数值计算方法教案数值积分(有添加哦)

第四章数值积分一．问题提出：（1）针对定积分SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0,a=0,b=1，即有SKIPIF1<0，但当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……，时，很难找到其原函数。（2）被积函数并没有具体的解析形式，即SKIPIF1<0仅为一数表。二．定积分的几何意义定积分SKIPIF1<0的几何意义为，在平面坐标系中I的值即为四条曲线所围图形的面积，这四条曲线分别是SKIPIF1<0，y=0，x=a，x=b。SKIPIF1<0三．机械求积公式1.中矩形公式SKIPIF1<0；几何意义：用以下矩形面积替代曲边梯形面积。SKIPIF1<02.梯形公式SKIPIF1<0梯形公式的几何意义：用以下梯形面积替代曲边梯形的面积：SKIPIF1<03.辛普生公式SKIPIF1<0辛普生公式的几何意义：阴影部分的面积为抛物线曲边梯形，该抛物线由SKIPIF1<0三点构成。SKIPIF1<04.求积公式的一般形式SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0称为节点，SKIPIF1<0称为求积系数，或权。5.求积公式的代数精度（衡量求积公式准确度的一种方法）含义：衡量一个积分公式的好坏，要用具体的函数来衡量，寻找怎样的函数来衡量呢？简单的多项式函数是一个理想的标准。定义：若某积分公式对于SKIPIF1<0均能准确成立，但对于SKIPIF1<0不能准确成立。则称该公式具有m次代数精度。解释：代数精度只是衡量积分公式好坏的1种标准。例1．研究中矩形公式SKIPIF1<0的代数精度及几何意义。解：当SKIPIF1<0时，公式左边SKIPIF1<0，公式右边SKIPIF1<0，左=右；当SKIPIF1<0时，公式左边SKIPIF1<0，公式右边SKIPIF1<0，左=右；当SKIPIF1<0时，公式左边SKIPIF1<0，公式右边SKIPIF1<0，左SKIPIF1<0右；故中矩形公式具有1次代数精度。从定积分的几何意义可以看出，当被积函数为一条直线时，中矩形公式是严格成立的，中矩形面积与梯形面积相等，如下图所示。SKIPIF1<0例2．研究梯形公式SKIPIF1<0的代数精度及几何意义。解：当SKIPIF1<0时，公式左边SKIPIF1<0，公式右边SKIPIF1<0，左=右；当SKIPIF1<0时，公式左边SKIPIF1<0，公式右边SKIPIF1<0，左=右；当SKIPIF1<0时，公式左边SKIPIF1<0，公式右边SKIPIF1<0，左SKIPIF1<0右。故梯形公式也具有1次代数精度。从定积分的几何意义知，当被积函数为一条直线时，其积分值本身就是一个梯形的面积，如下图所示。SKIPIF1<0例3．研究辛普生公式SKIPIF1<0的代数精度及几何意义。解：当SKIPIF1<0时，公式左边SKIPIF1<0，公式右边SKIPIF1<0，左=右；当SKIPIF1<0时，公式左边SKIPIF1<0，公式右边SKIPIF1<0，左=右；当SKIPIF1<0时，公式左边SKIPIF1<0，公式右边SKIPIF1<0，左=右；当SKIPIF1<0时，公式左边SKIPIF1<0，公式右边SKIPIF1<0，左=右；当SKIPIF1<0时，左SKIPIF1<0右；故梯形公式具有3次代数精度。当被积函数为一条直线或一条抛物线时，过其曲线上3个点构造的抛物线就是其本身曲线，所以积分公式严格成立。当被积函数为3次多项式时，辛普生公式也严格成立，如下图所示，两个曲边梯形面积刚好相等。SKIPIF1<06.求积公式的确定方法一：待定系数法。例1.构造一个至少具有一次代数精度的积分公式。分析：构造一次代数精度的公式，即当SKIPIF1<0及SKIPIF1<0时，公式严格成立，故有2个约束条件，于是可以确定具有2个参数的积分公式。解：设积分公式为：SKIPIF1<0。针对SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，代入积分公式的左边和右边，有：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于是有积分公式：SKIPIF1<0。该公式即为梯形求积公式。例2.构造一个至少具有2次代数精度的求积公式。解：设积分公式为SKIPIF1<0。针对SKIPIF1<0，SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，代入积分公式的左边和右边，有：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0积分公式为：SKIPIF1<0该公式即为辛普生公式，需要注意的是，该公式的代数精度并不是2次，而是3次的。