题练习）若，，则的值为（

）A． B． C．0 D．【答案】D【分析】结合二倍角公式化简可求，再结合万能公式可求.【详解】因为，，所以且，解得，所以.故选：D4．（2022·全国·高三专题练习）已知，，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】易知，利用角的范围和同角三角函数关系可求得和，分别在和两种情况下，利用两角和差正弦公式求得，结合的范围可确定最终结果.【详解】且，，.又，，.当时，，，，不合题意，舍去；当，同理可求得，符合题意.综上所述：.故选：.【点睛】易错点睛：本题中求解时，易忽略的值所确定的的更小的范围，从而误认为的取值也有两种不同的可能性，造成求解错误.5．（2023·全国·高三专题练习）已知，函数，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知条件，结合三角函数的性质可得，，从而利用即可求解.【详解】解：令，，则或，令，，则，又，，所以，，，，因为，，所以，，所以，故选：B.二、填空题6．（2022·全国·高三专题练习）已知点是轴上到距离和最小的点，且，则的值为______(用数据作答)．【答案】##0.5【分析】求出点A关于y轴的对称点，求出直线与y的交点即得m值，再利用诱导公式及二倍角公式计算作答.【详解】依题意，点A关于y轴的对称点，则经过点，B的直线斜率，直线的方程为，于是得点，此时有，由两点之间线段最短知，点是轴上到距离和最小的点，因此，，，则，所以的值为.故答案为：【点睛】关键点睛：给值求值问题，将所求值的角用已知值的角表示，再借助三角变换公式求解．7．（2023·山东·日照一中校考模拟预测）已知函数，若对任意实数，恒有，则____．【答案】【分析】对进行化简得到，根据正弦函数和二次函数的单调性得到，进而确定，，，利用两角差的余弦公式得到．【详解】对任意实数，恒有则即，【点睛】本题的关键在于“变角”将变为结合诱导公式，从而变成正弦的二倍角公式．三、双空题8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．若，则___________；若的定义域为，则零点的个数为_________．【答案】

1【分析】利用诱导公式及二倍角的正切公式化简函数，再代入求解；由已知得，构造函数，，利用导数研究函数的单调性结合函数的零点存在性定理即可求解.【详解】，若．则．令，，整理得．设，若，则．则，，求导，当时，．又，，，故在上存在唯一的零点，又在上单调递增，所以在区间上零点的个数为1．故答案为：，1四、解答题9．（2020·天津·统考高考真题）在中，角所对的边分别为．已知．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；（Ⅲ）先计算出进一步求出，再利用两角和的正弦公式计算即可.【详解】（Ⅰ）在中，由及余弦定理得，又因为，所以；（Ⅱ）在中，由，及正弦定理，可得；（Ⅲ）由知角为锐角，由，可得，进而，所以.【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.10．（2023春·江西宜春·高三江西省丰城中学校考开学考试）已知的部分图象如下图，且.(1)求的解析式.(2)令，若，求.【答案】(1)；(2).【分析】（1）先由最大值得到，再由周期与的范围求得，再代入点求得，由此得到的解析式.（2）利用三角恒等变换化简，再利用整体代换法，结合正弦函数的和差公式求得，从而求得.【详解】（1）由图像可知，的最大值为，又，所以，因为，所以，又由图像可知，则，所以，得，又，故，所以，将点代入，得，即，因为，则，所以，则，所以.（2）因为，因为，所以，则，因为，所以，故，所以，所以，所以.题型四：利用三角恒等变换解决三角函数性质问题一、单选题1．（2022·北京·统考高考真题）已知函数，则（

）A．在上单调递减 B．在上单调递增C．在上单调递减 D．在上单调递增【答案】C【分析】化简得出，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为.对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；对于D选项，当时，，则在上不单调，D错.故选：C.2．（2022·全国·高三专题练习）已知把函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数的图象，若，若，，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先化简函数，然后根据图像的变换得函数的解析式，通过判断得，同时令取得最大值或最小值时，，再结合函数的图像，即可求得的最大值.【详解】．