2024北京平谷区高二（上）期末数学试题及答案

2024北京平谷高二（上）期末数学注意事项：1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页.共分，考试时间为120分钟.2.试题所有答案必须书写在答题纸上，在试卷上作答无效.3.考试结束后，将答题纸交回，试卷按学校要求保存好.第I卷选择题（共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）3x−y+1=01.直线的倾斜角为（）πππ5πA.B.C.D.6436(−x−y+2=0相切的圆的半径为（2.圆心为A.3.已知双曲线C的焦点分别为，且与直线）2B.2C.8D.22F1F2FF=6，双曲线CPF−PF=4、，上一点P满足，则双曲线1212C的离心率为（A.4.已知抛物线）35B.C.2D.322y2=2px(p0)上一点(2,y0)到焦点的距离是4，则其准线方程为（）A.x=−2B.P−ABC中，设x=−1x=4x=8C.=，O为BC中点，则OP=（cD.5.已知三棱锥A.−a−b+c=ABa，AC=b，）1212B.a+b+cC.−a−b+cD.a+b+c226.已知展台上四个盲盒中装有由卡通动漫人物设计的四款不同的产品，学生甲喜欢其中的一款.甲从四个盲盒中抽选两个，则“学生甲抽到了喜欢的那一款”的概率为（）3514712A.B.C.D.(2,M(−0)7.已知半径为1的圆经过点，过点向圆作切线，则切线长的最大值为（C.15D.43=）A.35B.26x2y2+=1，则“它的渐近线方程为y2x”是“它的离心率为5”的（8.已知双曲线C:）mn第1页/共17页A.充分不必要条件C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件9.已知四棱锥P中，侧面PAB底面−⊥ABCD，PAPB43，底面ABCD是边长为12的正==方形，S是四边形ABCD及其内部的动点，且满足PS6，则动点S构成的区域面积为（）A.43πB.12πC.24πD.24610.已知曲线方程为|x−1|+|x+1|2|y=6①曲线关于原点对称；，给出下列命题：②曲线上任意两点的距离最大值为25；③曲线上的点的横坐标取值范围[−；④曲线上的点构成的图形面积为16.则所有真命题是（）A.①②B.①②③C.①③④D.②③④第II卷非选择题（共分）二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）l:ax+y+2=01l:2x+(a+y−3=02a=平行，那么______.已知直线和直线12.已知圆C:x2+y2−2x+4y+2=0内有一点P(2,，经过点P的直线l与圆C交于弦AB恰被点P平分时，直线l的方程为______.13.已知抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，从以下两个条件中任选一个条件，并根据所选条件写出−,B两点，当F(2,0).你所选的条件是______，得到的一个抛物线标准一个抛物线的标准方程.①焦点方程是______.；②经过点14.已知盒子中有大小、形状都相同的4个红球和2个白球，每次从中取一个球，取到红球记1分，取到白球记2分.如果有放回的抽取2次，则“2次所得分数之和为3分”的概率是______.x2y26m=，则______.+=1的离心率e=15.已知双曲线2−m2x+y2−ax−3=0关于直线xy10对称，若直线+−=y=k(x+被曲线截得的弦长为216.已知曲线23，则k=______.17.如图，棱长为2的正方体个结论：ABCD−ABCDBCAC和上的动点.对于下列四111中，E，P分别是线段1111第2页/共17页EPAABB；11①存在无数条直线平面；②线段EP长度的取值范围是2,234③三棱锥P−ACE的体积最大值为；3BCAC上的中点，则线段11EP的垂直平分线与底面的交点构成的集合是圆.④设E，P分别为线段和1则其中正确的命题有______.三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）18.如图，在四棱锥P−中，侧棱PD⊥底面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，⊥，PD=DC=2，=1，E是的中点.（1）证明：PA//平面DBE；（2）求点P到平面DBE的距离.19.已知某公司统计了一种产品在2023年各月的销售情况，如图，公司将每连续3个月的销售量做为一个观测组，对该公司这种产品的销售量（单位：万）进行监测和预测.第3页/共17页（1）现从产品的10个观测组中任取一组，求组内三个月中至少有一个销售量高于万的概率；（2）若当月的销售量大于上一个月的销售量，则称该月的销售指数增长；若当月的销售量小于上一个月的销售量，则称该月的销售指数下降.