江西省南昌市部分校联考2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题（解析版）

第页南昌县2024～2025学年度第一学期期中考试九年级数学试题一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分）1.下列所述图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形的定义、中心对称图形的定义判断即可．【详解】A、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：A．【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，能利用定义识别轴对称图形和中心对称图形，找到对称轴或对称中心是关键．2.已知关于的一元二次方程有一个根为2，则另一根为（）A.2 B.3 C.4 D.7【答案】B【解析】【分析】设方程的另一根为，利用一元二次方程的根与系数的关系得到，然后解一元一次方程即可．【详解】解：设方程的另一根为，∴，∴．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：如果一元二次方程的两根分别为，，则，．3.方程4x2﹣3x+1＝0的根的情况是（）A.有两个都是负的实数根 B.有两个都是正的实数根C.有两个相等的实数根 D.没有实数根【答案】D【解析】【分析】根据根的判别式即可求出答案．【详解】解：由题意可知：，∴原方程没有实数根故选：D．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．4.将抛物线的图象先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的解析式是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函数图象的平移规律即可求解．【详解】解：将抛物线的图象先向右平移3个单位得到：，再向上平移4个单位得到：，故选D．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握其平移规律是解题的关键．5.已知二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（）A.B.该二次函数图像的对称轴是直线C.一元二次方程的两个解是，D.【答案】C【解析】【分析】根据二次函数图像的性质取判断即可，从对称轴可判断B，结合开口方向和y轴交点可判断A，根据对称性可判断C，函数图像与x轴交点个数可判断D．【详解】解：由函数图像可知开口向下，对称轴为，B错误，不符合题意；，函数图像与y轴交于，，，A错误，不符合题意；在函数图像上，对称轴为，由对称性，也在函数图像上，，一元二次方程的两个解是，，C正确，符合题意；函数图像与x轴有两个交点，D错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质；熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．6.将按如图方式放置在平面直角坐标系中，其中，，顶点A的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点A对应点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，规律型：点的坐标，解直角三角形等知识，6次一个循环，分别求出第一次到第六次的点A的坐标，利用规律解决问题即可．【详解】解：如图，∵，，∴，，∵，∴，∵将绕原点逆时针旋转，每次旋转，∴第一次旋转后的坐标为，第二次旋转后的坐标为，第三次旋转后的坐标为，第四次旋转后的坐标为，第五次旋转后的坐标为2,0，第六次旋转后的坐标为，，6次一个循环，∵，∴第2024次旋转结束时，点A对应点的坐标为，故选：B．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）7.点关于坐标原点对称的点坐标为_________．【答案】【解析】【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征．根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数求解即可．【详解】解：点关于原点对称的点坐标为，故答案为：．8.若二次函数的图象开口向下且经过原点，则a的值是_____．【答案】【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握函数的图象与性质是关键；抛物线经过原点，把此点坐标代入二次函数得，，解得a的值．再图象开口向下，确定a的值．【详解】解：∵抛物线经过原点，∴，解得，∵图象开口向下，，∴．故答案为．9.一元二次方程的两根分别为a和b，则的值为______．【答案】26【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得，，代入计算可得．【详解】∵方程的两根分别为a和b，∴，，

则，