将图象向右平移至个单位长度，再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数，可得，所以，，∴，同时令取得最大值或最小值时，．当，时，，根据函数的图象可知的最大值为个周期的长度，即故选：C.【点睛】关于三角函数解析式的化简，一般先利用诱导公式或者和差公式展开将解析式化为同角，然后利用降幂公式对函数进行降次处理，最后利用辅助角公式代入化简，最终将解析式化为的形式.3．（2022秋·北京·高三北京八中校考阶段练习）在中，，点在所在平面内，对任意，都有恒成立，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用以及化简得到，从而得到在下方时最大，设，通过勾股定理表示出，结合倍角公式以及辅助角公式即可求得最大值.【详解】如图，因为，由可得，即，两边平方得，化简得，又，令，可得，即，整理得对任意恒成立，故，整理得，即，即，故，要使最大，显然在下方，如图2所示，设，过作的垂线交的延长线于，由可得，又，故，又，可得当，即时，有最大值，最大值为，故的最大值为.故选：A.【点睛】本题关键点在于先利用以及化简得到，结合恒成立求得，进而设出，表示出，利用二倍角公式及辅助角公式求最值即可.二、多选题4．（2022·山东·山东师范大学附中校联考模拟预测）已知函数，下列关于此函数的论述正确的是（

）A．为函数的一个周期 B．函数的值域为C．函数在上单调递减 D．函数在内有4个零点【答案】CD【分析】A选项，举出反例即可；BD选项，从函数奇偶性和得到周期性入手，得到函数的图象性质，得到零点和值域；C选项，代入检验得到函数单调性，判断C选项.【详解】选项A：因为，所以A错误；选项B、D：函数定义域为R，并且，所以函数为偶函数；因为，为周期函数，故仅需研究函数在区间上的值域及零点个数即可，因为时，；时，；当时，令，则，可得且仅一个零点；当时，令，则，可得且仅一个零点；所以函数的值域为且在上有4个零点．故选项B错误，选项D正确．选项C：函数在上，有，所以，则得函数在该区间上为单调减函数．故选项C正确．故选：CD．5．（2022·全国·高三专题练习）由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．一般地，存在一个（）次多项式（），使得，这些多项式称为切比雪夫（P．L．Tschebyscheff)多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】通过求，来判断出正确选项.【详解】，所以，A错误.，所以，B正确..所以，由于，所以，由于，所以，所以由解得，所以，C正确.，所以D错误.故选：BC【点睛】三角函数化简求值问题，关键是根据题意，利用三角恒等变换的公式进行化简.三、解答题6．（2020·浙江·统考高考真题）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（I）求角B的大小；（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．【答案】（I）；（II）【分析】（I）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B的大小；（II）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得的取值范围.【详解】（I）[方法一]：余弦定理由，得，即.结合余弦定，∴，即，即，即，即，∵为锐角三角形，∴，∴，所以，又B为的一个内角，故.[方法二]【最优解】：正弦定理边化角由，结合正弦定理可得：为锐角三角形，故.（II）[方法一]：余弦定理基本不等式因为，并利用余弦定理整理得，即.结合，得.由临界状态（不妨取）可知.而为锐角三角形，所以.由余弦定理得，，代入化简得故的取值范围是.[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质结合(1)的结论有：.由可得：，，则，.即的取值范围是.【整体点评】（I）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解.7．（2022·四川泸州·统考模拟预测）已知函数.（1）求的最小正周期和的单调递减区间；（2）当时，求函数的最小值及取得最小值时x的值.【答案】（1）π；；（2）当时，函数取得最小值，最小值为．【分析】（1）利用二倍角降幂公式、辅助角公式可得出，利用周期公式可计算出函数的最小正周期，解方程可得出函数的对称中心坐标；解不等式，可得出函数的单调递减区间；（2）由，计算出的取值范围，利用正弦函数的性质可得出该函数的最小值以及对应的的值.【详解】（1），所以，函数的最小正周期为.