易错易混集训：利用勾股定理求解四大易错（解析版）

专题15易错易混集训：利用勾股定理求解四大易错【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【易错一没有明确斜边或直角时，考虑不全面而漏解】 1【易错二三角形形状不明时，考虑不全面而漏解】 3【易错三等腰三角形的腰和底不明时，考虑不全面而漏解】 9【易错四求立体图形中两点距离最短时无法找到正确的展开方式】 16【典型例题】【易错一没有明确斜边或直角时，考虑不全面而漏解】例题：（2023春·河南安阳·八年级校考期末）若三角形的两边长为4和5，要使其成为直角三角形，则第三边的长为．【答案】3或/或3【分析】根据勾股定理逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，再分5为斜边或第三边为斜边两种情况考虑，即可求出第三边．【详解】解：当较大的数5为斜边时，第三边，当第三边为斜边时，第三边，故答案为：3或．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，即如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，熟练掌握勾股定理的逆定理及分情况考虑是解题关键．【变式训练】1．（2023春·甘肃平凉·八年级校考阶段练习）若一直角三角形两边的长为12和5，则第三边的长为．【答案】13或【分析】已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边12既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．【详解】解：当12和5均为直角边时，第三边；当12为斜边，5为直角边，则第三边，故第三边的长为13或．故选：B．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．2．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）若直角三角形的两条边长为，，且满足，则该直角三角形的第三条边长为_____．【答案】或【分析】先根据非负数的性质求出a与b的长，再分两种情况根据勾股定理计算即可．【详解】解：由题意得，，，解得：，，当为直角边时，直角三角形的第三条边长，当为斜边时，直角三角形的第三条边长，故答案为：或．【点睛】本题考查了非负数的性质，勾股定理，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键．3．如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的“勾股分割点”．已知点M，N是线段AB的“勾股分割点”，若AM＝3，MN＝4，则BN的长为______．【答案】5或##或【解析】【分析】分两种情况讨论：当为直角边时，当为斜边时，则为直角边，再利用勾股定理可得答案.【详解】解：当为直角边时，当为斜边时，则为直角边，故答案为：或【点睛】本题考查的是新定义情境下的勾股定理的应用，理解新定义，再分类讨论是解本题的关键.【易错二三角形形状不明时，考虑不全面而漏解】例题：（2023春·湖北孝感·八年级校考阶段练习）已知是的边上的高，若，，，则的长为．【答案】或/或【分析】分是锐角三角形和是钝角三角形两种情况，根据勾股定理计算即可．【详解】解：当是锐角三角形，如图1，

，，由勾股定理得，，，，，当是钝角三角形，如图2，

同理得：，，，则的长为或，故答案为：或．【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么，解题关键是进行分类讨论求解．【变式训练】1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）的高长为3，且，，则的周长是___________．【答案】或【分析】分情况利用勾股定理求出各边的长，继而根据三角形的周长公式计算即可．【详解】解：如图1：

，，，所以三角形的周长；如图2：

，，，所以三角形的周长；故答案为：或．【点睛】本题考查勾股定理，关键是根据题意画出图形，分情况讨论．2．（2022·北京·101中学八年级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．点P在直线AC上，且BP＝6，则线段AP的长为__________．【答案】或【解析】【分析】根据题意，作出图形，分类讨论，根据勾股定理求解即可．【详解】解：如图，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5在中，或故答案为：或【点睛】本题考查了勾股定理，根据题意作出图形，分类讨论是解题的关键．3．（2023春·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考期中）在中，是边上的高，，，，则的面积为______．【答案】30或18/18或30【分析】分两种情况求解，首先利用勾股定理即可求得的长，再利用三角形的面积公式，即可求解．【详解】解：分两种情况：（1）如图，当在的内部时，是边上的高，，在中，，在中，，，，（2）如图，当在的外部时，是边上的高，，在中，，在中，，，，故答案为：30或18．【点睛】本题考查了勾股定理及三角形的面积公式，注意分类讨论求得的长是解决本题的关键．4．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习）已知等边的边长为6，为的中点，如果点是射线上的一点，且，那么的长为．【答案】或/或【分析】分两种情况，利用勾股定理求解即可．【详解】解：等边的边长为6，为的中点则，平分，∴，∴由题意可得：当点在的内部时，如图1，由勾股定理可得：∴当点在的外部时，如图2，由勾股定理可得：∴

故答案为：或【点睛】此题考查了等边三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基础性质，学会分类讨论的思想求解问题．5．（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）在中，，线段的垂直平分线分别交，直线于点，，若，则线段的长为．【答案】或【分析】分两种情况，是锐角三角形，是鈍角三角形，作出简图，由垂直平分线的性质可得，由勾股定理可求得的长度，即可求．【详解】解：当是锐角三角形时，如图，∵是的垂直平分线，，∴，，∵，∴，∴；当是钝角三角形时，如图，∵是的垂直平分线，，∴，，，∴，∴；故答案为：或．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，解答关键是熟记垂直平分线的性质．【易错三等腰三角形的腰和底不明时，考虑不全面而漏解】例题：（2023春·辽宁抚顺·八年级统考阶段练习）如图，在中，，，，动点从点出发，沿射线以的速度移动，设运动的时间为，当为等腰三角形时，等于．

