2023-2024学年天津市五所重点校高三（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年天津市五所重点校高三（上）期末数学试卷一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设全集U={0,1,2,3,4}，集合A={x∈U||x−2|<1}，则∁UA=(

)A.{x|1<x<3} B.{x|1≤x≤3} C.{2} D.{0,1,3,4}2.已知x，y∈R，则“x>0”是“|x|+|y|>0”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.中国茶文化博大精深、茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某数学建模小组建立了茶水冷却时间x和茶水温度y的一组数据(xi,yi)，经过分析，提出了四种回归模型，①②③④四种模型的残差平方和i=1n(yi−yA.模型① B.模型② C.模型③ D.模型④4.已知a=40.5，b=log1223，c=(12)A.a<b<c B.b<c<a C.c<b<a D.b<a<c5.某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的.如图所示，已知正方体棱长为6，则该石凳的体积为(

)A.180

B.36

C.72

D.2166.如图为函数f(x)的大致图象，其解析式可能为(

)A.f(x)=(|x+1|+|x−1|)cosx

B.f(x)=(−|x+1|+|x−1|)sinx

C.f(x)=(|x+1|+|x−1|)cosx−2

D.f(x)=(|x+1|+|x−1|)(7.已知a>1，b>1，loga10=lgb，lga+lgb⩽2，则a+b=(

)A.2 B.5 C.10 D.208.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)，其图象相邻两个对称中心之间的距离为π4A.函数f(x)的最小正周期为π

B.函数f(x)在区间[−π6,π12]上单调递增

C.点(−5π24,0)是函数f(x)图象的一个对称中心9.已知F1，F2分别为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F2A.y=±22x B.y=±5x二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。10.设z=2+4i1+i+i，则z11.二项式(x2−1x)12.已知点F是抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，O为坐标原点，若F以为圆心，|FO|为半径的圆与直线x−3y+6=013.学校迎元旦文艺演出，遵选出小品、相声、独唱、魔术、合唱、朗诵等六个汇报演出节目，如果随机安排节目出场，则朗诵第一个出场的概率为______；若已知朗诵第一个出场，则小品是第二个出场的概率为______．14.在梯形ABCD中，AB/​/CD，AB=BC=2，CD=1，∠BCD=120°，P、Q分别为线段BC和线段CD上的动点，且BP=λBC，DQ=12λ15.已知函数f(x)=|1x−a|−x−1+a，且x∈(0,+∞)，若函数y=f(x)有三个不同的零点，则实数a三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为4sinA，周长为9，且满足sinB+sinC=2sinA．

(1)求a的值；

(2)若b<c．

(i)求cosC的值；

(ii)求sin(2C−π617.(本小题15分)

在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，A1A=4，点D是BC的中点；

(I)求异面直线A1B，18.(本小题15分)

设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，已知椭圆C过点(2,53)，且长轴长为6．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)点M是椭圆C上一点(M19.(本小题15分)

已知公差为d的等差数列{an}和公比q>0的等比数列{bn}中，a1=b1=1，a2+b3=8，a3+b2=9．

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；

(2)求20.(本小题15分)

已知函数f(x)=xex．

(1)求函数f(x)在x=1处的切线方程；

(2)令g(x)=f(x)−a(x+lnx)．

(i)讨论函数g(x)极值点的个数；

(ii)若x0是g(x)的一个极值点，且g(x0)>0，证明：参考答案1.D

2.A

3.B

4.B

5.A

6.C

7.D

8.C

9.D

10.3−2i

11.84

12.y213.16

114.[215.(316.解：(1)在△ABC中，由sinB+sinC=2sinA及正弦定理，

可得：b+c=2a，而a+b+c=9，

解得：a=3；

(2)(i)由(1)知b+c=6，

又由S△ABC=12bcsinA=4sinA，可得bc=8，

又0<b<c，解得：b=2，c=4，

则cosC=a2+b2−c22ab=9+4−162×2×3=−14；

(ii)由C∈(0,π)，得sinC>017.解：(I)以AB，AC，AA1为x，y，z轴建立空间直角坐标系A−xyz，

则可得B(2,0,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，D(1,1,0)，

∴A1B=(2,0,−4)，AC1=(0,2,4)，

∴cos<A1B,AC1>=−1620×20=−45，

∴异面直线A1B，AC1所成角的余弦值为：45；

(II)由(I)知，AC1=(0,2,4)，AD=(1,1,0)，18.解：(1)由题意得：4a2+259b2=12a=6a2=b2+c2，解得a=3，b=5，

所以椭圆的标准方程方程为x29+y25=1．

(2)由(1)知：x29+y25=1，如图，设M(xM,yM)，N(0,yN)，

由题意知直线A1M的斜率不等于0，设直线A1M的方程为：x=my−3(m≠0)，

令：x=my−3=0，得：yN=3m，19.解：(1)由a1=b1=1，a2+b3=8，a3+b2=9，

可得1+d+q2=8，1+2d+q=9，解得d=3，q=2，

则an=1+3(n−1)=3n−2，bn=2n−1；

(2)设Tn=i=1naibn+1−i=a20.解：(1)由f(x)=xex，得f′(x)=(x+1)ex，所以f(1)=e，f′(1)=2e，

所以f(x)在x=1处的切线方程为y−e=2e(x−1)，即2ex−y−e=0．

(2)(i)由g(x)=f(x)−a(x+lnx)，得g′(x)=(x+1)ex−a(1+1x)=(x+1)(ex−ax)

所以g′(x)=(x+1)(xex−a)x,x∈(0,+∞)，

当a≤0时，g′(x)>0，g(x)在(0,+∞)上是增函数，不存在极值点；

当a>0时，令ℎ(x)=xex−a，则ℎ′(x)=(x+1)ex>0，

显然函数ℎ(x)在[0,+∞)是增函数，

又因为ℎ(0)=−a<0，ℎ(a)=a(ea−1)>0，必存在x0>0，使ℎ(x0)=0，

x∈(0,x0)，ℎ