由，可得，函数的对称中心为；解不等式，解得.因此，函数的单调递减区间为；（2）当时，，当时，即当时，函数取得最小值，最小值为．【点睛】本题考查正弦型函数周期、对称中心、单调区间以及最值的求解，解题的关键就是要将三角函数解析式化简，借助正弦函数的基本性质求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.8．（2022秋·山东济宁·高三统考期中）已知函数.(1)求函数的单调递增区间；(2)若函数在区间上恰有个零点，（i）求实数的取值范围；（ii）求的值.【答案】(1)(2)（i）；（ii）.【分析】（1）利用诱导公式、二倍角公式和辅助角公式可化简得到；根据正弦型函数单调性的求法可求得单调递增区间；（2）（i）令，将问题转化为与在上恰有个不同的交点，利用数形结合的方式即可求得的取值范围；（ii）由（i）中图像可确定，，由此可得，整理可得，由两角和差正弦公式可求得的值，即为所求结果.【详解】（1）；令，解得：，的单调递增区间为.（2）（i）由（1）得：，当时，，设，则在区间上恰有个零点等价于与在上恰有个不同的交点；作出在上的图像如下图所示，由图像可知：当时，与恰有个不同的交点，实数的取值范围为；（ii）设与的个不同的交点分别为，则，，，即，整理可得：，，.9．（2022秋·湖南常德·高三湖南省桃源县第一中学校考阶段练习）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.(1)求的解析式与单调递减区间；(2)已知在时，求方程的所有根的和.【答案】(1)，，(2)【分析】（1）将函数变形为，由函数的周期及奇偶性可求解；（2）解方程得或，即或，利用正弦函数的性质可求解.（1）图象的相邻两对称轴间的距离为，的最小正周期为，即可得，又为奇函数，则，，又，，故的解析式为，令，得函数的递减区间为，.（2），，，方程可化为，解得或，即或当时，或或解得或或当时，，所以综上知，在时，方程的所有根的和为10．（2023秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知函数.（1）求的最小正周期及在区间上的最大值（2）在锐角中，f（）=，且a=，求b+c取值范围.【答案】（1）最小正周期为，最大值；（2）.【分析】（1）先利用三角恒等变换对函数进行化简，进而通过三角函数的图像和性质的应用得到答案；（2）利用正弦定理进行边化角，然后借助三角恒等变换进行化简，最后通过三角函数的图像和性质的应用求出结果.【详解】（1），所以的最小正周期为.因为，所以于是，当，即时，取得最大值（2）在中，，，，.由正弦定理，，，，，.题型五：三角恒等变换与平面向量结合问题一、单选题1．（2022·北京·统考高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，设，，所以，，所以，其中，，因为，所以，即；故选：D

2．（2022·全国·高三专题练习）奔驰定理：已知点O是内的一点，若的面积分别记为，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是的垂心，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】延长交于点P，则利用垂心的性质结合三角形面积的求法可得，再利用和可得，不妨设，利用可求出的值，从而可求出的值.【详解】延长交于点P，是的垂心，，．同理可得，．又，．又，．不妨设，其中．，，解得．当时，此时，则A，B，C都是钝角，不合题意，舍掉．故，则，故C为锐角，∴，解得，故选：B．【点睛】关键点点睛：此题考查向量的线性运算，考查三角函数恒等变换公式的应用，解题的关键是利用垂心的性质得，再结合已知条件得，设，再利用两角和的正切公式可得，从而可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于较难题.3．（2023·全国·高三专题练习）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】由O是垂心，可得，结合可得，根据三角形内角和为π，结合正切的和差角公式即可求解.【详解】∵是的垂心，延长交与点，∴，同理可得，∴：，又，∴，又，∴，不妨设，其中，∵，∴，解得或，当时，此时，则都是钝角，则，矛盾.故，则，∴是锐角，，于是，解得.故选：A.二、多选题4．（2023秋·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期末）正方形ABCD的边长为2，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意点，，则（