故答案为26．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．10.已知抛物线经过点和，则_____（填“”“”或“”）．【答案】【解析】【分析】分别把和代入，求出，，即可求解．【详解】解：当时，，当时，，∴．故答案为：【点睛】本题考查二次函数的图象上点的特点；能够用代入法求二次函数点的坐标是解题的关键．11.某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了300个充电桩，第三个月新建了525个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，请列出方程________．【答案】【解析】【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用该市第三个月新建智能充电桩个数该市第一个月新建智能充电桩个数该市新建智能充电桩个数的月平均增长率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：根据题意得：．故答案为：．12.如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转角得到，连接，．当为等腰三角形时，旋转角的度数为______．【答案】或或【解析】【分析】分三种情况讨论，一是点在上，则是等边三角形，可证明，则是等腰三角形，此时；二是点在上，可证明，则是等腰三角形，此时；三是是等腰三角形，且，作于点，交于点，则，可证明，再推导出，则，所以，可求得，此时．【详解】解：如图1，点在上，由旋转得，，，是等边三角形，，，四边形是平行四边形，，，，是等腰三角形，；如图2，点在上，，，，，是等腰三角形，；如图3，是等腰三角形，且，作于点，交于点，则，，，，，，，，，，，，，，，综上所述，旋转角的度数为或或，故答案为：或或．【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．三、解答题（共5小题，每小题6分，共30分）13.用适当的方法解下列方程（1）；（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程；（1）先进行配方得到，然后进行开方即可；（2）先提取公因式即可得到，再解两个一元一次方程即可．【小问1详解】解：∵，∴，∴；【小问2详解】解：∵，∴，∴．14.已知二次函数（如图）．（1）用配方法将化成的形式；（2）设抛物线与x轴的一个交点为A（非原点），顶点为B，则A点坐标为，B点坐标为；（3）若直线经过A，B两点，请直接写出当时，自变量x的取值的范围是．【答案】（1）；（2），；（3）．【解析】【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）令，解方程得A点坐标；根据顶点式可写出点B坐标；（3）根据两个函数的图像，利用数形结合的方法，求出自变量x的取值的范围．【小问1详解】解：==，故为所求；【小问2详解】解：令，，或，点A非原点，；由（1）问，可知顶点；故答案为：，；【小问3详解】解：设抛物线的对称轴与x轴交于点C，则，如图，由图像可知，当时，直线在抛物线的图像的上方，自变量的取值的范围是：；故答案为：．【点睛】此题考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的顶点式、二次函数的图像与x轴的交点、二次函数与一次函数比较函数值的大小是解此题的关键．15.已知是中心对称图形，点是平面上一点，请仅用无刻度直尺画出点关于对称中心对称点．（1）如图1，点E在的边上；（2）如图2，点E在外．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题考查中心对称图形、平行四边形的性质，熟练掌握中心对称图形、平行四边形的性质是解答本题的关键．（1）连接，交于点，再连接并延长，交于点，则点即为所求；（2）连接，交于点，连接，交于点，连接并延长，交于点，再连接并延长，交的延长线于点，则点即为所求．【小问1详解】解：如图1，点即为所求；【小问2详解】解：如图2，点即为所求．16.如图，一农场主准备用木栅栏建一个面积为180平方米的养鸡场，一边靠墙，其它部分用的是木栅栏，并且留有两道宽1米的门．其中，门用其它材料制作，木栅栏总长46米，墙长20米．（1）设养鸡场宽米，用含的代数式表示养鸡场的长．（2）求出的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找到等量关系准确地列出方程是解题的关键．（1）根据题意，用含的代数式表示养鸡场的长即可；（2）根据矩形的面积长宽，用未知数表示出鸡场的面积，根据面积为180平方米，可得方程，解方程即可．小问1详解】设与墙平行的一边长为米，养鸡场的长为（米）；【小问2详解】根据题意得：，整理得出：，解得：，，墙长20米，，即，．17.已知

关于x的一元二次方程．求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；当的斜边长，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求的周长．【答案】（1）答案见解析；（2）．【解析】【分析】（1）应用根的判别式直接判断就可以.（2）先根据根与系数的关系求出两根之和，两根之积再用勾股定理求出k，继而求得周长【详解】（1）a=1,b=-（2k+1）,c=4k-3，∵∴即∴无论取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根.（2）∵两条直角边的长b和c恰好是这个方程的两个根∴根据韦达定理可知∴，解得.当时，周长【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练一元二次方程根的判别式，根与系数的关系是解题的关键．四、解答题（共3小题，每小题8分，共24分）18.某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；（3）如果该文具的销售单价高于进价且不超过30元，请你计算最大利润．【答案】（1）w=-10x2+700x-10000；（2）当单价为35元时，该文具每天的利润最大；（3）2000．【解析】【分析】（1）根据利润=（单价-进价）×销售量，列出函数关系式即可；（2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值；（3）利用二次函数增减性直接求出最值即可．