控制系统的数学模型

第二章控制系统的数学模型

通过前面的学习我们知道，自动控制理论是研究自动控制系统三方面性能的基本理论。

设控制系统控制系统输入输出加上输入信号tr(t)0tc(t)0求出输出响应根据输出响应即可分析系统的性能。

怎样根据输入信号求系统的输出响应？

如果知道控制系统的数学模型就可求出系统的输出响应。

分析系统性能的第一步就是建立系统的数学模型，这是第二章的主要内容。数学模型：描述系统动态特性的数学表达式。数学模型反映了系统各变量之间的关系。常用的数学模型：(2)微分方程(3)传递函数(4)频率特性(1)代数方程(5)动态结构图

其中微分方程是最基本的，其它可以通过微分方程求得。建立微分方程的方法：(1)解析法(2)实验法这一章介绍解析法。补充：控制系统的微分方程第二节传递函数第三节传递函数的方框图表示及运算第四节信号流图及梅逊公式第五节系统数学模型的MATLAB表示

第一节拉普拉斯变换第二章：控制系统的数学模型补充：控制系统的微分方程一、建立微分方程的一般步骤二、常见环节和系统的微分方程的建立三、线性微分方程式的求解上一目录第二章：控制系统的数学模型（1）

确定系统的输入变量和输出变量。一、建立系统微分方程的一般步骤

一个系统通常是由一些环节连接而成的，将系统中的每个环节的微分方程求出来，便可求出整个系统的微分方程。列写系统微分方程的一般步骤：

根据各环节所遵循的基本物理规律，分别列写出相应的微分方程，并构成微分方程组。(1)确定系统的输入变量和输出变量。

将与输入量有关的项写在方程式等号右边，与输出量有关的项写在等号的左边。（3）消除中间变量，将式子标准化。补充：控制系统的微分方程（2）

建立初始微分方程组。ucur二、常见环节和系统微分方程的建立1．RC电路+-uruc+-CiR输入量：输出量：（1）

确定输入量和输出量（2）

建立初始微分方程组（3）消除中间变量，使式子标准化RC电路是一阶常系数线性微分方程。ur=Ri+uci=CducdtRCducdt+uc=ur补充：控制系统的微分方程2．机械位移系统系统组成：质量弹簧阻尼器输入量弹簧系数km阻尼系数fF(t)输出量y(t)初始微分方程组:F=maF(t)–FB(t)–FK(t)=ma根据牛顿第二定律补充：控制系统的微分方程中间变量关系式:FB(t)=fdy(t)dtFK(t)=ky(t)a=d2y(t)dt2md2y(t)dt2fdy(t)dt+ky(t)=F(t)+消除中间变量得:补充：控制系统的微分方程3．他激直流电动机Ud系统组成：直流电机负载输入:电枢电压励磁电流If电磁转矩Te负载转矩TL摩擦转矩Tf工作原理：

电枢电压作用下产生电枢电流，从而产生电磁转矩使电动机转动.输出:电动机速度n补充：控制系统的微分方程根据基尔霍夫定律有

电动机的电路等效图:ed+-udLdidRddiddtud=Rdid+Ld+eded=CenCe—反电势系数反电势根据机械运动方程式dndtTe-TL–Tf=GD2375Te=CmidCm—转矩系数GD2—飞轮惯量为了简化方程，设TL=Tf=0id=GD2375Cmdndt.+n=+GD2Ra375CmCedndtGD2375d2ndt2CmCeRaLaRaudCe定义机电时间常数：GD2Ra375CmCeTm=电磁时间常数：LaRaTd=电动机的微分方程式为：+n=d2ndt2TmTd+TmdndtuaCe补充：控制系统的微分方程

系统微分方程由输出量各阶导数和输入量各阶导数以及系统的一些参数构成。系统微分方程的一般表达式为：+dtm+bmr(t)=b0dm-1r(t)dtm-1b1+···dmr(t)+dr(t)dtbm-1anc(t)+···dnc(t)dtna0+dn-1c(t)dtn-1a1+dc(t)dtan-1+补充：控制系统的微分方程微分方程的解（时域t）代数方程的解（复数域s）拉氏变换拉氏反变换用拉氏变换求解微分方程的基本思路和方法是：