）A．最大值为 B．最大值为1C．最大值是2 D．最大值是【答案】BCD【分析】以AB中点O为原点建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，根据三角函数的性质可判断各选项.【详解】以AB中点O为原点建立平面直角坐标系，，，，设，则，，，由，得且，，故A错；时，故B正确；，故C正确；，故D正确．故选：BCD.三、填空题5．（2022·全国·高三专题练习）已知非零平面向量满足，则的最大值为__________．【答案】【分析】设且且，根据已知得到轨迹为，由圆的对称性研究其上半部分，画出示意图并令，，，利用求坐标，进而得到坐标，最后应用两点距离公式、三角换元、辅助角公式得到，即可得最大值.【详解】不妨设且且，则且，即研究在圆的上半部分，如上图，若，，则(注意D在第二象限或y轴上)，又，若轴于，轴于，则，所以，且，，则，，故，由，则，又，令，则且，当时，，故答案为：【点睛】关键点点睛：首选确定向量终点的轨迹为圆，再由圆的对称性研究在圆上半部分对应向量终点坐标，最后应用两点距离公式、三角换元、辅助角公式及正弦函数性质求最值.四、解答题6．（2022·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量，满足，，且．(1)求角A；(2)若是锐角三角形，且，求的取值范围．【答案】(1)或(2)【分析】（1）由可得，由正弦定理可得，即可结合角的范围求出角A；（2）是锐角三角形，，，结合正弦定理得，由三角恒等变换得，根据B的范围讨论值域即可（1）因为，，且，所以，即．在中，由正弦定理得，而，所以，又，所以或．（2）因为是锐角三角形，所以，所以，又，且，所以．由及正弦定理得，则，，所以，而，则，故，所以的取值范围．7．（2022·四川德阳·统考三模）在ABC中，角A，B，C的对边分别为，且满足(1)求角B的大小；(2)若，求ABC面积的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据平面向量数量积定义，结合正弦定理将边化为角，即可求得B的大小.（2）由已知得到，结合余弦定理和基本不等式求得的最大值，进而由三角形面积公式求得的面积的最大值.(1)，由平面向量数量积定义可得，，，，，，(2)由余弦定理得，∴，当且仅当时取“等号”，∴的最大值为4，的最大值为.8．（2022秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）设A，B，C是△ABC的三个内角，△ABC的面积S满足，且，．(1)若向量，，求的取值范围；(2)求函数的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据数量积的运算结合面积公式可得，再计算可得，结合正弦函数的范围求解即可；（2）化简，再令，结合三角函数的范围与二次函数的最值求解即可.【详解】（1）由可得，又，故，即.又是△ABC的三个内角，故.易得，.故，因为，故，，故，故的取值范围为（2）.设，则则.又，故当时，取最大值.9．（2022秋·江苏盐城·高三盐城市伍佑中学校考阶段练习）如图，扇形AOB的圆心角为，半径为1．点P是上任一点，设．(1)记，求的表达式；(2)若，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）建立平面直角坐标系，根据三角函数的定义可得，再根据题意求得，进而根据辅助角公式得到的表达式即可；（2）根据题意可得，进而化简得到，再代入可得，，进而结合三角函数的范围求解即可【详解】（1）由题意，以为坐标原点，为轴正向建立如图平面直角坐标系，则，.故，所以，即（2）由（1），，即，故，解得，其中，故，即，，故，所以，故，即的取值范围为题型六：三角恒等变换与解三角形结合问题一、填空题1．（2023·福建泉州·高三统考阶段练习）在中，，，，D是边上的一动点，沿将翻折至，使二面角为直二面角，且四面体的四个顶点都在球O的球面上．当线段的长度最小时，球O的表面积为___________．【答案】##【分析】根据条件作出图形，过点作于点，连接，结合面面垂直的性质得到是直角三角形，又在中，设（），得到，，，再根据余弦定理和勾股定理用表示，结合三角恒等变换和正弦函数的图象与性质得到时，线段的长度最小，利用球的截面圆性质找到四面体的外接球球心也是的外接圆圆心，最后结合正弦定理和球的表面积公式即可求解.【详解】由题意，作出，如图1所示，沿将翻折至，使二而角为直二面角，得到四面体，如图2所示.如图2，过点作于点，连接，因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以，由图形翻折的性质，在图1中，作出点，连接和，可得，又，，，则，，，设（），则，，，在中，由余弦定理得：，即，在图2中，，即，又，则，所以当，即时，取得最小值，此时线段的长度最小，则，，如图3，在四面体中，作的中点，并连接，则是的外接圆圆心，又过点作平面的垂线，由球的截面圆性质知四面体的外接球球心必定在该垂线上，也在平面上，即的外接圆圆心，设该球的半径为，则有，在中，由正弦定理得：，则，所以球O的表面积为，故答案为：.