2024北京大兴区高二（上）期末数学试题及答案

大兴区2023~2024学年度第一学期高二期末检测数学202411.本试卷共4页，共两部分，道小题．满分150分。考试时间分钟。2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号。3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答。第一部分（选择题共40分）440要求的一项。x2y2（1椭圆1的长轴长为94（A）4（）6B）5D）9x2y2（2）双曲线1的渐近线方程为422（A）yxB）yx21（）y2xD）yx21（3）若直线l的方向向量为(2)，平面的法向量为，2)，且l，则푚=2A）1（）3B）2D）4（4）两条平行直线xy0与xy10间的距离等于2（A）（B）1（D）22（C）2（5）过点0)且被圆x2(y21截得的弦长最大的直线方程为（A）2xy20（）x2y10B）2xy20（D）x2y10（）圆1:x2y22与圆2:(x2(y2的位置关系是2（A）相交（）内切B）相离D）外切{#{QQABKYwEggAoAAJAARgCUQUaCgOQkBGCAIoOgFAEoAAAQQFABCA=}#}（.先由计算器算出0到9之间取整1345890机数为一组，代表三次射击击中的结果，经随机数模拟产生了组随机数：907966925271932812569683431257027556488730537989根据以上数据估计，该学员三次射击至少击中两次的概率为31027（A）（）B）D）209520x2y21表示双曲线，则实数m的取值范围是（8）若方程m34m44（A）(（）(，)(3)B）(3344)，(（D）33y2（9）已知FF是双曲线C:x211与椭圆C的左、右公共焦点，A是CC在第一212128象限内的公共点，若|FF|FA|，则C的离心率是121235132523（A）（）（）D）2a2a0（10F1a0Fa0距离之积等于的动点的轨迹称为双纽线曲.线C是当a22时的双纽线，P是曲线C上的一个动点，则下列结论不正确的是（A）曲线C关于原点对称（）满足的点有且只有一个P12（）≤4（D）若直线y与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为(1第二部分（非选择题共二、填空题共5小题，每小题5分，共分。（）若AB为互斥事件，()(B)P(A．(00)且与直线3x4y50（12）经过原点垂直的直线方程为．{#{QQABKYwEggAoAAJAARgCUQUaCgOQkBGCAIoOgFAEoAAAQQFABCA=}#}y2（C:x2m0)C的右焦点坐标为C的焦m2点到其渐近线的距离是．（）探照灯、汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面(其纵断面是拋物线的一部分)，正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光x平面直角坐标系中，一条光线经过M6)与轴平行射到抛物线C:y28xN0)M到N经过的总路程为_______；0______.（）画法几何的创始人法国数学家加斯帕尔蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆x2y22C:ab0)的离心率为，F，FAB为椭圆上12a2b22两个动点．直线l的方程为a2b给出下列四个结论：2①C的蒙日圆的方程为x2y2b；2②在直线l上存在点P，椭圆C上存在AB，使得；43③记点A到直线l的距离为d，则d|2|的最小值为b；3④若矩形MNGH的四条边均与C相切，则矩形MNGH面积的最大值为b其中所有正确结论的序号为_______．2．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（1614已知直线l：8yn0和l：2x10.12（Ⅰ）若l与l相交于点P(m，求mn的值；12（Ⅱ）若1，试确定mn需要满足的条件．（1714x2y2已知椭圆C:1与经过左焦点的一条直线交于，两点.FAB143F为右焦点，的周长；2（Ⅰ）若求2π（Ⅱ）若直线的倾斜角为，求线段的长.4{#{QQABKYwEggAoAAJAARgCUQUaCgOQkBGCAIoOgFAEoAAAQQFABCA=}#}（1814(2,0)x+y20相切，且圆心C在直线2x+y上.已知圆C经过点，与直线（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）已知直线l经过点(0，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．（1914如图，在四面体ABCD中，平面ABC，点M为棱的中点，ABAC2，222.（Ⅰ）证明：BD；（Ⅱ）求平面和平面夹角的余弦值；上是否存在一点P,使得直线与平面DCM所成6角的正弦值为？若存在,求的值；若不存在请说明理由．6（2014已知抛物线C：y2px(p0)，过C的焦点F且垂直于x轴的直线交C于不同的2PQ|4.两点，且（Ⅰ）求抛物线C的方程；M(0,2)（Ⅱ）若过点的直线l与C相交于不同的两点AN为线段的中点，O是MON坐标原点，且与的面积之比为3:1，求直线的方程．