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文档简介
河北省九校2025届高考仿真模拟数学试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数,若,且,则的取值范围为()A. B. C. D.2.抛物线的焦点为,则经过点与点且与抛物线的准线相切的圆的个数有()A.1个 B.2个 C.0个 D.无数个3.某网店2019年全年的月收支数据如图所示,则针对2019年这一年的收支情况,下列说法中错误的是()A.月收入的极差为60 B.7月份的利润最大C.这12个月利润的中位数与众数均为30 D.这一年的总利润超过400万元4.设点,P为曲线上动点,若点A,P间距离的最小值为,则实数t的值为()A. B. C. D.5.若函数()的图象过点,则()A.函数的值域是 B.点是的一个对称中心C.函数的最小正周期是 D.直线是的一条对称轴6.数列{an},满足对任意的n∈N+,均有an+an+1+an+2为定值.若a7=2,a9=3,a98=4,则数列{an}的前100项的和S100=()A.132 B.299 C.68 D.997.双曲线的一条渐近线方程为,那么它的离心率为()A. B. C. D.8.我国宋代数学家秦九韶(1202-1261)在《数书九章》(1247)一书中提出“三斜求积术”,即:以少广求之,以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上;以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实;一为从隅,开平方得积.其实质是根据三角形的三边长,,求三角形面积,即.若的面积,,,则等于()A. B. C.或 D.或9.己知函数若函数的图象上关于原点对称的点有2对,则实数的取值范围是()A. B. C. D.10.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上,且,若正方体的六个面所在的平面与直线相交的平面个数分别记为,则下列结论正确的是()A. B. C. D.11.点为棱长是2的正方体的内切球球面上的动点,点为的中点,若满足,则动点的轨迹的长度为()A. B. C. D.12.明代数学家程大位(1533~1606年),有感于当时筹算方法的不便,用其毕生心血写出《算法统宗》,可谓集成计算的鼻祖.如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题.执行该程序框图,若输出的的值为,则输入的的值为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知x,y满足约束条件x-y-1≥0x+y-3≤02y+1≥0,则14.已知过点的直线与函数的图象交于、两点,点在线段上,过作轴的平行线交函数的图象于点,当∥轴,点的横坐标是15.已知函数的部分图象如图所示,则的值为____________.16.在中,内角所对的边分别为,若,的面积为,则_______,_______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)若是的极值点,求的极大值;(2)求实数的范围,使得恒成立.18.(12分)如图,已知抛物线:与圆:()相交于,,,四个点,(1)求的取值范围;(2)设四边形的面积为,当最大时,求直线与直线的交点的坐标.19.(12分)如图,三棱柱中,底面是等边三角形,侧面是矩形,是的中点,是棱上的点,且.(1)证明:平面;(2)若,求二面角的余弦值.20.(12分)如图,在三棱柱中,、、分别是、、的中点.(1)证明:平面;(2)若底面是正三角形,,在底面的投影为,求到平面的距离.21.(12分)如图,是矩形,的顶点在边上,点,分别是,上的动点(的长度满足需求).设,,,且满足.(1)求;(2)若,,求的最大值.22.(10分)随着互联网金融的不断发展,很多互联网公司推出余额增值服务产品和活期资金管理服务产品,如蚂蚁金服旗下的“余额宝”,腾讯旗下的“财富通”,京东旗下“京东小金库”.