线性微分方程（时域t）代数方程（复数域s）

三、线性微分方程式的求解

求解补充：控制系统的微分方程2.1拉氏变换变换

如果有一函数满足下列条件：（1）t

<0时

f(t)=0（2）t≥0时

f(t)是分段连续的

第一节

拉普拉斯变换2.1.1拉氏变换及逆变换定义：（3）f(t)的拉氏变换为：记作

F(s)=L[f(t)]拉氏反变换为：f(t)=L-1[F(s)]

2.1.2常用函数的拉氏变换1)单位阶跃函数u(t)记作

第一节

拉普拉斯变换2)单位脉冲函数δ(t)3)单位斜坡函数t对上式进行分部积分公式2.1.2常用函数的拉氏变换令4)指数函数5)正弦函数sinωt2.1.2常用函数的拉氏变换6)余弦函数cosωt2.1.2常用函数的拉氏变换小结与作业小结：

1.控制系统微分方程的建立步骤2.用拉氏变换求解微分方程3.拉氏变换及逆变换4.常用函数的拉氏变换作业：1.求函数的拉氏变换2.求习题2-5的微分方程。第一周作业讲评作业主要问题：1.没有按要求绘制系统框图2.系统框图中没有综合点符号3.系统框图中没有箭头4.参考答案复习提问

1.控制系统微分方程的建立步骤2.拉氏变换及逆变换3.分部积分公式2.1.3拉氏变换的定理1)线性定理2)微分定理

证明:根据拉氏变换定义应用分部积分法,则有

例:

已知分别如题图(a)、(b)所示,试求f′1(t)与f′2(t)的拉氏变换。2.1.3拉氏变换的定理解（一）：因为2.1.3拉氏变换的定理所以解（二）：因为所以3)积分定理第一节

拉普拉斯变换

证明:根据拉氏变换的定义

应用分部积分法可得所以4)延迟定理证明:令x=t-t0,则t=x+t0,dt=dx,于是上式可写为2.1.3拉氏变换的定理5)初值定理证明：根据微分定理有2.1.3拉氏变换的定理等式两边对s趋向于无穷取极限6）终值定理证：由微分定理，有等式两边对s趋向于0取极限2.1.3拉氏变换的定理7)相似定理8)位移定理9)卷积定理2.1.3拉氏变换的定理证明：证明：2.1.3拉氏变换的定理

2.1.3拉氏变换的定理象函数的一般表达式：F(s)=b0

sm+b1

sm-1

+···+bm-1s+bma0

sn+a1

sn-1

+···+an-1s+an分解为K(s

–z1)(s

–z2)···(s

–zm

)(s

–p1)(s

–p2)···(s

–pn

)=零点极点转换为=s-p1A1+s-p2A2+···+s-pnAn则p1tf(t)=A1ep2t+A2epntAne+···+部分分式法求拉氏反变换,实际上是求待定系数A1,A2,…,An.极点的形式不同,待定系数的求解不同,下面举例说明.

待定系数2.1.4

拉普拉斯变换的应用拉氏反变换(1)不相等实数极点Ai=F(s)(s-pi)

s=pi解：例求拉氏变换．s2+4s+3F(s)=s2+5s+5(s+1)(s+3)F(s)=1+s+2=1++s+1A1s+3A2A1=F(s)(s-p1)

s=p1(s+1)(s+3)=s2+5s+5s=-1=(s+1)(s+3)(s+2)(s+1)21=A2=F(s)(s-p2)

s=p2s=-3=(s+1)(s+3)(s+2)(s+3)21=21+f(t)=δ(t)+e-t21e-3t2.1.4

拉普拉斯变换的应用(2)复数极点A(s)(s

–p1)(s

–p2)···(s

–pn

)F(s)=p1,p2共轭复数极点分解为=(s-p1)(s-p2)A1s+A2+s-p3A3+···+s-pnAnF(s)(s-p1)(s-p2)

s=p1=A1s+A2s=p1根据求待定系数A1,A2.

