专题05 三角函数与函数应用（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）

专题05三角函数与函数应用目录TOC\o"1-2"\h\u明晰学考要求 1基础知识梳理 1考点精讲讲练 6考点一：弧度制下的弧长、面积公式 6考点二：三角函数的定义、基本关系与诱导公式 7考点三：三角函数的图象与性质 8考点四：三角函数图象变换 10考点五：函数零点与函数模型应用 11实战能力训练 12明晰学考要求1、了解终边相同角的含义及其表示，能对弧度和角度进行正确的转换；2、掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式；3、理解任意角的三角函数定义，能判断正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号；4、会用同角三角函数的基本关系式化简、求值；5、能运用诱导公式解决化简、求值问题；6、掌握y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象与性质；7、了解零点的概念，会应用函数零点存在定理判断零点所在的范围；8、能利用所给函数模型解决实际问题.基础知识梳理1、任意角(1)任意角的概念：一条射线绕着它的端点，按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如果射线没有作任何旋转，叫作零角.(2)角的终边所在象限：使角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就称这个角为轴线角.(3)终边相同的角：与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}.2、弧度制与扇形弧长、面积公式(1)度量角的两种单位制角度制定义用度作为单位来度量角的单位制1度的角周角的eq\f(1,360)为1度的角，记作1°弧度制定义以弧度为单位来度量角的单位制1弧度的角长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1rad(2)角的弧度数的计算：如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝eq\f(l,r).(3)角度制与弧度制的换算角度化弧度弧度化角度360°＝2π__rad2πrad＝360°180°＝π__radπrad＝180°1°＝eq\f(π,180)__rad≈0.01745rad1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°度数×eq\f(π,180)＝弧度数弧度数×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝度数(4)设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则度量单位类别α为角度制α为弧度制扇形的弧长l＝eq\f(απR,180)l＝α·R扇形的面积S＝eq\f(απR2,360)S＝eq\f(1,2)l·R＝eq\f(1,2)α·R23、三角函数的定义(1)任意角的三角函数的定义前提如图，对于任意角α，它的终边异于原点的一点P(x，y)，该点与原点的距离为定义正弦叫做α的正弦，记作sin__α，即sinα＝余弦叫做α的余弦，记作cos__α，即cosα＝正切叫做α的正切，记作tan__α，即tanα＝(2)三角函数在各象限的符号4、同角三角函数基本关系与诱导公式(1)同角三角函数的基本关系①平方关系：sin2α＋cos2α＝1.②商数关系：tanα＝eq\f(sinα,cosα)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).③常用变形：sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α，sinα＝cos__αtan__α，cosα＝eq\f(sinα,tanα).(2)诱导公式公式一：sin(α＋2kπ)＝sin__α，cos(α＋2kπ)＝cos__α，tan(α＋2kπ)＝tan__α；公式二：sin(－α)＝－sin__α，cos(－α)＝cos__α，tan(－α)＝－tan__α.公式三：sin(π－α)＝sin__α，cos(π－α)＝－cos__α，tan(π－α)＝－tan__α.公式四：sin(π＋α)＝－sin__α，cos(π＋α)＝－cos__α，tan(π＋α)＝tan__α.公式五：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cos__α，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sin__α.公式六：sin＝cos__α，cos＝-sin__α.5、三角函数的图象（1）正弦函数的图象叫做正弦曲线．函数y＝sinx，x∈R图象（2）余弦函数的图象叫做余弦曲线．函数y＝cosx，x∈R图象（3）正切函数的图象．（4）五点(画图)法函数y＝sinxy＝cosx图象画法五点法五点法关键五点(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)①正弦曲线与余弦曲线形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．②正切函数的对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)，正切函数的图象只有对称中心，没有对称轴，6、三角函数的性质（1）周期性与奇偶性：①正弦函数y＝sinx(x∈R)和余弦函数y＝cosx(x∈R)的周期为2kπ(k∈Z，且k≠0)，最小正周期为2π，正切函数y＝tanx(x∈R)的周期为kπ(k∈Z，且k≠0)，最小正周期为π;②函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)和f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)是周期函数，最小正周期T＝eq\f(2π,ω).③正弦函数y＝sinx(x∈R)与正切函数y＝tanx(x∈R)是奇函数，图象关于原点对称；余弦函数y＝cosx(x∈R)是偶函数，图象关于y轴对称.（2）单调性与最值：①正弦函数的单调性与最值：在每一个闭区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)上都单调递增，其值从－1增大到1；在每一个闭区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))(k∈Z)上都单调递减，其值从1减小到－1.正弦函数当且仅当x＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)时取得最大值1，当且仅当x＝2kπ－eq\f(π,2)(k∈Z)时取得最小值－1.②余弦函数的单调性与最值：在每一个闭区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上都单调递增，其值从－1增大到1；在每一个闭区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上都单调递减，其值从1减小到－1.余弦函数当且仅当x＝2kπ(k∈Z)时取得最大值1，当且仅当x＝2kπ＋π(k∈Z)时取得最小值－1.③正切函数的单调性与最值：正切函数在每一个区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)上都单调递增，正切函数没有最大值和最小值，故正切函数的值域是实数集R.7、函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的有关性质性质定义域R值域[－A，A]周期性T＝eq\f(2π,ω)对称中心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ－φ,ω)，0))(k∈Z)对称轴x＝eq\f(kπ,ω)＋eq\f(π－2φ,2ω)(k∈Z)奇偶性当φ＝kπ(k∈Z)时y是奇函数；当φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)时y是偶函数单调性通过整体代换可求出其单调区间8、三角函数图象变换由y＝sinx的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，其变化途径有两种：(1)y＝sinxeq\o(→,\s\up7(相位变换),\s\do5())y＝sin（x＋φ）eq\o(→,\s\up7(周期变换),\s\do5())y＝sin（ωx＋φ）eq\o(→,\s\up7(振幅变换),\s\do5())y＝Asin（ωx＋φ）；（2）y＝sinxeq\o(→,\s\up7(周期变换),\s\do5())y＝sinωxeq\o(→,\s\up7(相位变换),\s\do5())y＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(φ,ω)))))＝sin（ωx＋φ）eq\o(→,\s\up7(振幅变换),\s\do5())y＝Asin（ωx＋φ）.注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同，这是易出错的地方，应特别注意．9、函数的零点与二分法(1)概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：(3)函数零点存在定理：若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)<0.则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点.(4)二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.考点精讲讲练考点一：弧度制下的弧长、面积公式【典型例题】例题1．（2022高三上·江苏徐州·学业考试）已知扇形的半径为1，圆心角为30°，则扇形的弧长为（