【答案】或或【分析】根据为等腰三角形进行分类讨论，分别求出的长，即可求出t．【详解】解：在中，，由勾股定理得：（cm），由题意可知共三种情况，如下：①时，，则，

∴，解得；②当时，，

所以，③当时，即，

所以，综上所述，当t的值为或或；故答案为：或或【点睛】本题主要考查了直角三角形的勾股定理以及等腰三角形的分类讨论思想，能够正确地分类是解决本题的关键．【变式训练】1．（2022秋·江西萍乡·八年级统考期中）如果等腰三角形的两边长为分别为和，那么等腰三角形的周长为．【答案】或/13或11【分析】根据等腰三角形的性质即可求解．【详解】解：等腰三角形的两边长为分别为和，∴①边长分别为，，，∵，即，能构成等腰三角形，∴该等腰三角形的周长为：；②边长分别为，，，∵，即，能构成等腰三角形，∴该等腰三角形的周长为：；故答案为：或．【点睛】本题主要考查等腰三角形三边关系，掌握构成三角形三边大小关系，等腰三角形的性质是解题的关键．2．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，中，，，，动点从点出发沿射线以的速度运动，设运动时间为，当为等腰三角形时，的值为．【答案】13或24或【分析】当为等腰三角形时，分三种情况：①当时；②当时；③当时，分别求出的长度，继而可求得的值．【详解】解：，，，．①当时，；②当时，，；③当时，，，，在中，，即，解得．综上，当为等腰三角形时，或24或．故答案为：13或24或．【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．3．（2023·江西新余·统考一模）在中，，，，、分别是边、上的动点将沿直线翻折，使点的对应点恰好落在边上若是等腰三角形，则的长是．【答案】或或【分析】分三种情况讨论：当时，是等腰三角形；当时，是等腰三角形；当时，是等腰三角形，分别根据等腰三角形的性质以及勾股定理进行计算，即可得到的值．【详解】解：，，，，，分三种情况讨论：如图所示，当点与点重合时，，

，，，，即是等腰三角形，此时，；如图所示，当时，是等腰三角形，

，由折叠可得，，，又，是等腰直角三角形，设，则，中，，解得，舍去，；如图所示，当点与点重合时，，

，，即是等腰三角形，此时，综上所述，当是等腰三角形时，的值是或或．故答案为：或或．【点睛】本题主要考查了折叠问题，等腰三角形的性质，解一元二次方程以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是依据是等腰三角形，画出图形进行分类讨论，解题时注意方程思想的运用．4．（2023春·江西九江·八年级统考期中）如图是一张长方形纸片，已知，现要剪下一张等腰三角形纸片（），则等腰三角形的底边长是．

【答案】或或5【分析】分情况讨论：①当时，则是等腰直角三角形，得出底边即可；②当时，求出，由勾股定理求出，再由勾股定理求出等边即可；③当时，底边；即可得出结论．【详解】解：如图所示：

①当时，∵，∴是等腰直角三角形，∴底边；②当时，∵，∴，∴底边；③当时，底边；综上所述：等腰三角形的底边长为或或5；故答案为：或或5．【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定，进行分类讨论是解决问题的关键．5．（2023春·福建宁德·八年级校联考期中）定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”．【理解概念】（1）顶角为的等腰三角形“准等边三角形”．（填“是”或“不是”）【巩固新知】（2）已知是“准等边三角形”，其中，．求的度数．【解决问题】（3）如图，在中，，，，点D在边上，若是“准等边三角形”，求的长．

【答案】（1）不是（2）的度数为或（3）的长为或【分析】（1）根据等腰三角形的性质，求得三角形的内角，再根据“准等边三角形”即可求解；（2）分两种情况求解，或，分别求解即可；（3）是“准等边三角形”，分两种情况，或，分别求解即可．【详解】解：（1）∵等腰三角形的顶角为，∴等腰三角形的两个底角度数分别为，，∴顶角为的等腰三角形不是“准等边三角形”；（2）∵是“准等边三角形”，，，∴分两种情况：当时，∴，∴；当时，∵，∴，∴°，∴；