为了调查广大市民理财产品的选择情况,随机抽取1200名使用理财产品的市民,按照使用理财产品的情况统计得到如下频数分布表:分组频数(单位:名)使用“余额宝”使用“财富通”使用“京东小金库”30使用其他理财产品50合计1200已知这1200名市民中,使用“余额宝”的人比使用“财富通”的人多160名.(1)求频数分布表中,的值;(2)已知2018年“余额宝”的平均年化收益率为,“财富通”的平均年化收益率为.若在1200名使用理财产品的市民中,从使用“余额宝”和使用“财富通”的市民中按分组用分层抽样方法共抽取7人,然后从这7人中随机选取2人,假设这2人中每个人理财的资金有10000元,这2名市民2018年理财的利息总和为,求的分布列及数学期望.注:平均年化收益率,也就是我们所熟知的利息,理财产品“平均年化收益率为”即将100元钱存入某理财产品,一年可以获得3元利息.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】分析:作出函数的图象,利用消元法转化为关于的函数,构造函数求得函数的导数,利用导数研究函数的单调性与最值,即可得到结论.详解:作出函数的图象,如图所示,若,且,则当时,得,即,则满足,则,即,则,设,则,当,解得,当,解得,当时,函数取得最小值,当时,;当时,,所以,即的取值范围是,故选A.点睛:本题主要考查了分段函数的应用,构造新函数,求解新函数的导数,利用导数研究新函数的单调性和最值是解答本题的关键,着重考查了转化与化归的数学思想方法,以及分析问题和解答问题的能力,试题有一定的难度,属于中档试题.2、B【解析】
圆心在的中垂线上,经过点,且与相切的圆的圆心到准线的距离与到焦点的距离相等,圆心在抛物线上,直线与抛物线交于2个点,得到2个圆.【详解】因为点在抛物线上,又焦点,,由抛物线的定义知,过点、且与相切的圆的圆心即为线段的垂直平分线与抛物线的交点,这样的交点共有2个,故过点、且与相切的圆的不同情况种数是2种.故选:.【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质,本题解题的关键是求出圆心的位置,看出圆心必须在抛物线上,且在垂直平分线上.3、D【解析】
直接根据折线图依次判断每个选项得到答案.【详解】由图可知月收入的极差为,故选项A正确;1至12月份的利润分别为20,30,20,10,30,30,60,40,30,30,50,30,7月份的利润最高,故选项B正确;易求得总利润为380万元,众数为30,中位数为30,故选项C正确,选项D错误.故选:.【点睛】本题考查了折线图,意在考查学生的理解能力和应用能力.4、C【解析】
设,求,作为的函数,其最小值是6,利用导数知识求的最小值.【详解】设,则,记,,易知是增函数,且的值域是,∴的唯一解,且时,,时,,即,由题意,而,,∴,解得,.∴.故选:C.【点睛】本题考查导数的应用,考查用导数求最值.解题时对和的关系的处理是解题关键.5、A【解析】
根据函数的图像过点,求出,可得,再利用余弦函数的图像与性质,得出结论.【详解】由函数()的图象过点,可得,即,,,故,对于A,由,则,故A正确;对于B,当时,,故B错误;对于C,,故C错误;对于D,当时,,故D错误;故选:A【点睛】本题主要考查了二倍角的余弦公式、三角函数的图像与性质,需熟记性质与公式,属于基础题.6、B【解析】
由为定值,可得,则是以3为周期的数列,求出,即求.【详解】对任意的,均有为定值,,故,是以3为周期的数列,故,.故选:.【点睛】本题考查周期数列求和,属于中档题.7、D【解析】
根据双曲线的一条渐近线方程为,列出方程,求出的值即可.【详解】∵双曲线的一条渐近线方程为,可得,∴,∴双曲线的离心率.故选:D.【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法,属于基础题.8、C【解析】
将,,,代入,解得,再分类讨论,利用余弦弦定理求,再用平方关系求解.【详解】已知,,,代入,得,即,解得,当时,由余弦弦定理得:,.当时,由余弦弦定理得:,.故选:C【点睛】本题主要考查余弦定理和平方关系,还考查了对数学史的理解能力,属于基础题.9、B【解析】