例求拉氏变换．s(s2+9)F(s)=s+1解：A1s+A2+s(s2+9)F(s)=A3=A1s+A2s=j3F(s)(s2+9)s=j3A2=1

19A1=-

19A3=

-s/9+1

+s(s2+9)=1/9

s/9

-s(s2+9)F(s)=1/9

1

+(s2+9)1391-f(t)=Sin3t91Cos3t+2.1.4

拉普拉斯变换的应用(3)重极点A(s)(s

–p1)r(s

–pr+1)···(s

–pn

)F(s)=有r个重极点分解为=(s-p1)rA1+s-pr+1Ar+1+···+s-pnAn+(s-p1)r-1A2+···+s-p1Ardr-1[F(s)(s-p1)r]Ar=

s=p11

((r-1)!dsr-1)下面举例说明2.1.4

拉普拉斯变换的应用例求拉氏变换．(s+2)F(s)=s(s+1)2(s+3)解：F(s)=+s+1A1s+3A2(s+1)2+sA3+A4分解为按不相等实数极点确定A1,A3,A4得：-12A1=

23A3=

112A4=

d2-1[F(s)(s-p1)2]A2=

s=p11

((2-1)!ds2-1)d[=

s=-1ds](s+2)s(s+3)-34=

-34A2=

+-43+f(t)=e-t32e-3t2-te-t121将各待定系数代入上式得：2.1.4

拉普拉斯变换的应用5．用拉氏变换解微分方程

下面举例说明求解线性微分方程的方法。例求拉氏反变换．r(t)=20I(t)+2c

(t)=r(t)+3d2c(t)dt2dc(t)dtc(0)=5c'(0)=15解：(1)将微分方程拉氏变换s2C(s)-sc(0)-c'(0)+3sC(s)-3c(0)+2C(s)=20s20s+5s+30=C(s)(s2+3s+2)

(2)解代数方程s(s2+3s+2)

C(s)=5s2+30s+20(3)求拉氏反变换s(s+1)(s+2)=5s2+30s+20s+C(s)=+s+1A1s+2A2A3s+=+s+110s+25-10-10ec(t)=10+5e-t-2t2.1.4

拉普拉斯变换的应用例已知系统的微分方程式，求系统的输出响应。r(t)=δ(t)+2c

(t)=r(t)+2d2c(t)dt2dc(t)dt

c(0)=c'(0)=0解：将方程两边求拉氏变换得：s2C(s)+2sC(s)+2C(s)=R(s)R(s)=1C

(s)=s2+2s+21=(s+1)2+11求拉氏反变换得：c(t)=e–t

sint

输出响应曲线c(t)r(t)r(t)t0c(t)2.1.4

拉普拉斯变换的应用课堂练习题：(1)求下列函数的拉氏变换(2)求下列函数的拉氏反变换(3)解下列微分方程cos12tf(t)=e-4tf(t)=t2+3t+2F(s)=s(s+1)1+1c

(t)=I(t)+2d2c(t)dt2dc(t)dt

c(0)=c'(0)=01.控制系统的微分方程2.拉氏变换及逆变换3.拉氏变换的性质作业：习题：2-4小结：小结与作业上周作业点评1.本次作业较好，但个别同学存在计算错误，希望今后再认真些。2.个别同学没有及时提交，或提交格式不对，打不开，所以没有成绩，提倡图片格式。复习提问简述传递函数的性质？（4）传递函数是在零初始条件下定义的，不能反映非零初始条件下系统的运动过程。（1）传递函数只适用于线性定常系统。（2）传递函数取决于系统的结构和参数，与外施信号的大小和形式无关。（3）传递函数一般为复变量S的有理分式。2.3传递函数的方框图表示及运算2.3.1方框图的定义及组成2.3.2闭环控制系统的方框图

