考点06函数的概念及其表示（精讲）-2023年高考数学一轮复习满分（新高考地区专用）（原卷版）

第6讲函数的概念及其表示知识点1函数的有关概念1．函数的概念函数两集合A，BA，B是两个非空数集对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数记法y＝f(x)，x∈A注：①函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.②直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．③在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，集合B不一定是函数的值域，它包含了函数的值域，即值域是集合B的子集；知识点2函数的定义域、值域(1)函数y＝f(x)自变量取值的范围A叫做函数的定义域；函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域；(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，则这两个函数为相等函数．注：①函数三要素：定义域、值域、对应法则.②同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同.③若两函数的值域与对应关系相同，则两函数不一定相同，如：y＝x2(x≥0)与y＝x2.知识点3函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．解析法（最常用）图象法（解题助手）列表法就是把变量，之间的关系用一个关系式来表示，通过关系式可以由的值求出的值.就是把，之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量，的值.就是将变量，的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系.知识点4分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．注：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数在书写时要用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围;其次，一个函数只有一个定义域，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式.写分段函数的定义域时，区间端点应不重不漏;最后，求分段函数的值域，是分别求出各段上的值域后取并集.另外，作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏。1、（2021•浙江）已知，函数若，则．2、（2020•北京）函数的定义域是．3、（2019•全国）已知，若（a），则4．（2019•江苏）函数的定义域是．5．（2019•新课标Ⅱ）设为奇函数，且当时，，则当时，A． B． C． D．6、（2019•上海）下列函数中，值域为，的是A． B． C． D．7、（2019•天津）已知．设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为A．， B．， C．， D．，考点一函数的概念解题方略：函数的概念(1)函数的定义要求第一个非空数集A中的任何一个元素在第二个非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素．(2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同．同一函数需满足定义域和对应关系均相同【例11】（2022·全国·高三专题练习）下列四个图像中，是函数图像的是（

）A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4）【例12】（2022·全国·高三专题练习）下列各组函数是同一函数的是（

）①与．②与．③与．④与．A．①② B．①③ C．③④ D．①④【题组练透】1、（2022·全国·高三专题练习）函数y=f(x)的图象与直线的交点个数（

）A．至少1个 B．至多1个 C．仅有1个 D．有0个、1个或多个2、（2022·湖南·高三课时练习）设集合，，那么下列四个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（

）A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②3、（2022·全国·高三专题练习）下列各组函数中，表示同一函数的是（

）A．，B．C．，D．，，0，，，，0，考点二求函数的定义域解题方略：函数的定义域：就是使得函数解析式有意义时，自变量的取值范围就叫做函数的定义域，定义域必须用集合或区间表示.若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．研究函数问题都应该注意“定义域优先”，抛弃函数的定义域解决函数问题没有任何意义。但大部分学生都会忽视这一问题，所以被称为隐形杀手，一定要确立定义域优先的思想。（一）求具体函数的定义域求具体函数(用解析式给出）定义域的基本原则有以下几条：（注不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化）（1）分式：分母不能为零；（2）根式：偶次根式中根号内的式子大于等于0，（如，只要求）对奇次根式中的被开方数的正负没有要求；（若偶次根式单独作为分母，只要偶次根式根号内的式子大于0即可，如，只要求）（3）零次幂：中底数；（4）对数函数：对数函数中真数大于零，底数为大于0且不等于；（5）三角函数：正弦函数的定义域为，余弦函数的定义域为，正切函数的定义域为，若，则（6）若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．（7）在求实际问题或几何问题的定义域，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义注：剥洋葱原理一层一层交集(同时成立)最后把求定义域转化成解不等式。【例21】（2022·全国·高三专题练习）函数＋的定义域为（

）A． B．(－∞，3)∪(3，＋∞)C．(3，＋∞) D．(3，＋∞)【例22】（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域为（

）A． B．C． D．【例23】（2022·江西·南昌十中模拟预测（理））设全集，集合，则（

）A．（1，2） B．（1，2] C．（2，+∞） D．[2，+∞）【例24】（2022·湖北武汉·模拟预测）函数的定义域为______.【题组练透】1、（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域是（

）A．[－1，4] B．（－1，4] C．[2，4] D．（2，4]2、（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域为（