考虑当时,有两个不同的实数解,令,则有两个不同的零点,利用导数和零点存在定理可得实数的取值范围.【详解】因为的图象上关于原点对称的点有2对,所以时,有两个不同的实数解.令,则在有两个不同的零点.又,当时,,故在上为增函数,在上至多一个零点,舍.当时,若,则,在上为增函数;若,则,在上为减函数;故,因为有两个不同的零点,所以,解得.又当时,且,故在上存在一个零点.又,其中.令,则,当时,,故为减函数,所以即.因为,所以在上也存在一个零点.综上,当时,有两个不同的零点.故选:B.【点睛】本题考查函数的零点,一般地,较为复杂的函数的零点,必须先利用导数研究函数的单调性,再结合零点存在定理说明零点的存在性,本题属于难题.10、A【解析】
根据题意,画出几何位置图形,由图形的位置关系分别求得的值,即可比较各选项.【详解】如下图所示,平面,从而平面,易知与正方体的其余四个面所在平面均相交,∴,∵平面,平面,且与正方体的其余四个面所在平面均相交,∴,∴结合四个选项可知,只有正确.故选:A.【点睛】本题考查了空间几何体中直线与平面位置关系的判断与综合应用,对空间想象能力要求较高,属于中档题.11、C【解析】
设的中点为,利用正方形和正方体的性质,结合线面垂直的判定定理可以证明出平面,这样可以确定动点的轨迹,最后求出动点的轨迹的长度.【详解】设的中点为,连接,因此有,而,而平面,,因此有平面,所以动点的轨迹平面与正方体的内切球的交线.正方体的棱长为2,所以内切球的半径为,建立如下图所示的以为坐标原点的空间直角坐标系:因此有,设平面的法向量为,所以有,因此到平面的距离为:,所以截面圆的半径为:,因此动点的轨迹的长度为.故选:C【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理的应用,考查了立体几何中轨迹问题,考查了球截面的性质,考查了空间想象能力和数学运算能力.12、C【解析】
根据程序框图依次计算得到答案.【详解】,;,;,;,;,此时不满足,跳出循环,输出结果为,由题意,得.故选:【点睛】本题考查了程序框图的计算,意在考查学生的理解能力和计算能力.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、3【解析】
先根据约束条件画出可行域,再由y=2x-z表示直线在y轴上的截距最大即可得解.【详解】x,y满足约束条件x-y-1≥0x+y-3≤02y+1≥0,画出可行域如图所示.目标函数z=2x-y,即平移直线y=2x-z,截距最大时即为所求.2y+1=0x-y-1=0点A(12,z在点A处有最小值:z=2×1故答案为:32【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用,利用数形结合,结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法.14、【解析】
通过设出A点坐标,可得C点坐标,通过∥轴,可得B点坐标,于是再利用可得答案.【详解】根据题意,可设点,则,由于∥轴,故,代入,可得,即,由于在线段上,故,即,解得.15、【解析】
由图可得的周期、振幅,即可得,再将代入可解得,进一步求得解析式及.【详解】由图可得,,所以,即,又,即,,又,故,所以,.故答案为:【点睛】本题考查由图象求解析式及函数值,考查学生识图、计算等能力,是一道中档题.16、【解析】
由已知及正弦定理,三角函数恒等变换的应用可得,从而求得,结合范围,即可得到答案运用余弦定理和三角形面积公式,结合完全平方公式,即可得到答案【详解】由已知及正弦定理可得,可得:解得,即,由面积公式可得:,即由余弦定理可得:即有解得【点睛】本题主要考查了运用正弦定理、余弦定理和面积公式解三角形,题目较为基础,只要按照题意运用公式即可求出答案三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1).(2)【解析】