【详解】（1）由题意得，销售量=250-10（x-25）=-10x+500，则w=（x-20）（-10x+500）=-10x2+700x-10000；（2）w=-10x2+700x-10000=-10（x-35）2+2250．∵-10＜0，∴函数图象开口向下，w有最大值，当x=35时，wmax=2250，故当单价为35元时，该文具每天的利润最大；（3）20＜x≤30，对称轴左侧w随x的增大而增大，故当x=30时，w有最大值，此时w=2000．19.如图，在中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G．（1）求证：；（2）若，求的度数．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查了旋转性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，证明是解题的关键．(1)由旋转的性质可得，利用证明，根据全等三角形的对应边相等即可得出；(2)根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，那么．由，得出，再根据三角形外角的性质即可求出，进而即可求解．【小问1详解】解：∵将线段绕点旋转到的位置，∴，∵，∴，即，在和中，，∴，∴；【小问2详解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∵是的外角，∴，∴的度数为．20.如图，一小球M从斜坡上的O点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一都分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画，若小球到达的最高的点坐标为，解答下列问题：（1）求抛物线解析式；（2）在斜坡上的B点有一棵树，B点的横坐标为2，树高为4，小球M能否飞过这棵树？【答案】（1）（2）小球M能飞过这棵树【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为，将顶点坐标和代入即可进行解答；（2）先求出点B的纵坐标和当小球M在点B正上方时M的纵坐标，再比较树顶端离地面的高度和小球M离地面的高度即可．【小问1详解】解：设抛物线的解析式为，∵抛物线最高点坐标为，∴抛物线的解析式为，由图可知，抛物线经过，∴，解得：，∴抛物线的解析式为．【小问2详解】把代入得：，∴，即点B到x轴的距离为1，∵树高为4，∴树顶端的高度为，把代入，∵，∴小球M能飞过这棵树．【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题题意，找出等量关系，列出函数表达式．五、解答题（共2小题，每小题9分，共18分）21.若直线与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象经过点，点，且与轴交于点．（1）求二次函数的解析式；（2）若点为直线下方抛物线上一点，连接，，求面积的最大值及此时点的坐标；【答案】（1）（2）当时，最大，最大为，这时点P的坐标为【解析】【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握的图像和性质是解题的关键．（1）利用待定系数法求函数解析式即可；（2）过点P作轴交AB于点Q，设点P的坐标为，则点Q的坐标为，则，然后根据计算即可．小问1详解】解：当x=0时，，∴点A的坐标为，当时，，解得，∴点B的坐标为，设抛物线的解析式为，代入得：，解得：，∴二次函数的解析式为；【小问2详解】解：过点P作轴交AB于点Q，设点P的坐标为，则点Q的坐标为，∴，∴，当时，最大，最大为，这时点P的坐标为．22.给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．（1）以下四边形中，是勾股四边形的为________（填序号即可）；①平行四边形；②矩形；③有一个角为直角的任意四边形；④有一个角为60°的菱形．（2）如图1，将绕顶点按顺时针方向旋转得到．①连接，当，时，求证：四边形是勾股四边形．②如图2，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，与交于点．连接．若，，，求的长度．【答案】（1）②③（2）①证明见解析；②【解析】【分析】（1）根据勾股四边形的定义，对选项逐个判断即可；（2）①连接，利用旋转的性质得到，即，即可求解；②延长交延长线于点，由推出，等腰三角形的性质得到，勾股定理求解即可．【小问1详解】解：①平行四边形，∵，不满足勾股四边形的定义，不是勾股四边形；②矩形，由矩形的性质可得：，所以满足勾股四边形的定义，是勾股四边形；③有一个角为直角的任意四边形，如图，则：满足勾股四边形的定义，是勾股四边形；④有一个角为60°的菱形，∵，不满足勾股四边形的定义，不是勾股四边形；故答案为：②③【小问2详解】①连接，如图：由旋转的性质可得：，，，∴为等边三角形，即由四边形的内角和性质可得：∴∴∴∴，即∴四边形是勾股四边形②延长交延长线于点，如图：由题意可得：，∵，∴∵，∴∴∵∴∴∴∵，∴∴∵∴∴，∴【点睛】此题是几何变换综合题，考查了勾股定理、旋转的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解勾股四边形的定义，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．六、解答题（共1小题，每小题12分，共12分）23.如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，其中A（3，0），B（－1，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y＝kx＋b1经过点A、C，连接CD．（1）分别求抛物线和直线AC的解析式