）A． B．C． D．3、（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域为___________.（二）求抽象函数的定义域谨记两句话：定义域（永远）指的是x的取值范围同一个下括号内的范围是一样的①已知的定义域，求的定义域，其解法是：若的定义域为，则中，从中解得的取值范围即为的定义域。②已知的定义域，求的定义域。其解法是：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域。③已知的定义域，求的定义域。其解法是：可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域。④运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。【例25】（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【例26】（2022·北京·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【例27】（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为(－2,0)，则的定义域为（

）A．(－1,0) B．(－2,0) C．(0,1) D．【例28】（2022·全国·高三专题练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是（

）A． B． C． D．【题组练透】1、（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A． B． C． D．2、（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域为，则的定义域为（

）A． B． C． D．3、（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．逆用函数的定义域①已知函数的定义域，求参数范围问题，需运用分类讨论以及转化与化归的思想方法，常转化为恒成立问题来解决．②不等式的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当时，；当时，；不等式的解是全体实数(或恒成立)的条件是当时，；当时，．【例29】（2022·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，则实数取值范围是A．B．C．D．【例210】（2022·全国·高三专题练习）若函数的定义域为R，则实数m取值范围是（

）A． B．C． D．【例211】（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域是，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【例212】（2022·全国·高三专题练习）已知函数．（1）若的定义域为，求实数的值；（2）若的定义域为，求实数的取值范围．【题组练透】1、（2022·全国·高三专题练习）已知函数（其中，其定义域的区间长度不超过，则实数的取值范围为______．2、（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为R，则a的范围是________．（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域，则实数的值为________考点三求函数的解析式解题方略：求函数的解析式的常用方法①待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）若已知的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得的表达式。②配凑法：已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域。③换元法：已知的表达式，欲求，我们常设，从而求得，然后代入的表达式，从而得到的表达式，即为的表达式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。注：在求解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域．如已知f(eq\r(x))＝x＋1，求函数f(x)的解析式，通过换元的方法可得f(x)＝x2＋1，函数f(x)的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．④利用函数的奇偶性求解析式：一般为已知x>0时，f(x)的解析式，求x<0时，f(x)的解析式。首先求出f(x)的解析式，根据f（x）=f(x)或f(x)=f(x)求得f(x)⑤构造方程组法：若出现与的关系式、与的关系式或一个奇函数与一个偶函数的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)。(1)互为倒数：；(2)互为相反数：或(为奇函数，为偶函数)。⑥赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。待定系数法【例31】（2022·全国·高三专题练习）已知是一次函数，且满足【例32】（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数满足，求的解析式；【题组练透】1、（2022·全国·高三专题练习）已知一次函数满足，.(1)求实数a､b的值；(2)令，求函数的解析式.2、（2022·全国·高三专题练习）已知是一次函数，且，则的解析式为A．或 B．或C．或 D．或3、（2022·全国·高三专题练习）已知函数是二次函数，且，求.配凑法【例33】（2022·全国·高三专题练习）已知f＝x2＋，求f(x)的解析式；【例34】（河北省保定市2022届高三下学期二模数学试题）若函数，则函数的最小值为（

）A． B． C． D．【题组练透】1、（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则（

）A． B．C． D．2、（2022·全国·高三专题练习）已知函数满足，则（

）A． B．C． D．已知函数，求f（x）的解析式.换元法【例35】（2022·全国·高三专题练习）已知，求的解析式．【例36】（2022·全国·高三专题练习）已知函数满足，则的解析式为（）A． B．C． D．【例37】（2022·全国·高三专题练习））已知函数在定义域上单调，且时均有，则的值为（

）A．3 B．1 C．0 D．【题组练透】1、（2022·全国·高三专题练习）已知函数，那么的表达式是___________.2、（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则的解析式为（

）A． B．C． D．3、（2022·陕西西安·一模（理））已知，则（

）A． B． C． D．4、（2022·全国·高三专题练习）已知函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则的值是（

）A． B． C． D．5、（2022·全国·高三专题练习）已知，若，则（

）A． B． C． D．利用函数的奇偶性求解析式【例38】（2022·全国·高三专题练习）已知函数是上的偶函数，当时，，当时，求解析式；【例39】（2022·山东日照·模拟预测）设是定义在R上的奇函数，且当时，，则的解集为（

）A． B．C． D．【例310】（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（理））若是定义在上的奇函数，且是偶函数，当时，，则当时，的解析式为（

）A． B．C． D．【题组练透】1、（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知是定义在R上的奇函数，且时，，则在上的最大值为(