方法二，插值法（插值型求积公式），即过函数f(x)的n+1节点x0，x1，……，xn，作n次多项式函数SKIPIF1<0，根据拉格朗日公式：SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，其中，SKIPIF1<0代数精度的分析：若被积函数SKIPIF1<0是次数小于n的多项式函数，那么由其曲线上的n+1节点构成的n次多项式函数SKIPIF1<0即是被积函数SKIPIF1<0本身。则：插值型积分公式具有至少n次代数精度。解释：若SKIPIF1<0是一条直线，那么过其曲线上3个点构造的抛物线SKIPIF1<0，其中必有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；同理，若SKIPIF1<0是一条抛物线，那么过其曲线上4个点构造的3次多项式函数SKIPIF1<0，其中必有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0。四．牛顿-柯特斯公式1.牛顿－柯特斯公式（等间距的插值型求积公式）把区间[a，b]分为n等份，步长为hh＝（b－a）/n则n+1个点分别为：SKIPIF1<0。由这n＋1个点构造的插值型求积公式为：SKIPIF1<0该公式称为牛顿－柯特斯公式，SKIPIF1<0称为柯特斯系数，SKIPIF1<0当n＝1时（即2个点，1等份），有梯形公式（1次代数精度）：SKIPIF1<0当n＝2时（即3个点，2等份），有公式辛普生公式（3次代数精度）：SKIPIF1<0当n＝4时（即5个点，4等份），有柯特斯公式（5次代数精度）SKIPIF1<0SKIPIF1<02.复化求积公式1.复化梯形求积公式SKIPIF1<02.复化辛普生公式SKIPIF1<03.变步长算法梯形公式的逐次分半算法含义：把区间[a，b]分成n等份计算其n个小梯形面积SKIPIF1<0；再把区间[a，b]分成2n等份计算其2n个小梯形面积SKIPIF1<0。预备知识：SKIPIF1<0则有：SKIPIF1<0先计算SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，再计算SKIPIF1<0，……直到SKIPIF1<0为止，则SKIPIF1<0就是答案。4.龙贝格求积公式复化积分的误差公式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0龙贝格公式推导SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0公式SKIPIF1<0称为龙贝格公式，龙贝格公式不是牛顿－柯特斯公式。龙贝格公式求积算法T1T2S1T4S2C1T8S4C2R1T16S8C4R25.高斯公式（1）.含义：积分公式的一般形式；SKIPIF1<0以前的节点是按等间距来选择，为了获得更高的代数精度节点也可以作为待定值。（2）.一点高斯公式设一点高斯公式的形式为：SKIPIF1<0其实SKIPIF1<0都是需要待定的值。根据代数精度概念，令SKIPIF1<0，使积分公式准确成立，有SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故一点高斯公式为：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即为中矩形公式，它具有1次代数精度。（3）.二点高斯公式设一点高斯公式的形式为：SKIPIF1<0其实SKIPIF1<0都是需要待定的值。根据代数精度概念，令SKIPIF1<0，使积分公式准确成立，有SKIPIF1<0该方程组不是线性方程组，故其求解比较困难，最后解得：解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故二点高斯公式为：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，它具有3次代数精度。n点高斯公式具有至少2n－1次代数精度。（4）.勒让德多项式SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0。。。。。。可以证明，勒让德多项式的零点可以作为节点来构造高斯公式：SKIPIF1<0（5）.三点高斯公式确定公式SKIPIF1<0中的6个参数。分析3次勒让德多项式SKIPIF1<0则其零点为：SKIPIF1<0。令SKIPIF1<0，使积分公