（已知1月份的销售量低于2022年12月份销售量）.现从10个观测组中任取一组，求抽到的观测组中销售指数增长月份恰有2个的概率.（3）假设该产品每月的销售指数是否增长只受上一个月销售指数的影响，预测2024年1月份“销售指数增长”和“销售指数下降”的概率估计值哪个最大（直接写出结果）.x22y22220.已知椭圆C:+=ab0)的左右顶点距离为26，离心率为.ab2（1）求椭圆C的标准方程；（2且斜率不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，求弦AB垂直平分线的纵截距的取值范围.ABCCCBBCC⊥底面，21.如图，在三棱柱三角形，BC=4，中，侧面为矩形，侧面为等边1111111BB1=3，点N在BN⊥AC上，.1（1）求证：N为中点；（2）设AB上一点M，若平面3BMCBMBB1N与平面的夹角的余弦值为，求4的值.11BAx22y222.已知椭圆C:+=a2的左右焦点分别为F1，F2，设椭圆C上一点P（不与左右顶点重a32与椭圆的另一个交点为QF的周长为2，且（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点A为椭圆的左顶点，直线，分别与直线x4交于M，两点.试判断：以MN为直=N径的圆与直线的位置关系，并说明理由.2第4页/共17页参考答案第I卷选择题（共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）1.【答案】C【分析】先求直线的斜率，根据公式求倾斜角.【详解】直线方程可化为y=3x1，所以直线的斜率为：k=3，即tan=3，+π又θπ)，所以θ=.3故选：C2.【答案】A【分析】根据题意，结合点到直线的距离公式，即可求解.(−x−y+2=0相切，【详解】由题意知，圆心为，且与直线1−3+2r=d==2则圆的半径为.12+(2故选：A.3.【答案】B=6可得，然后由离心率的计算公式计算即可.=【分析】由双曲线的定义求出a2，由=12c3【详解】因为双曲线C的焦点分别为所以2c=6，故c=3，F1、F2FF=6，，12PF−PF=42a=4，故a=2，又因为双曲线C上一点P满足，所以12c32e==.所以双曲线C的离心率为a故选：B.4.【答案】A【分析】根据抛物线的定义可直接写出答案.ppx=−2+=4，根据抛物线的定义，可得A到准线的距离为，即【详解】因为抛物线的准线为：422p=2.2所以准线方程为x=2.故选：A5.【答案】C第5页/共17页【分析】根据空间向量的线性运算法则求解．=AP−AO=AP−(AB+AC)=c−a−b【详解】由题意，222故选：C．6.【答案】D【分析】根据题意，根据组合数的计算，求得基本事件的总数，以及所求事件所包含的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.C24=6【详解】根据题意，甲四个盲盒中抽选两个，共有种不同的选法，1C=3种不同的选法，3其中学生甲抽到了喜欢的那一款，有3612P==.根据古典概型的概率计算公式，可得概率为故选：D.7.【答案】A【分析】根据题意，求得圆心的轨迹方程为圆A，得到圆A上到点M的最大距离为d=6，结合圆的切线长公式，即可求解.(a,b)【详解】设圆的圆心坐标为，(2,，可得(a2)(b=1，−2+−2因为圆的半径为1，且过点(a−2)2+b−2=1，即圆心的轨迹表示以(2,为圆心，半径为1A，即=(2+2)2+−0)=5，则圆A上的点到点M的最大距离为d=+1=6，2可得又由切线长公式，可得切线长的最大值为l=d故选：A.2−1=35.28.【答案】D【分析】依题意可分别讨论参数m,n的符号，再分别验证渐近线和离心率即可得出结论.−nx，即可得n=−4m，【详解】根据意题意，若mn0，则渐近线方程为y=mn−m5此时离心率为e==，即充分性不成立；n2第6页/共17页n−m==m=−4n，5，即可得若mn0，当离心率为5时可得enn−m12此时渐近线方程为y=x=x，显然必要性也不成立；y=2x即可得“它的渐近线方程为”是“它的离心率为5”的既不充分也不必要条件；故选：D9.【答案】B【分析】取线段AB的中点E，连接PE、，推导出PE平面圆心，半径为26的圆及其内部，结合圆的面积公式可求得结果.【详解】取线段AB的中点E，连接PE、，⊥ABCD，可知点S的轨迹是以点E为因为PAPB43，==E为AB的中点，则PE⊥AB，因为平面PAB平面⊥ABCD，平面PAB平面=，PE平面PAB，所以，PE平面因为SE平面ABCD，则PE⊥SE，因为四边形ABCD是边长为12的正方形，则⊥ABCD，AE=6，(223所以，PE=PA2−AE2=48−62=23，SE=PS2−PE262−=26，所以，点S的轨迹是以点E为圆心，半径为26的圆及其内部，12()π26=12π.