l（2115x22y22ab0)的上、下顶点为2BFF，左、右焦点为，12已知椭圆C:1abBFBF是面积为2的正方形．2四边形112（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若P是椭圆P上异于B1B2和直线的斜率之积是否为定PB2，的点，判断直线1值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由；2（Ⅲ）已知圆x2y2的切线l与椭圆C相交于DE两点，判断以为直径的圆是否3经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由.{#{QQABKYwEggAoAAJAARgCUQUaCgOQkBGCAIoOgFAEoAAAQQFABCA=}#}2023~2024学年第一学期期末检测试题参考答案与评分标准高二数学一、选择题（共10小题，每小题440分）12345678910DCBDABDBAA二、填空题（共5小题，每小题525分）（）0.54x3y0（12）（13）(20)；18（14）；3（15）①②④注：、题第一空3分，第二空2分.15题选对一个2分，选对两个3分，选错0.三、解答题（共6小题，共85分）（16共14P(m8n0且mm10，解：Ⅰ)将点代入两直线方程得：m2解得m1，n…………分7（Ⅱ）当m0时，直线l与l不平行；12m28nm当m0时，由m4ll得：，1218mm4解得，或，n2n2所以当m4且n2，或m4且n2时，ll.…………7分12（17共14x2y21，a2c1，3，解，b43a4||2a4由椭圆的定义，得，，1212|||又，11||a………6分22所以的周长为2π1(0)AB的倾斜角为的斜率为，4设(xy)，B(xy)，故直线的方程为yx1，1122yx1由x2y2整理得7x28x80824780，14388由根与系数的关系得12，xx，7127|(xx)2(yy)211(yy)41y22则12121288242()24().…………8分777（18（共14解C在直线2xy10上，可设圆心为C(a,12a|a1|xy20d的距离.则点C到直线2|a1|d||(a2)22a)2a1.，解得据题意，，则2C所以圆心为，半径rd2，…………7分（Ⅱ）直线lC截得的弦长为，则222d则所求圆的方程是(x2(y22，即圆心到直线l的距离d为，1直线斜率不存在时，直线方程为x0，符合题意；y10直线斜率k存在时，设直线方程为|k2|，31圆心到直线的距离，k，k2143x4y40.所以直线方程为综上所述，直线方程为x0或3x4y4……7分（19（共14解平面因为222，所以ABCABC，所以，，平面22，2所以.又因为AAD，平面，所以平面ABD，因为平面ABD，所以ACBD.……4分（Ⅱ）因为ABC，平面ABC，所以.又因为，，如图，以A为坐标原点，为x为y为z坐标系，则(000)，M00)，B(200)，C(020)，D(002)，(20)，(02)，BC(220)，BD(202)，设n(abc)是平面DCM的法向量，0n2b则，令c1，得n(2，na2c0设平面的法向量为m(xyz)，0mx2y则，令z1，则m，m2x2z0设平面和平面夹角为，则2cos|cosm，，|m223所以BCD和平面夹角的余弦值为（）设点P满足，(0≤≤，.……5分则(2)，(2).6若直线与平面DCM所成角的正弦值为，66|22|826|n|=则，6化简得21，无解.所以在线段上不存在点P,使得直线与平面DCM所成角的正弦值为6.……5分6（20（共15解Q两点所在的直线方程为x2p4p.2p2.则，故所以抛物线C的方程为(x,y)B(x,y)N(x,y)M(0,2)，y24.5……分（Ⅱ）设，，，0112202y4xykx2(k0)显然直线l的斜率存在，设直线：，联立，y2k22xk)x40，消去y得1k)2k20k且，k0因为，得2k)4所以12，xx，k212k2因为SS，所以|3|MN|，|00|，2所以1k2|xx31k21即|xx3|x|，120x2因为N是的中点，所以01，2(xx)2所以(12)2412312，4整理得(1x)216xx，212k)64131，k2所以[]2，解得12，k2k1yx2yx2.所以直线l的方程为或……9分3（21（共15解bc，abc1，2，则2x2y21.4分则所求方程为：2BB（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，，12m2P(mn)n1，2设，则2n1n1n2112所以kPBkPB2．mmm2112所以直线和直线PB的斜率之积为定值.5分12（）(i)当直线的斜率不存在时，l6因为直线l与圆M相切，故其中的一条切线方程为x.36666代入椭圆方程可得，可得D(,)，E(,)，3333623则以为直径的圆的方程为(x)2y2.3ii)当直线l的斜率为0时，6因为直线l与圆M相切，所以其中的一条切线方程为y.36666代入椭圆方程可得，可得D(,)，E(,)，333362则以为直径的圆的方程为x2(y).233O(0,0).显然以上两圆都经过点iii)ykx.当直线l的斜率存在且不为零时，设直线l的方程为代入椭圆方程消去，得(2k2x24k