）A．30 B． C． D．例题2．（23-24江苏苏州常熟中学高一上学期学业水平调研）如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧AD的长度是l1，弧BC的长度是l2，几何图形ABCD面积为S1，扇形BOC面积为S2，若，（

）A．9 B．8 C．16 D．15例题3．已知扇形的半径为1，圆心角为，则这个扇形的弧长为（

）A． B． C． D．60【即时演练】1．已知半径为1的扇形的圆心角为，则扇形的弧长等于（

）A． B． C． D．2.一扇形的圆心角，半径cm，则该扇形的面积为（cm2）3．已知扇形的半径为2，面积为2π3，则扇形的圆心角的弧度数为考点二：三角函数的定义、基本关系与诱导公式【典型例题】例题1．（23-24江苏苏州常熟中学高一上学期学业水平调研）角的终边与单位圆O相交于点P，且点P的横坐标为，则的值为（

）A． B． C． D．例题2．（2023高三·江苏·学业考试）已知，则（

）A． B． C． D．例题3．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知角的终边位于第二象限，则点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限例题4．（江苏省2023年普通高中学业水平合格性考试）已知角的终边经过点，则A． B． C． D．【即时演练】1．已知角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．2.已知，则是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角3.已知（1）化简；（2）若，求的值；（3）若，求的值.考点三：三角函数的图象与性质【典型例题】例题1．（2024年江苏省扬州市学业水平考试数学模拟试卷）下列函数中是偶函数的是（）A． B．C． D．例题2．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知函数的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，则的值为（

）A． B．1 C．2 D．3例题3．（2023高三·江苏·学业考试）若函数的值域为，则实数的可能值共有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个例题4．（2023高三·江苏·学业考试）已知函数.(1)求函数的最小正周期；(2)若，求实数的取值范围.【即时演练】1．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数关系式，据此可知，这段时间水深(单位：)的最大值为（

）A．5 B．6 C．8 D．102．函数的一个单调递增区间是（

）A． B． C． D．3．函数的图象的一条对称轴是（

）A． B．C． D．4.已知函数.(1)求函数的最小正周期；(2)求函数的单调递增区间.考点四：三角函数图象变换【典型例题】例题1．（江苏省2023年普通高中学业水平合格性考试）要得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位例题2．要得到函数的图像，只需将的图像上所有的点（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度例题3．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知函数.(1)求的对称轴方程；(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍后所得到的图象对应的函数是，求在上的零点个数．【即时演练】1．要得到函数的图象,只需将的图象（

）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位2．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数y=fx的图象，则（

）A． B．C． D．3．为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度考点五：函数零点与函数模型应用【典例讲解】例题1．（2024年江苏省扬州市2023年学业水平考试模拟）函数的零点一定位于下列哪个区间（

）A． B． C． D．例题2．（2023高三·江苏·学业考试）2023年2月6日，土耳其发生强烈地震，造成重大人员伤亡和财产损失，江苏救援队伍紧急赴当地开展救报行动.尽管日前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为.里氏8.0级地震所释放出来的能量是里氏6.0级地震所释放出来的能量的（

）A．6倍 B．倍 C．倍 D．倍例题3．（2022高三上·江苏徐州·学业考试）已知是定义在上的偶函数，当时，，则方程的根的个数为（

）A．1 B．2 C．4 D．6例题4．（2023高三·江苏·学业考试）在一次实验中，某小组测得一组数据，并由实验数据得到下面的散点图.由此散点图，在区间上，下列四个函数模型为待定系数）中，最能反映函数关系的是（

）A． B．C． D．【即时演练】1.已知方程的根所在的区间为，，则n的值为（

）A．