)A．1 B．8 C． D．2、（2022·全国·高三专题练习）定义在R上的函数满足.若当时，，则当时，___________.3、（2022·全国·高三专题练习）设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝2x2﹣2x.若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≥﹣，则m的取值范围是_____.（五）构造方程组法【例311】（2022·全国·高三专题练习）已知，则（

）A． B． C． D．【例312】（2022·全国·高三专题练习）已知函数满足，则（

）A． B． C． D．【例313】（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)满足f(x)＋2f(3－x)＝x2，则f(x)的解析式为（

）A．f(x)＝x2－12x＋18B．f(x)＝－4x＋6C．f(x)＝6x＋9D．f(x)＝2x＋3【例314】（2022·全国·高三专题练习）已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且.求函数，的解析式；【题组练透】1、（2022·全国·高三专题练习）已知函数满足，且，，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．2、（2022·全国·高三专题练习）已知，求二次函数的解析式；3、（2022·全国·高三专题练习）【多选】已知函数，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则下列选项中正确的是（

）A．和在上的单调性相同B．和在上的单调性相反C．和在上的单调性相同D．和在上的单调性相反（六）赋值法【例315】（2022·全国·高三专题练习）已知是上的函数，，并且对任意的实数x，y都有，求函数的解析式．【例316】（2022·全国·高三专题练习）函数对一切实数都有成立，且.求的解析式；【题组练透】1、（2022·全国·高三专题练习）已知函数对一切的实数，，都满足，且.（1）求的值；（2）求的解析式；（3）求在上的值域.2、（重庆市西南大学附属中学2022届高三上学期第四次月考数学试题）已知函数满足对任意非零实数，均有，则在上的最小值为______.3、（2022·全国·高三专题练习）已知函数对于一切实数均有成立，且，则当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）．A． B． C． D．考点四求函数的值域解题方略：（一）求函数的值域（1）观察法(有界函数）——“拼图”解题步骤：第一步，观察函数中的特殊函数；第二步，利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域．【例41】（2022·全国·高三专题练习）求函数的值域.【题组练透】1、（2022·全国·高三专题练习）若函数的定义域是，则的值域是___________.2、（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为（

）A．（0，＋∞） B．（－∞，1） C．（1，＋∞） D．（0，1）3、（2022·全国·高三专题练习）若函数，则的值域为（

）A． B． C． D．（2）配方法以二次函数的相关性质、图像为依托，利用数形结合思想求解某函数在给定区间的最值和值域问题。这种方法一般适用于形如的函数的值域和最值问题解题步骤：第一步，将二次函数配方成；第二步，根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域．（特别注意自变量的范围）(注：配方法配的常数是一次项系数的一半的平方，对二次函数型值域问题，我们通常可以采用配方并结合图像的方法求解。）【例42】（2022·全国·高三专题练习）函数，的值域是（

）A． B． C． D．【题组练透】1、（2022·全国·高三专题练习）函数的值域是（

）A． B． C． D．2、（2022·全国·高三专题练习）函数的值域是_________．3、（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为（

）A． B． C． D．（3）分离常数法（即是求值域的方法也是化简解析式的方法）分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法：主要的分式函数有：等解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数。解题步骤：第一步，观察函数类型，型如；第二步，对函数变形成形式；第三步，求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域．【例43】（2022·全国·江西科技学院附属中学模拟预测（文））函数的值域（

）A． B．C． D．【题组练透】1、（2022·全国·高三专题练习）函数的值域是（

）A． B．C． D．2、（2022·全国·高三专题练习）函数的值域是（

）A． B． C． D．3、（2022·全国·高三专题练习）函数的值域是（

）A． B．C． D．（4）换元法解题步骤：第一步，观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联；第二步，另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域．如：函数，可以令，得到，函数可以化为()，接下来求解关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制．【例44】（2022·全国·高三专题练习）函数的值域是（

）A． B． C． D．【例45】（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为（

）A． B． C． D．【题组练透】1、（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为（

）A． B． C． D．2、（2022·全国·高三专题练习）函数的最小值为（

）A．1 B． C． D．3、（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域为，则函数的值域为（

）A． B． C． D．（5）判别式法解题步骤：第一步，观察函数解析式的形式，型如的函数；第二步，将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数的取值范围，即得函数的值域．【例46】（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值与最小值的和是（