因此，动点S构成的区域面积为2故选：B.10.【答案】C【分析】根据题意，分类讨论，得到曲线的方程，画出曲线的图形，结合选项，逐项判定，即可求解.【详解】由曲线方程为|x−1|+|x+1|2|y=6，xx−1+x+1+2y=6x−1+x+1−2y=6x+y=3x−y=3当当当时，可得时，可得，即，即；xy0；1xy0时，可得1−x+x+1+2y=6=2；y，即第7页/共17页1xy0时，可得1−x+x+1−2y=6x−y0时，可得1−x−x−1+2y=6y=−2当当当，即；；，−x+y=3−x−y=3，即x−y0时，可得1−x−x−1−2y=6，即所以曲线的图象，如图所示，−x,−yx,y，方程不变，所以曲线关于原点对称，所以正确；对于①中，用对于②中，令代入方程中的y=0x=3，解得，可得曲线上任意两点的距离最大值为，所以不正确；6对于③中，结合图象，可得曲线上的点的横坐标取值范围[−，所以正确；1S=2)2−221=16对于④中，曲线上的点构成的图形的面积为，所以正确.2故选：C.【点睛】关键点睛：本题的关键是合理地分类讨论再正确地作出图形，根据图形分析其对称性、距离最值和面积.第II卷非选择题（共分）二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）【答案】1或2−【分析】利用两直线平行的斜率关系即可求得a=1或a=−.2l:ax+y+2=0−a，【详解】易知直线由两直线平行可得的斜率一定存在，且为12−a=−a=1或a=−2，解得；a+1经检验a=1或a=−2都符合题意；故答案为：1或2−x−y−3=012.【答案】【分析】求得圆心坐标为C2)，易知CP⊥k=1，即可求得直线l，利用斜率之间的关系可得的方程.2+y2−2x+4y+2=0可表示为x1(−)2+(+)y2=3，2【详解】易知C:x第8页/共17页可知圆C的圆心坐标为C2)，半径为3，如下图所示：1+22−1根据题意由圆的性质可知CP⊥，易知kCP==1，所以k=1；y−−1=x−2()x−y−3=0由直线的点斜式方程可得直线l的方程为，即.x−y−3=0故答案为：2y=8x13.【答案】①.①.【分析】利用抛物线焦点坐标以及标准方程形式即可得出答案.p2y=2px，又可知=2，可得抛物线标准方程是y28x；=【详解】若选择①，由焦点坐标可设2若选择②，根据题意可知，抛物线只能开口向右或向上，1=x；yx22=2px，将代入可得抛物线标准方程为y22若开口向右，可设若开口向上，可设2=2py，将代入可得抛物线标准方程为x=4y；1y2=8x（②；y2=x或x2=4y）故答案为：①；2414.【答案】9【分析】根据相互独立事件概率乘法公式计算即可.【详解】由题意，2次所得分数之和为3分，则第1次取出红球第2次取出白球或第1次取出白球第2次取出红球,由于有放回抽取，两次抽取为相互独立事件，4224P=+=49其概率为.666649故答案为：15.【答案】1【分析】由双曲线的标准方程确定a,bc，求得，再利用离心率求得．m第9页/共17页2+m6【详解】由题意显然有m0，a2=b2=m，因此c2=2+m，e==，解得m=1，22故答案为：1.316.【答案】3a【分析】曲线方程化为桂圆的标准方程后得出圆心坐标，代入对称直线方程得值，由弦长得出圆心到直线的距离，利用点到直线距离公式可求得k．aa2a【详解】曲线x2+y2−ax−3=0的标准方程是(x−)2+y2=3+，它表示圆，圆心坐标为(,0)，242aa2+0−1=0a=20)，半径为3+，即圆心为=2，由题意，解得24y=k(x+k−0+k直线所以被圆截得的弦长为23，则圆心到直线的距离为d=22−(3)=1，23=1，解得k．=k2+133故答案为：．317.【答案】①③【分析】构造面面平行，寻找线面平行，可以判断①的对错；通过特殊位置，可以判断②是错误的；分析三棱锥的高是确定的，求底面积最大值，可得三棱锥体积的最大值，判断③的对错；根据公理，两个平面的交点在一条直线上，可得④是错误的.PKKEBCEPAABB平面，因为P点11【详解】对①：过P作，交于E，连接EP，则上运动，故满足条件的直线EP有无数条.所以①正确；11AC再1是错误的；对②：当E与重合，P为BAC中点时，11=2，所以EP长度取值范围是2,231对③：第10页/17页1AC//ABCABC因为直线平面，所以P到平面的距离为定值，是正方体体对角线的，所以当E与1131323343()222B1P−ACE==重合时，底面积最大，此时的体积最大，为V，所以③P−ACE34正确；对④，当E，P位置确定时，线段EP的垂直平分线构成一个平面，它和底面的交点应该是一条直线，所以④错误.