北京市丰台区2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题含答案及解析

丰台区2024-2025学年度第一学期期中练习高二数学考试时间：120分钟第I卷（选择题共40分）一、选择题：本部分共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出最符合题意的一项.1.已知，，且，则（）A. B. C.2 D.102.若直线过两点和，则直线倾斜角为（）A. B. C. D.3.过点，且横、纵截距相等的直线方程为（）A.或 B.或C.或 D.或4.已知以点为圆心，为半径的圆，则点与圆的位置关系是（）A.在圆内 B.在圆上C.在圆外 D.无法判断5.如图，在平行六面体中，，为线段CH的中点，则可表示为（）A. B.C. D.6.在空间直角坐标系中，若点关于轴的对称点为点，点关于平面的对称点为点，则（）A. B.C. D.7.过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（）A.1 B.2 C. D.8.设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且，若直线PA的方程为，则直线PB的方程为（）A B.C D.9.在棱长为4的正方体内有一点P，它到该正方体共顶点的三个面的距离分别为2，1，1，记正方体的中心为点O，则OP=（）A. B. C.2 D.10.在棱长为2正四面体ABCD中，点M满足=x+y-(x+y-1)，点N满足=λ+(1-λ)，当AM、BN最短时，·=（）A.- B. C.- D.第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.11.圆的圆心坐标为___________；半径为___________.12.已知直线，且的方向向量为，平面的法向量为，则______.13.已知两平行直线，，则与间的距离是________.14.已知，，，若四点共面，则实数___________.15.在平面直角坐标系中，定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点及直线上任一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作.已知点和直线，则=________；若定点，动点满足，则点所在的曲线所围成图形的面积是_________.三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知直线过点，直线：．（1）若，求直线的方程；（2）若直线与轴和直线围成的三角形的面积为，求直线的方程．17.如图所示，在三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上，且.（1）用表示向量；（2）求；（3）求证：.18.已知圆，圆及点.（1）判断圆和圆的位置关系，并说明理由；（2）若斜率为直线经过点且与圆相切，求直线的方程.19.如图，在长方体中，，，点在上，且.（1）求直线与直线所成角的大小；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）若点在侧面上，且点到直线和的距离相等，求点P到直线距离的最小值．20.如图，在四棱锥中，平面，为等腰三角形，，，，点分别为棱的中点．（1）求证：直线平面；（2）求直线到平面的距离；（3）试判断棱上是否存在一点G，使平面与平面夹角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.21.已知圆M的圆心在y轴上，半径为2，且经过点.（1）求圆M的标准方程；（2）设点，过点D作直线，交圆M于P，Q两点（P，Q不在y轴上），过点D作与直线垂直的直线，交圆M于E，F两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值.

丰台区2024-2025学年度第一学期期中练习高二数学考试时间：120分钟第I卷（选择题共40分）一、选择题：本部分共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出最符合题意的一项.1.已知，，且，则（）A. B. C.2 D.10【答案】C【解析】【分析】根据空间向量平行得到方程组，求出答案.【详解】由题意得，即，所以，解得.故选：C2.若直线过两点和，则直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用直线上两点坐标表示斜率，再利用斜率和倾斜角的关系，即得解【详解】由题意，设直线的斜率为，倾斜角为故由于，故故选：B3.过点，且横、纵截距相等的直线方程为（）A.或 B.或C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】求出直线过原点和直线不过原点时，对应直线的方程即可．【详解】解：当直线过原点时，直线的斜率为，则直线方程为；当直线不过原点时，设直线方程为，则，解得，所求的直线方程为，综上知，所求直线方程为或．故选：D.4.已知以点为圆心，为半径的圆，则点与圆的位置关系是（）A.在圆内 B.在圆上C.在圆外 D.无法判断【答案】A【解析】【分析】计算出圆心到点的距离，比较与圆半径的大小，可得出结论.【详解】由题意，圆心，点，圆的半径为，因为，因此，点在圆内.故选：A.5.如图，在平行六面体中，，为线段CH的中点，则可表示为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意结合空间向量的线性运算分析求解即可.【详解】由题可得：，所以.故选：B.6.在空间直角坐标系中，若点关于轴的对称点为点，点关于平面的对称点为点，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用对称性求出点、的坐标，再利用空间向量的坐标运算可求得向量的坐标.【详解】因为点关于轴的对称点为点，则，因为点关于平面的对称点为点，则，因此，.故选：A.7.过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（）A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】先得到过原点且倾斜角为的直线的方程，求出圆心到直线的距离，利用垂径定理进行求解.【详解】过原点且倾斜角为的直线为，即，圆心到的距离，故直线被圆所截得的弦长为.故选：B8.设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且，若直线PA的方程为，则直线PB的方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】确定、两点的坐标，利用两点式可求直线PB的方程.【详解】如图：因为点在直线上，且横坐标为2，所以点坐标为2,3，点为直线与轴交点，所以，又点在轴上，且，则点2,0是的中点，所以，所以直线PB的方程为，即.故选：C.9.在棱长为4的正方体内有一点P，它到该正方体共顶点的三个面的距离分别为2，1，1，记正方体的中心为点O，则OP=（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】建立空间直角坐标系，确定点O，P坐标，利用空间两点间的距离公式，即可求得答案.