………．综上所述：的度数为或；（3）∵，，，∴，，∵是“准等边三角形”，∴分两种情况：当时，∴，∴，∵，∴，解得：或（舍去），∴；当时，过点D作，垂足为E，

∵，∴，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，设，在中，，∴，∵，∴，解得：，∴，∴；综上所述：的长为或．【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，含30度直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，利用分类讨论的思想求解问题．【易错四求立体图形中两点距离最短时无法找到正确的展开方式】例题：（2023秋·广东揭阳·八年级惠来县第一中学校考阶段练习）如图，长方体盒子的长宽高分别为，，，在中点处有一滴蜜糖，有一只小虫从点爬到处去吃，有很多种走法，求出最短路线长为．【答案】【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体的侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．【详解】解：①如图，连接，在中，，，由勾股定理得：，此时；②如图，连接，在中，，，由勾股定理得：；∵，∴从处爬到处的最短路程是．故答案为：【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，关键是画出图形知道求出哪一条线段的长，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，切记要进行分类讨论．【变式训练】1．（2023春·江西上饶·八年级统考阶段练习）如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为、、．和是这个台阶两个相对的端点，在点有一只蚂蚁，想到点去受食，那么它爬行的最短路程是．【答案】【分析】将台阶展开，得到一直角边长为，另一直角边为的直角三角形，求其斜边即可．【详解】将台阶展开，得到一直角边长为，另一直角边为的直角三角形，所以最短距离为，故答案为：．【点睛】本题考查了几何体的展开图，勾股定理，熟练掌握展开图，勾股定理是解题的关键．2．（2023春·山东青岛·八年级统考开学考试）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U形池，该U形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为的半圆，其边缘，点E在上，，一滑板爱好者从U形池内侧的点A滑到点E，则他滑行的最短距离约为m．（取3）

【答案】【分析】要求滑行的最短距离，需将该U形池的侧面展开，进而根据两点之间线段最短，得出结论．【详解】解：U形池的侧面展开图如图：

由题意，，，在中，，故答案为：．【点睛】本题考查了最短路径问题，把U形池的侧面展开矩形，化曲面为平面是解题的关键．3．（2023秋·四川成都·八年级校考阶段练习）长方体的长为，宽为，高为，点B离点C，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是．

【答案】【分析】画出长方体的几种侧面展开图，根据勾股定理求出的长即可．【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1：

长方体的宽为，高为，点离点的距离是，，，在直角三角形中，根据勾股定理得：；只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2：

长方体的宽为，高为，点离点的距离是，，，在直角三角形中，根据勾股定理得：；只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3：

长方体的宽为，高为，点离点的距离是，，在直角三角形中，根据勾股定理得：；蚂蚁爬行的最短距离是．故答案为：．【点睛】本题考查的是平面展开最短路径问题，根据题意画出长方体的侧面展开图，根据勾股定理求解是解答此题的关键．4．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，圆柱形容器的高为120cm，底面周长为100cm，在容器内壁离容器底部40cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40cm与蚊子相对的点A处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离．【答案】130cm【分析】将容器侧面展开，建立A关于EC的对称点，根据两点之间线段最短可知B的长度即为所求．【详解】解：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，连接B交EC于F，则B即为最短距离．∵高为120cm，底面周长为100cm，在容器内壁离容器底部40cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40cm与蚊子相对的点A处，∴D＝50cm，BD＝120cm，∴在直角△DB中，B＝＝130（cm）．故壁虎捕捉蚊子的最短距离为130cm．【点睛】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．5．（2023春·湖北孝感·八年级校考阶段练习）如图，圆柱形容器高12cm，底面周长24cm，在杯口点B处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的A处，(1)求蚂蚁从A到B处吃到蜂蜜最短距离；(2)若蚂蚁刚出发时发现B处的蜂蜜正以每秒钟1cm沿杯内壁下滑，4秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜，求蚂蚁的平均速度至少是多少？

【答案】(1)蚂蚁要吃到食物所走的最短路线长度是cm；(2)蚂蚁的平均速度是5米/秒【分析】（1）先将圆柱的侧面展开，再根据勾股定理求解即可；（2）作点E关于点B的对称点，再根据勾股定理得到蚂蚁所走的路程，于是得到结论．【详解】（1）解：如图所示，

∵圆柱形玻璃容器，高12cm，底面周长为24cm，∴，∴．答：蚂蚁要吃到食物所走的最短路线长度是cm；（2）解：4秒钟后蜂蜜下滑了4cm到点E，

作点E关于点B的对称点，∴蚂蚁所走的最短路程就是，∵，，∴蚂蚁所走的路程，∴蚂蚁的平均速度（米/秒）．答：蚂蚁的平均速度为5米/秒．【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，将图形展开，利用勾股定理进行计算是解题的关键．6．（2023春·河南驻马店·八年级统考期中）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．小明认为蚂蚁能够最快到达目的地的路径AC1，小王认为蚂蚁能够最快到达目的地的路径AC1′．已知AB=4，BC=4，CC1=5时，请你帮忙他们求出蚂蚁爬过的最短路径长．【答案】最短路径长是．【分析】根据题意，先将长方体展开，再根据两点之间线段最短．【详解】解：蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1'，爬过的路径的长是AC1′；蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C1，爬过的路径的长是AC1．因为：AC1′＞AC1，所以最短路径长是．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，本题是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．7．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图是长、宽、高的长方体容器．(1)求底面矩形的对角线的长；(2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是多少？(3)一只蚂蚁从D点爬到E点最短路径是多少？【答案】(1)底面矩形的对角线的长为(2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是(3)蚂蚁从D点爬到E点最短路径【分析】（1）根据题意运用勾股定理即可得出结果；（2）根据题意连接、，两次运用勾股定理即可得出结果;（3）分别求出三种情