故答案为：①③三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）18.1）答案见详解6（2）3）构造线线平行，证明线面平行；（2）借助等体积法求点到面的距离.【小问1如图：连接，交BD于F，连接EF，因为四边形ABCD是平行四边形，所以F为中点，所以DBE，PADBEEF//PA，又EF平面平面，所以//平面DBE【小问2因为PD平面⊥ABCD，AD平面ABCDPD⊥AD，所以，又，PD，⊥平面，PCPD=D，所以AD平面，⊥CD平面，所以⊥CD.所以底面ABCD为矩形.因为E为PC中点，所以P、C到平面DBE的距离相等，设为h.1121由V=C−SPD=Sh，E−BCD331S=21=1PD=2，，而26中，BD=5，=2，BE=3，所以是直角三角形，且S=，216h==所以63，即为所求.23419.1）3（2）5（3）“销售指数增长”的概率估计值最大）列举出10个观测组中的数据，求出符合题意的观测组数据个数即可得出概率；（2）将销售指数增长记为“1”，销售指数下降记为“0”，得出每个月的增长指数情况，求出销售指数增长月份恰有2个的数据组数，即可得出结论；（3）易知月份为“销售指数增长”月，求出连续两个月为增长的概率即可得出结论.【小问1根据题意可知，四个观测组中的数据分别为：(()()()()()()，48,52,45,40,40,50,54)()()()；51,56,57,57,60至少有一个高于50万的数据有8C18145P==所以从10个观测组中任取一组，组内三个月中至少有一个销售量高于万的概率【小问2；C第12页/17页将销售指数增长记为“”，销售指数下降记为“0”，则10个观测组中的销售指数可表示为：()()()()()()，()()()()；,,0,1,0,0,0,1,0,0,1,,观测组中销售指数增长月份恰有2个的共有6组，635P==即从10个观测组中任取一组，抽到的观测组中销售指数增长月份恰有2个的概率【小问3；易知12月份为“销售指数增长”月，12个月当中每个月的销售指数可表示为0，，1，100，11，0，11，，易得“销售指数增长”的月份共有8个，上个月增长下个月也增长的月份共5个，即可知2024年1月份“销售指数增长”和“销售指数下降”的概5838率估计值分别为和,因此2024年1月份“销售指数增长”的概率估计值最大.x2y220.1）+=163（2）(−0)a,b,c）根据长轴长与椭圆的离心率求得，进而得到椭圆标准方程；（2）设l:y−1=与椭圆方程联立后，得到韦达定理的形式，利用中点坐标公式表示出Q点坐标，从而=y得到l方程；令x0可求得l在轴的截距，利用函数值域的求解方法可求得结果.【小问1由题意，2a26，即=a=6，c2又e==c=3，所以，a2故b2=a2−c2=6−3=3，x2y2+=1.故所求椭圆的标准方程为63【小问2如图，第13页/17页由题意知：直线l的斜率k存在且不为零，设l:y−1=k0Ax,y()，(Bx,y)，Qx,y中点()，，，AB112200y−1=1+2k)x+4−4=0，y，消去并整理得：2222联立xy+=1630恒成立，4k1+x2k2k+21x+x=−0=2=−y=+1=1−，=则，122+2+00+2k122k112k212k22k1+2k1Q−,，21+2k2111=−x+2k1+2ky−y=−(x−x)y−，即则l方程为：，001+2k2k2k11y=−x−化简得：k2k+121ym=m=−设直线l在轴上截距为，令x0得，2k2+1101可知−1m0，由2k+12所以直线l在轴上的截距的取值范围为).y(−1,021.1）证明见解析；BMBA12=（2）．BB1⊥⊥1N平面，得出）利用面面垂直的性质定理得平面，然后证明线面垂直线线垂直⊥，最后由等边三角形得证中点；BM=k(0k（2）建立如图所示的空间直角坐标系，设k值．，利用空间向量法求二面角的方法可求得BA第14页/17页【小问1CCBB1⊥，因为四边形又因为平面BB1⊥是矩形，则11BBCC⊥=BC，BB1CC平面，11底面，面CC底面1111，AC平面，则1⊥，所以因为平面BN⊥ACBNBN,BB1BB1N，，，平面1111所以⊥平面BB1N，又BN平面BB1N，所以，⊥因为是等边三角形，所以N是中点；【小问2,NBx,y轴，过且平行于Nz的直线为轴建立空间直角坐标系，如图，分别以所在直线为13B23,0)C(−0)B(0,23,4=23，，，，1C(A(2,0,0)，，1则BN=2所以BB=，BC=(−23,0)，111BM=k(0k，则BM=kBA=k(2,−23,0)=(2k,2k,0)，设BABM=BB+BM=(2k,−2k,，11BCMm=(x,y,z)，设平面的一个法向量为11mx−2−3z=0433x=3m=(3,k)，则，取，则mBC=2x−23y=0111N的一个法向量是n=0)，显然平面因为平面3CBM1N与平面的夹