）A． B． C． D．【题组练透】1、（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为2、（2022·全国·高三专题练习）若函数的最大值为，最小值为，则（

）A．4 B．6C．7 D．83、（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为______.（6）单调性法解题步骤：第一步，求出函数的单调性；第二步，利用函数的单调性求出函数的值域．【例47】（2022·全国·高三专题练习）已知函数的值域是（

）A． B． C． D．【题组练透】1、（2022·全国·高三专题练习）已知，求函数的值域2、（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为A． B． C． D．3、（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若对任意恒成立，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．（7）基本不等式求值域解题步骤：第一步观察函数解析式的形式，型如或的函数；第二步对函数进行配凑成形式，再利用基本不等式求函数的最值，进而得到函数的值域.注意根据基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”【例48】（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为（

）A．(∞，2] B．[2，+∞)C．(∞，2][2，+∞) D．[2，2]【题组练透】1、（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为________．2、（2022·全国·高三专题练习）函数的值域是______．3、【多选】（2022·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”如下：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如，，已知函数，若函数的值域集合为，则下列集合是的子集的是（

）.A． B． C． D．（二）已知函数值域求参数【例49】（2022·全国·高三专题练习）已知函数的值域为，则的取值范围是A． B． C． D．【题组练透】1、（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数的值域为，则的最小值为（

）A．3 B．6 C．9 D．122、（2022·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．3、（2022·全国·高三专题练习）若函数的定义域和值域都是，则（

）A．1 B．3 C． D．1或3考点五分段函数解题方略：（1）一般分段函数求值有以下四种：①已知自变量的值求函数值，此种题型只需确定自变量在相应的定义域选择合适的解析式代值进行计算即可，同时也要注意函数的奇偶性、周期性的应用.求形如的函数时，求解时遵循由内到外的顺序进行；②已知函数值求自变量的值，此种题型只需令相应的解析式等于函数值，求出自变量的值之后再确定是否在相应的定义域内，若在，则保留；否则就舍去；③分段函数与不等式的综合，解简单的分段函数不等式只需将对应的不等式解集与定义域取交集，最后再将得到的答案取并集即可.解含参的分段函数不等式要注意以下两个问题：（1）问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑；（2）求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．④分段函数图象及其应用，根据每段函数的定义区间和解析式在同一坐标系中作出图象，然后应用，作图时要注意每段图象端点的虚实.注意：①因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．②“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则．求分段函数的值域或最值已知分段函数解析式求值域或最值，也属于常考基本题型，解决这类问题的关键是求出分段函数中每一段对应函数值的取值范围（然后再求并集，即得分段函数的值域），或者求出分段函数中每一段对应函数值的最值（然后进行比较，即得分段函数的最值）.此外，借助于数形结合思想（即画出分段函数的图像加以分析），也是解决此类问题的常用方法.（一）分段函数求值（1）已知自变量的值求函数值【例51】（2022·河南郑州·三模（理））设函数，则（

）A．5 B．6 C．7 D．8【例52】（2022·重庆八中高三阶段练习）函数，则（

）A． B． C．1 D．【例53】（2022·全国·模拟预测）已知函数，则（

）A．0 B． C．1 D．2【题组练透】1、（2022·江西·临川一中模拟预测（理））已知函数，则（

）A．0 B． C． D．12、（2022·山东潍坊·模拟预测）设函数，则（

）A． B． C． D．3、（2022·安徽安庆·二模（文））已知函数且，则（

）A． B． C． D．（2）已知函数值求自变量的值【例54】（2022·山东·德州市教育科学研究院二模）设函数，若，则_________．【例55】（2022·广西广西·模拟预测（理））已知，若，则（

）A．2 B． C．1 D．0【题组练透】1、（2022·河南焦作·三模（文））已知函数，若，则实数______．2、（2022·全国·模拟预测）已知函数若，则a构成的集合为______．3、（2022·全国·高三专题练习）设函数，则满足的a的取值范围是（

）A． B． C． D．（3）分段函数与不等式的综合【例56】（2022·全国·高三专题练习）设函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x＋1）2，x＜1，,4－\r(x－1)，x≥1，))则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为________________．【例57】（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）已知，则__________，不等式的解集是__________.【例58】（2022·河南·模拟预测（文））已知函数，若，则实数a的取值范围为___________.【例59】（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则满足的实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【题组练透】1、（2022·浙江绍兴·