方块图是系统数学模型的另一种形式，它表示出系统中各变量之间的数学关系及信号的传递过程。2.3.3系统方框图的绘制2.3.4方框图的等效变换及运算法则2.组成1.概念方框图是对系统中每个环节的功能和信号流向进行的图解表示。描述系统及各组成元件之间信号传递关系的数学图形，它表示系统中各变量之间的因果关系及各变量所进行的数学变换。2.3.1方框图的定义及组成（1）方框表示对信号进行的数学变换，方框中写入元件或系统的传递函数，并用信号线将其连接起来。G(s)X(s)C(s)r(t),R(s)c(t),C(s)_U(t)=r(t)-c(t)U(s)=R(s)-C(s)（2）比较点（综合点或相加点）一般加号常省略，负号必须标出。（3）分支点C(t),C(s)C(t),C(s)2.3.1方框图的定义及组成_H(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)+D(s)

闭环控制系统的典型结构：2.开环传递函数：系统反馈量与误差信号的比值E(s)B(s)Gk(s)=E(s)B(s)=G1(s)G2(s)H

(s)=G(s)H(s)

2.3.2闭环系统的方框图1.前向通道传递函数Y(s)E(s)=G(s)

3.闭环传递函数1)给定信号R(s)作用R(s)E(s)_B(s)H(s)G1(s)G2(s)C(s)

系统的典型结构：

设

D

(s)=0典型结构图可变换为：_B(s)H(s)G1(s)G2(s)R(s)E(s)C(s)+D(s)系统的闭环传递函数:R(s)C(s)Ф(s)==1+G(s)H(s)G(s)2.3.2闭环系统的方框图2)扰动信号D(s)作用设R

(s)=0R(s)E(s)_B(s)H(s)G1(s)G2(s)C(s)

系统的典型结构：+D(s)

动态结构图转换成:前向通道:G1(s)H(s)G2(s)D(s)C(s)反馈通道:闭环传递函数为：D(s)C(s)Фd(s)==1+G1(s)G2(s)H(s)G2(s)2.3.2闭环系统的方框图_R(s)E(s)H(s)G2(s)G1(s)4.误差传递函数1)给定信号R(s)作用误差输出的动态结构图:R(s)+D(s)

前向通道:

反馈通道:

设D(s)=0E(s)C(s)_B(s)H(s)G1(s)G2(s)=1+G1(s)G2(s)H(s)1误差传递函数为：R(s)E(s)Фer(s)=2.3.2闭环系统的方框图+D(s)G1(s)G2(s)-H(s)E(s)2)扰动信号D(s)作用R(s)R(s)作用下误差输出的动态结构图:

前向通道:

反馈通道:R(s)=0E(s)C(s)+D(s)B(s)_H(s)G1(s)G2(s)D(s)E(s)Фed(s)=误差传递函数为：=1+G1(s)G2(s)H(s)-G2(s)H(s)2.3.2闭环系统的方框图系统方框图的绘制步骤一般为:（1）确定系统中各元件或环节的传递函数。（2）绘出各环节的方框，方框中标出其传递函数、输入量和输出量。（3）根据信号在系统中的流向，依次将各方框连接起来。2.3.3系统方框图的绘制例

设一RC电路如图所示。画出系统的动态结构图。+-uruc+-CiRRC电路解：初始微分方程组：ur=Ri+ucduci=dtc变换：Ur(s)=RI(s)+Uc(s)I(s)=CSUc(s)即=I(s)RUr(s)–Uc(s)Uc(s)=I(s)·1CS

用方框表示各变量间关系Ur(s)1R_I(s)Uc(s)Uc(s)I(s)1CSUc(s)I(s)1CS2.3.3系统方框图的绘制

对于RLC电路，可以运用电流和电压平衡定律及复阻抗的概念，直接画出系统的动态结构图。例求图所示电路的动态结构图。RC电路+-uruc+-ii2R2R1ci1解：I2(s)I1(s)+Uc(s)Ur(s)_CS1R1+R2Uc(s)RC电路动态结构图2.3.3系统方框图的绘制+-urC1I1

