八上数学课件平行四边形

第二十讲平行四边形一、平行四边形概念:两组对边分别 平行_的四边形.性质与判定性

质判

定边对边平行(1)两组对边分别

的四边形(2)两组对边分别

的四边形(3)一组对边

的平四行边且相形等

相等角对角

两组对角分别 的

平行且相等四边形对角线相等对角线相等对角线

的四边形互相平分

互相平分2.平行四边形的邻角相等.

(【思维诊断】(打“√”或“×”)1.平行四边形的对边平行且相等.

(

√)×)一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形.(×)平行四边形对角线相等且互相平分. ( ×)两条平行线之间的距离处处相等. ( √)热点考向一平行四边形的性质【例1】(2014·广州中考)如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别交于点E，F，求证:△AOE≌△COF.【思路点拨】由平行四边形的性质及对顶角的性质可推出△AOE与△COF全等的条件.在△AOE和△COF中,∴△AOE≌△COF.【自主解答】∵平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∴AO=CO,AB∥CD,∴∠EAO=∠FCO,∠EAO=∠FCO,AO=CO,∠AOE=∠COF,【规律方法】平行四边形的性质及应用平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.平行四边形的每条对角线，把它分成两个全等的三角形，两条对角线把平行四边形分成四组全等的三角形.在解决平行四边形中的线段和角相等的问题时，常利用其性质证三角形全等来解决.注意:平行四边形不一定是轴对称图形.【真题专练】1.(2014·河南中考)如图,▱ABCD的)对角线AC与BD相交于点O,AB⊥AC.若AB=4,AC=6,则BD的长是 (A.8 B.9 C.10D.11【解析】选C.根据平行四边形的性质,OA= AC= ×6=3,AB=4,由勾股定理,得OB=5,∴BD=2OB=2×5=10.2.(2014·福州中考)如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，AD=6，BE=2，则▱ABCD的周长是 .【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=6，AB=DC，AD∥BC，∴∠ADE=∠DEC.又∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠EDC，∴∠DEC=∠EDC，∴EC=DC.∵AD=6，BE=2，∴EC=DC=4.∴四边形ABCD的周长为2×(AD+DC)=20.答案:203.(2014·贺州中考)如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的点，∠1=∠2.(1)求证:BE=DF.(2)求证:AF∥CE.【证明】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD,∴∠5=∠3,∵∠1=∠2,∴∠AEB=∠4,在△ABE和△CDF中,∠AEB=∠4,∠3=∠5,AB=CD,∴△ABE≌△CDF,∴BE=DF.(2)由(1)得△ABE≌△CDF,∴AE=CF,∵∠1=∠2,∴AE∥CF,∴四边形AECF是平行四边形,∴AF∥CE.热点考向二平行四边形的判定【例2】(2013·鞍山中考)如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE.求证:(1)△AFD≌△CEB.(2)四边形ABCD是平行四边形.【思路点拨】(1)由DF∥BE得∠DFE=∠BEF,再证△AFD≌△CEB.(2)由△AFD≌△CEB得到AD=CB且AD∥CB.【自主解答】(1)∵DF∥BE,∴∠DFE=∠BEF.又∵AF=CE,DF=BE,∴△AFD≌△CEB.(2)由(1)知△AFD≌△CEB,∴∠DAC=∠BCA,AD=CB,∴AD∥CB.∴四边形ABCD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).【规律方法】平行四边形的三种判定思路若已知一组对边平行，可以证明这组对边相等，或另一组对边平行.若已知一组对边相等，可以证明这组对边平行，或另一组对边相等.若已知条件与对角线有关，可以证明对角线互相平分.注意:一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形.【真题专练】1.(2014·益阳中考)如图,平行四边形ABCD中,E,F是对角线BD上的两点,如果添加一个条件使△ABE≌△CDF,则添加的条件不能是

(

)A.AE=CFB.BE=FDC.BF=DED.∠1=∠2【解析】选A.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD.∴∠ABE=∠CDF.若添加“AE=CF”,则判断△ABE≌△CDF的方法是“SSA”,∴添加的条件不能是AE=CF.2.(2014·内江中考)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AD∥BC，请添加一个条件: ，使四边形ABCD为平行四边形(不添加任何辅助线).【解析】可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，添加AD=BC；或根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，添加AB∥DC.答案:答案不唯一；AD=BC(或者AB∥DC)3.(2014·云南中考)如图，在平行四边形ABCD中，∠C=60°，M，N分别是AD，BC的中点，BC=2CD.求证:四边形MNCD是平行四边形.求证:BD= MN.【证明】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∵M，N分别是AD，BC的中点，∴MD=NC，MD∥NC，∴四边形MNCD是平行四边形.(2)如图:连接ND，∵四边形MNCD是平行四边形，∴MN=DC.∵N是BC的中点，∴BN=CN，∵BC=2CD，∠C=60°，∴△NCD是等边三角形.∴ND=NC,∠DNC=60°.∵∠DNC是△BND的外角,∴∠NBD+∠NDB=∠DNC,∵DN=NC=NB,∴∠DBN=∠BDN=∠DNC=30°,∴∠BDC=90°.∵tan∠DBC== ,∴DB=【真题专练】1.(2013·茂名中考)如图，在▱ABCD中，点E是AB边的中点，DE与CB的延长线交于点F.求证:△ADE≌△BFE.若DF平分∠ADC，连接CE.试判断CE和DF的位置关系，并说明理由.【解题指南】第(1)题由全等三角形的判定定理AAS证得结论；第(2)题是结论探索题,根据图形先猜测CE⊥DF.然后由(1)中全等三角形及由等腰三角形的“三线合一”性质推出结论.【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.∵点F在CB的延长线上,∴AD∥CF,∴∠ADE=∠BFE.∵点E是AB边的中点,∴AE=BE.在△ADE与△BFE中,∠ADE=∠BFE,∠DEA=∠FEB,AE=BE,∴△ADE≌△BFE.(2)CE⊥DF.理由如下:由(1)知，△ADE≌△BFE，∴DE=FE，即点E是DF的中点，又∠1=∠2.DF平分∠ADC，∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴CD=CF，∴CE⊥DF.2.(2014·凉山州中考)如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知:∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF.试说明AC=EF.求证:四边形ADFE是平行四边形.【解析】(1)∵△ABE是等边三角形,EF⊥AB垂足为F,∴∠AEF= ∠AEB=30°,AE=AB,∠EFA=90°,又∵∠ACB=90°,∴∠EFA=∠A