【详解】由题意知在棱长为4的正方体内有一点P，它到该正方体共顶点的三个面的距离分别为2，1，1，不妨设该顶点为D，以D点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系：则，根据正方体的对称性，可取，故.故选：D10.在棱长为2的正四面体ABCD中，点M满足=x+y-(x+y-1)，点N满足=λ+(1-λ)，当AM、BN最短时，·=（）A.- B. C.- D.【答案】A【解析】【分析】首先由向量的关系式得M∈平面BCD，N∈直线AC，由条件判断点，线，面的位置关系，结合向量数量积的运算，即可求解.【详解】由共面向量定理和共线向量定理可知，M∈平面BCD，N∈直线AC，当AM、BN最短时，AM⊥平面BCD，BN⊥AC，所以M为△BCD的中心，N为AC的中点，此时，2||==，∴||=，∵AM⊥平面BCD，MC⊂平面BCD，∴AM⊥MC，∴||===.又=(+)，∴·=(·+·)=-||2=-.故选：A.第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.11.圆的圆心坐标为___________；半径为___________.【答案】①.②.【解析】【分析】配方后可得圆心坐标和半径．【详解】将圆的一般方程化为圆标准方程是，圆心坐标为，半径为．故答案为：；．12.已知直线，且的方向向量为，平面的法向量为，则______.【答案】【解析】【分析】根据线面的位置关系得直线的方向向量与平面法向量垂直，然后利用向量垂直的坐标运算列式计算即可.【详解】因为直线，且的方向向量为，平面的法向量为，所以，解得.故答案为：13.已知两平行直线，，则与间的距离是________.【答案】##【解析】【分析】利用两直线平行可得，再利用平行线间的距离公式计算可得结果.【详解】由两直线平行可知，此时将可化为，所以与间的距离为.故答案为：14.已知，，，若四点共面，则实数___________.【答案】3【解析】【分析】由共面向量基本定理结合向量的坐标运算列式求解即可.【详解】因为四点共面，所以存在实数，使得，即，所以，解得，所以.故答案为：.15.在平面直角坐标系中，定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点及直线上任一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作.已知点和直线，则=________；若定点，动点满足，则点所在的曲线所围成图形的面积是_________.【答案】①.②.【解析】【分析】设点是直线上一点，且，可得，讨论的大小，可得距离，再由函数的性质，求得最小值；运用新定义，求得点的轨迹图形，计算图形的面积即可.【详解】设为直线上一点，则，由，解得，即有，当时，取得最小值，由，解得或，即有，的范围为，无最小值，综上，的最小值为，所以.设轨迹上动点为Px,y，则，等价于或，所以点的轨迹是以为中心，边长为的正方形，所以点所在的曲线所围成图形的面积为.故答案为：【点睛】关键点点睛：此题考查新定义理解和运用，解题的关键是正确理解新定义，注意与的区别.三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16已知直线过点，直线：．（1）若，求直线的方程；（2）若直线与轴和直线围成的三角形的面积为，求直线的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由题意，根据垂直关系可求得直线斜率，结合直线方程的点斜式即得解；（2）分直线斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线：，用表示面积，求解即可【小问1详解】设直线斜率为，直线的斜率为因为，所以又因为，所以又因为直线过点直线的方程为，即．【小问2详解】若直线斜率不存在，则直线：此时，直线与轴和直线围成的三角形面积为，符合题意．若直线斜率存在，设直线的斜率为设直线：，与轴交点为点令，解得所以点坐标为直线与直线的交点为点因为直线与轴和直线围成的三角形面积为即即，可求得则直线的方程为综上：直线方程为或．17.如图所示，在三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上，且.（1）用表示向量；（2）求；（3）求证：.【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算结合空间向量基本定理求解即可；（2）利用数量积的运算律求解模长即可；（3）先利用向量线性运算得，然后利用数量积的运算律及定义求得，即可证明.【小问1详解】；【小问2详解】，则；【小问3详解】，所以，所以，即.18.已知圆，圆及点.（1）判断圆和圆的位置关系，并说明理由；（2）若斜率为的直线经过点且与圆相切，求直线的方程.【答案】（1）圆和圆相交，理由见解析（2）或.【解析】【分析】（1）求出两圆的圆心和半径，比较圆心距与半径和、差的关系，可得两圆的位置关系.（2）设直线方程的点斜式，利用圆心到直线的距离等于远的半径求，可得圆的切线方程.【小问1详解】圆方程可整理为：，则圆心，半径，由圆方程可知：圆心，半径，因为，，，所以，所以圆和圆相交.【小问2详解】当过的直线斜率不存在，即直线为时，其与圆不相切，所以可设所求切线方程为：，即，所以圆心到切线的距离，即，解得：或，所以切线方程为：或，即或.19.如图，在长方体中，，，点在上，且.（1）求直线与直线所成角的大小；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）若点在侧面上，且点到直线和的距离相等，求点P到直线距离的最小值．【答案】（1）（2）（3）1【解析】【分析】（1）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求出直线与直线的方向向量运算得解；（2）求出平面的一个法向量，利用向量法求解；（3）设出点，可得，利用点到直线距离公式求解.【小问1详解】以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示：,则，，所以直线与直线所成角为.【小问2详解】设平面的一个法向量为，，因为，所以，即，令，则，所以，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.【小问3详解】设，根据题意有，即，，则点到的距离，当时，取得最小值1.所以点到的距离最小值为1.20.如图，在四棱锥中，平面，为等腰三角形，，，，点分别为棱的中点．（1）求证：直线平面；（2）求直线到平面的距离；（3）试判断棱上是否存在一点G，使平面与平面夹角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理可求得结果；（2）根据已知条件建立空间直角坐标，确定各点坐标，计算平面的法向量，再根据线面之间的距离公式可求得结果；（3）假设存在，设，根据面面夹角的余弦值列得等式，求出值即可.【小问1详解】连接，如图所示：，因为点分别为棱的中点，所以是的中位线，所以，因为平面，平面，所以平面；【小问2详解】由（1）知直线到平面的距离等于点到平面的距离，取中点，连接，因为，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，所以平面，所以，因为为中点，所以，