(t)uc+-C2i2(2)R1R2例画出图所示电路的动态结构图。RC串联电路解：1R1I1(s)_1C1S1R21C2SUr(s)UC(s)I2(s)__U1(s)U1(s)I2(s)UC(s)RC串联电路的动态结构图2.3.3系统方框图的绘制ed+-udLdidRd反电势例建立他激直流电动机的动态结构图。解：电枢回路部分：微分方程为+edud=Rdid+

Lddiddt取拉氏变换:Ud

(s)=Rd

Id

(s)+LdsId

(s)+Ed

(s)整理得：Ud(s)

–Ed(s)=Id

(s)(Rd+Lds)=Id(s)Rd(1+s)Ld

Rd令：La

RaTa=则有Ra(

Tas+1)Ud(s)–Eb(s)=Id(s)

用框图表示为1/RdTds+1Ud(s)_Ed(s)Id(s)2.3.3系统方框图的绘制电机转轴部分：微分方程:Te–TL=GD2375dndt.Te=Cm·id

TL=Cm·iL

拉氏变换得：Te(s)

–TL(s)

=GD2375SN(s)Te(s)=Cm·Id

(s)TL(s)=Cm·IL

(s)整理得：Id(s)

–IL(s)

=GD2375CmsN(s)即Id(s)

–IL(s)

=N(s)SGD2Rd375CmCeCeRd·令得Id(s)

–IL(s)

=N(s)SCeRd·TmGD2Rd375CmCeTm=

用框图表示为Id(s)IL(s)RdCeTmSN(s)_2.3.3系统方框图的绘制反电势部分：拉氏变换微分方程

用框图表示为CeN(s)Ed(s)eb=Ce·nEb(s)=Ce·N(s)

2.3.3系统方框图的绘制

将三部分框图连接起来即得电动机的动态结构图。Ud(s)_Ed(s)1/Rd1+TdsIL(s)RdCeTms_N(s)N(s)Ed(s)Ce(a)(b)(c)

IL(s)RdCeTms_N(s)电动机的动态结构图Ce2.3.3系统方框图的绘制2.3.4

方块图的等效变换及运算法则

系统的方框图直观地反映了系统内部各变量之间的动态关系。将复杂的动态结构图进行化简可求出传递函数。1．动态结构图的等效变换等效变换：被变换部分的输入量和输出量之间的数学关系，在变换前后保持不变。C1(s)（1）串联两个环节串联的等效变换：R(s)C(s)G2(s)G1(s)C(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)=G1(s)G2(s)G(s)=等效n个环节串联ni=1G(s)=ΠGi(s)C1(s)=R(s)G1(s)C(s)=C1(s)G2(s)=R(s)G(s)1G2(s)R(s)G1(s)C(s)G2(s)F(s)不是串联！R(s)G1(s)C(s)G2(s)C1(s)也不是串联！2.3.4

方块图的等效变换及运算法则R(s)C(s)=G1(s)+G2(s)G(s)=(2)并联两个环节的并联等效变换：G1(s)+G2(s)R(s)C(s)++G2(s)R(s)C(s)G1(s)等效C1(s)=R(s)G1(s)C1(s)C2(s)=R(s)G2(s)C2(s)C(s)=C1(s)+C2(s)=R(s)G1(s)+R(s)G2(s)n个环节的并联

Σni=1G(s)=Gi(s)2.3.4

方块图的等效变换及运算法则E(s)=R(s)B(s)+–=R(s)E(s)G(s)H(s)+–1±G(s)H(s)R(s)E(s)=（3）反馈连接G(s)1±G(s)H(s)C(s)R(s)G(s)C(s)H(s)R(s)E(s)B(s)±环节的反馈连接等效变换：根据框图得：等效R(s)C(s)1±G(s)H(s)G(s)=C(s)=E(s)G(s)第四节动态结构图2.3.4

方块图的等效变换及运算法则（4）综合点和引出点的移动1)

综合点之间或引出点之间的位置交换引出点之间的交换：b综合点之间交换：bccbaaaa±aa±b±c±a±c±b不改变数学关系不改变数学关系aa综合点与引出点之间不能交换！2.3.4