【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置.对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.二、解答题2．（2022秋·湖南岳阳·高三校考阶段练习）已知△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角A的大小；(2)若点D在边BC上，且，，求△的面积.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由正弦定理的边角关系、三角形内角的性质可得，再应用二倍角正弦公式化简可得，即可求A的大小.（2）由题设可得，法一：由正弦定理及可得，再由余弦定理得到，最后根据三角形面积公式求△面积；法二：根据三角形面积公式有，由△的边BD与△的边DC上的高相等及已知条件可得，再由余弦定理得到，最后根据三角形面积公式求△面积；【详解】（1）由已知及正弦定理得：，又，∴，又，∴，则，而，∴，则，故，得.（2）由，，则.法一：在△中，，①在△中，，②∵，∴，③由①②③得：，又，得，∴，不妨设，，在△中，由余弦定理可得，，得，所以.法二：.∵△的边BD与△的边DC上的高相等，∴，由此得：，即，不妨设，，在△中，由余弦定理可得，，得，所以.3．（2022秋·浙江杭州·高三学军中学校考期中）在中，角的对边分别，.(1)求；(2)若的周长为4，面积为，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用、和诱导公式、两角和差的余弦公式进行化简，再结合角的范围进行求解；（2）利用余弦定理、三角形的面积公式、周长公式得到关于的方程组进行求解.【详解】（1）解：因为，所以，即，所以，因为，所以,所以又，故，所以，即；（2）解：由余弦定理，得，即，又，所以，即整理得，由面积为，即，所以，.4．（2022·全国·高三专题练习）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知在四边形ABCD中，，，且______.(1)证明：；(2)若，求四边形ABCD的面积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）选择①，由正弦定理及角度关系推出及，结合两角和的正弦公式及诱导公式，进行证明；选择②，利用正弦定理推导出，直接利用两角和的正弦公式及诱导公式即可推出结论；选择③，由正弦定理，面积公式及面积的倍数关系得到，，使用两角和的正弦公式及诱导公式进行证明；（2）在证明出第一问的基础上，设出边长，利用余弦定理求出的长及角的正弦值，进而利用面积公式进行求解.（1）方案一：选条件①.在中，由正弦定理得，，在中，由正弦定理得，，因为，所以，因为，所以，因为，所以，因为，所以.因为，，所以，即，所以，所以.方案二：选条件②.在中，由正弦定理得，，在中，由正弦定理得，，因为，所以，因为，所以.因为，所以.因为，，，所以，即，所以，所以.方案三：选条件③.因为，，且，，所以在中，由正弦定理得，，在中，由正弦定理得，，因为，所以，因为，所以，因为，所以.因为，，所以，即，所以，所以.（2）选择①②③，答案均相同，由（1）可设，则，在中，由余弦定理得，，在中，由余弦定理得，，因为，所以，解得或（舍去），所以，所以，所以四边形ABCD的面积.5．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知．(1)求角B的值；(2)若，求的周长的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理得到，再利用余弦定理求出；（2）根据正弦定理得到，从而得到，求出，得到，，从而求出周长的取值范围.【详解】（1），由正弦定理得：，即，由余弦定理得：，因为，所以；（2）锐角中，，，由正弦定理得：，故，则，因为锐角中，，则，，解得：，故，，则，故，所以三角形周长的取值范围是.【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值6．（2022·四川绵阳·四川省绵阳江油中学校考模拟预测）如图，在梯形中，，，，．(1)若，求梯形的面积；(2)若，求．【答案】(1)；(2)．【分析】(1)中，利用含的余弦定理表达式建立BC的方程，求出BC而得面积，再利用面积关系求的面积得解；(2)由题设中角的信息用表