(1)先对函数求导,结合极值存在的条件可求t,然后结合导数可研究函数的单调性,进而可求极大值;(2)由已知代入可得,x2+(t﹣2)x﹣tlnx≥0在x>0时恒成立,构造函数g(x)=x2+(t﹣2)x﹣tlnx,结合导数及函数的性质可求.【详解】(1),x>0,由题意可得,0,解可得t=﹣4,∴,易得,当x>2,0<x<1时,f′(x)>0,函数单调递增,当1<x<2时,f′(x)<0,函数单调递减,故当x=1时,函数取得极大值f(1)=﹣3;(2)由f(x)=x2+(t﹣2)x﹣tlnx+2≥2在x>0时恒成立可得,x2+(t﹣2)x﹣tlnx≥0在x>0时恒成立,令g(x)=x2+(t﹣2)x﹣tlnx,则,(i)当t≥0时,g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以g(x)min=g(1)=t﹣1≥0,解可得t≥1,(ii)当﹣2<t<0时,g(x)在()上单调递减,在(0,),(1,+∞)上单调递增,此时g(1)=t﹣1<﹣1不合题意,舍去;(iii)当t=﹣2时,g′(x)0,即g(x)在(0,+∞)上单调递增,此时g(1)=﹣3不合题意;(iv)当t<﹣2时,g(x)在(1,)上单调递减,在(0,1),()上单调递增,此时g(1)=t﹣1<﹣3不合题意,综上,t≥1时,f(x)≥2恒成立.【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及极值,利用导数与函数的性质处理不等式的恒成立问题,分类讨论思想,属于中档题.18、(1)(2)点的坐标为【解析】
将抛物线方程与圆方程联立,消去得到关于的一元二次方程,抛物线与圆有四个交点需满足关于的一元二次方程在上有两个不等的实数根,根据二次函数的有关性质即可得到关于的不等式组,解不等式即可.不妨设抛物线与圆的四个交点坐标为,,,,据此可表示出直线、的方程,联立方程即可表示出点坐标,再根据等腰梯形的面积公式可得四边形的面积的表达式,令,由及知,对关于的面积函数进行求导,判断其单调性和最值,即可求出四边形的面积取得最大值时的值,进而求出点坐标.【详解】(1)联立抛物线与圆的方程消去,得.由题意可知在上有两个不等的实数根.所以解得,所以的取值范围为.(2)根据(1)可设方程的两个根分别为,(),则,,,,且,,所以直线、的方程分别为,,联立方程可得,点的坐标为,因为四边形为等腰梯形,所以,令,则,所以,因为,所以当时,;当时,,所以函数在上单调递增,在上单调递减,即当时,四边形的面积取得最大值,因为,点的坐标为,所以当四边形的面积取得最大值时,点的坐标为.【点睛】本题考查利用导数求函数的极值与最值、抛物线及其标准方程及直线与圆锥曲线相关的最值问题;考查运算求解能力、转化与化归能力和知识的综合运用能力;利用函数的思想求圆锥曲线中面积的最值是求解本题的关键;属于综合型强、难度大型试题.19、(1)见解析(2)【解析】
(1)连结BM,推导出BC⊥BB1,AA1⊥BC,从而AA1⊥MC,进而AA1⊥平面BCM,AA1⊥MB,推导出四边形AMNP是平行四边形,从而MN∥AP,由此能证明MN∥平面ABC.(2)推导出△ABA1是等腰直角三角形,设AB,则AA1=2a,BM=AM=a,推导出MC⊥BM,MC⊥AA1,BM⊥AA1,以M为坐标原点,MA1,MB,MC为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角A﹣CM﹣N的余弦值.【详解】(1)如图1,在三棱柱中,连结,因为是矩形,所以,因为,所以,又因为,,所以平面,所以,又因为,所以是中点,取中点,连结,,因为是的中点,则且,所以且,所以四边形是平行四边形,所以,又因为平面,平面,所以平面.(图1)(图2)(2)因为,所以是等腰直角三角形,设,则,.在中,,所以.在中,,所以,由(1)知,则,,如图2,以为坐标原点,,,的方向分别为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系,则,,.所以,则,,设平面的法向量为,则即取得.故平面的一个法向量为,因为平面的一个法向量为,则.因为二面角为钝角,所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面平行的证明,考查了利用空间向量法求解二面角的方法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.20、(1)证明见解析;(2).【解析】
(1)连接,连接、交于点,并连接,则点为的中点,利用中位线的性质得出,,利用空间平行线的传递性可得出,然后利用线面平行的判定定理可证
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