方块图的等效变换及运算法则2）综合点相对方框的移动F(s)R(s)G(s)C(s)±R(s)前移：R(s)C(s)G(s)±F(s)R(s)±C(s)1G(s)F(s)后移：±C(s)G(s)F(s)R(s)C(s)G(s)±F(s)F(s)R(s)G(s)C(s)±2.3.4

方块图的等效变换及运算法则3)引出点相对方框的移动C(s)R(s)C(s)G(s)R(s)R(s)C(s)G(s)R(s)G(s)1C(s)R(s)C(s)G(s)前移：G(s)C(s)后移：R(s)R(s)C(s)G(s)2.3.4

方块图的等效变换及运算法则G1(s)G2(s)G3(s)H(s)__+R(s)C(s)a移动aG2(s)+_G2(s)H(s)例化简系统的结构图，求传递函数。

先移动引出点和综合点，消除交叉连接，再进行等效变换，最后求得系统的传递函数。解：G1(s)G2(s)G3(s)G2(s)H(s)+__R(s)C(s)交换比较点a求得系统的传递函数:R(s)C(s)G1(s)G2(s)+G3(s)=1+G2(s)H(s)+G1(s)G2(s)+G3(s)G1(s)G2(s)+G3(s)11+G2(s)H(s)_R(s)C(s)等效变换后系统的结构图：2.3.4

方块图的等效变换及运算法则例求RC串联网络的传递函数。1R11C1S1C2S___R(S)C(S)1R2RC串联网络动态结构图解：错！C2S1R1注意：综合点与引出点的位置不作交换！R1_1R2C2S_1R1C1SR1C2S1R1C1S+11R2C2S+1_R(s)C(s)系统传递函数：R(s)C(s)(R1C1S+1)(R2C2S+1)+R1C2S1=2.3.4

方块图的等效变换及运算法则例:R(s)C(s)R(s)+D(s)解:G1G2G3H1H2___C(s)E(s)D(s)=0结构图变换为：

G1G2G3H1/G3G2H2___C(s)E(s)R(s)求1+G3G2H2G1G2G3=1+G3G2H2+G1G2H1+G1G2G3G1G2G3R(s)C(s)=1+G3G2H2+G1G2H1G1G2G3H1/G31+G3G2H2G1G2G31+1+G3G2H2G1G2G32.3.4

方块图的等效变换及运算法则+D(s)C(s)R(s)G1G2G3H1H2---E(s)R(s)E(s)求R(s)H1H2-G1G2-E(s)G3-结构图变换为：

解:D(s)=0R(s)-G1G2-E(s)G3-H1H2/G1G1G2G31+G1G2H11+G1G2G31+G1G2H1H2/G1G1G2G31+G1G2H1=1+G1G2H1+G2G3H2G1G2G3E(s)R(s)=1+G1G2H1+G2G3H2+G1G2G31+G1G2H1+G2G3H22.3.4

方块图的等效变换及运算法则R(s)+D(s)G1G2G3H1H2___C(s)D(s)C(s)求解:R(s)=0结构图变换为

D(s)+G1G2-C(s)-H1-1H2G31+G1G2H1G1G2-(1+H2/G1)D(s)+-C(s)-H1-1G3G2G1H2/G1C(s)D(s)=1+G1G2H1+G2G3H2+G1G2G3G3(1+G1G2H1)系统传递函数为：2.3.4

方块图的等效变换及运算法则R(s)+D(s)G1G2G3H1H2___C(s)E(s)求D(s)E(s)解:结构图变换为

R(s)=0D(s)+G1G2-E(s)-H1H2-G3D(s)+-E(s)-H1H2/G1-G3G2G11+G1G2H1G1G2(1+H2/G1)E(s)D(s)=1+G1G2H1+G2G3H2+G1G2G3-G3(1+G1G2H1)系统传递函数为：2.3.4

方块图的等效变换及运算法则小结：2.3传递函数的方框图表示及运算1方框图的定义及组成2闭环控制系统的方框图3系统方框图的绘制4方框图的等效变换及运算法则前向通道传递函数、开环传递函数、闭环传递函数、误差传递函数作业：习题2-9，2-11(a)、(b)复习提问简述方框图的等效变换及运算法则？等效变换：被变换部分的输入量和输出量之间的数学关系，在变换前后保持不变。（1）串联（2）并联（3）反馈连接（4）综合点和引出点的移动1)

综合点之间或引出点之间的位置交换2）综合点相对方框的移动3)引出点相对方框的移动2.4信号流图及梅逊公式2.4.1.信号流图的概念及术语1.节点：用以表示系统中变量或信号的点称为节点，用“o”表示。2.支路：连接两节点的定向线段。3.输入支路：指向某节点的支路，称为该节点的输入支路。4.输出支路：背离某节点的支路，称为该节点的输出支路。5.传输：两节点间（支路）的增益或传递函数6.源点：只有输出支路而无输入支路的节点。7.阱点：只有输入支路而无输出支路的节点。8.混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。X1X2X3X4X5acedfgb9.通路：沿支路箭头所指的方向穿过各相连支路的途径。10.开通路：如果通路与任意节点相交次数不多于一次，称为开通路。

11.闭通路：如果通路的终点就是通路的起点，而与任何其它节点相交次数不多于一次，则称为闭通路或回路。12.回路增益：回路中各支路传输的乘积。13.不接触回路：回路间没有任何共有节点，称其为不接触回路

。14.前向通路：从源点到阱点的通路上，通过任何节点不多于一次的通路。15.前向通路增益：前向通路中各支路传输的乘积，称为前向通路增益。X1X2X3X4X5acedfgb2.4信号流图及梅公式逊2.4.2.信号流图的性质及化简1．以节点代表变量，源点代表输入量，阱点代表输出量，用混合节点代表变量或信号的汇合。在混合节点处，输出支路的信号等于各输入支路信号的叠加。2．以支路表示变量或信号的传输和变换过程，信号只能沿着支路的箭头方向传输。在信号流图中每经过一条支路，相当于在方框图中经过一个用方框表示的环节。3．增加一个具有单位传输的支路，可以把混合节点化为阱点。4．对于同一系统，信号流图的形式不是唯一的。信号流图和方框图是一一对应的，且可以互相转化。运算法则：2.4.2.信号流图的性质及化简加法规则：并联支路的总传输等于各支路的传输之和。乘法规则：串联支路的总传输等于所有支路的传输之积。x2x1abx1x2a+bx1x2ax3bx1x2ab运算法则：2.4.2.信号流图的性质及化简分配规则：混合结点可以通过移动支路的方法消掉。反馈回路简化规则：先化成自回路x3x4cx1x2bax4x1x2bcacx1x2ax3bcx1abx3bcx1ab/(1-bc)x3方框图与信号流图的转换例1将下面所示的方框图转化为流程图1-1-1-12.4.2.信号流图的性质及化简ΣLiΣLiLjΣLiLjLzΔ=1––++···

回路内前向通道和反馈通道传递函数的乘积。梅逊公式：回路传递函数：—特征式△—各回路传递函数之和。—两两互不相接触回路的传递函数乘积之和。—所有三个互不相接触回路的传递函数乘积之和。Φ(s)=Σnk=1PkΔkΔΣLiΣLiLjΣLiLjLzΣLiΣLiLjΣLiLjLz△k—将△中与第k条前向通道相接触的回路所在项去掉之后的剩余部分，称为余子式。Pk—第k条前向通道的传递函数。2.4

.3梅逊公式例系统的动态结构图如图所示，求闭环传递函数。G1G2G3H1G4H2___C(s)+R(s)解：系统有5个回路，各回路的传递函数为L1L1=–G1G2H1L2L2=–G2G3H2L3L3=–G1G2G3L4L4=–G1G4L5L5=–G4H2ΣLiLj=0ΣLiLjLz

=0Δ

=1+G