数学学案：课堂导学基本不等式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一，利用基本不等式进行证明【例1】若a，b,c是互不相等的实数，求证:a2+b2+c2>ab+bc+ca.思路分析：所证不等式是关于a，b，c的对称式,注意到a2+b2>2ab,然后轮换相加即可。证明：∵a,b，c是互不相等的实数,∴a2+b2〉2ab，b2+c2〉2bc，c2+a2>2ca。将上面三个同向不等式相加得2（a2+b2+c2)〉2(ab+bc+ca）,即a2+b2+c2>ab+bc+ca。温馨提示分段应用基本不等式,然后整体相加(乘）得结论,是证明对称不等式的常用技巧.在证明不等式时，有时多次运用这个结论来证明较复杂的不等式.二,利用基本不等式求最值【例2】(1）已知x〈,求y=4x—1+的最大值；(2）已知x>0,y〉0,且x+2y=1,求+的最小值.思路分析:根据题设条件，合理变形,创造能用均值定理的条件，求最值。解：（1）∵x<，∴4x-5〈0,故5-4x>0.∴y=4x-1+=—(5-4x+)+4。∵5-4x+≥=2,∴y≤-2+4=2.当且仅当5—4x=，即x=1或x=（舍)时，等号成立,∴当x=1时，y取最大值为2。（2）∵x+2y=1，∴+=+=3++≥3+2=3+2。当且仅当=,又x+2y=1,即x=—1,y=1-时等号成立.∴当x=-1，y=1-时，+取最小值3+2.温馨提示用均值定理求最值时,为了满足和或积为定值的条件,常采用配,凑的方法变换，另外变量为正和等号成立的条件也要特别注意.三,利用基本不等式解决综合问题【例3】如图，为处理含某种杂质的污水,要制造一底宽为2m的无盖长方体沉淀箱污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出,设箱体的长度为am,高度为bm,已知流出的水中，设杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比,现有制箱材料60m2,问a,b解析:设y为流出的水中杂质的质量分数,则y=,其中k>0为比例系数。根据题设，有4b+2ab+2a=60(a>0,bb=(0〈a〈30）.于是y====≥=.当a+2=时取等号，将a=6或a=—10（舍去)代入,得b=3，∴当a为6m,b为3m时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。温馨提示应用均值不等式解决实际问题时，注意：①设变量，定函数;②建立函数关系式；③在定义域内求最值。各个击破类题演练1已知a〉0，b>0,c>0且a+b+c=1，求证:.证明：++=++=3+（+)+（+)+（+）≥3+2+2+2=9.等号成立，当且仅当a=b=c=。变式提升1若a，b∈R,｜a|≤1，｜b｜≤1。求证:。证明：直接套用xy≤，得类题演练2已知x>0,y>0且5x+7y=20，求xy的最大值.解:xy=(5x·7y）≤（）2=（)2=,当且仅当5x=7y=10，即x=2，y=时,xy取最大值。变式提升2(1)已知x>0,y>0且+=1，求x+y的最小值；(2)已知x<0，求y=的最大值。解析：（1）∵x〉0，y>0，+=1,∴x+y=(+)（x+y)=++10≥+10=16.当且仅当=，又+=1即x=4，y=12时等号成立。∴当x=4，y=12时，x+y取最小值16.（2）因为x〈0,故对两正数—,—x有(—）+(—x)≥=2，即有+x≤—2.于是y==+x≤-2.当且仅当—=-x,即x=-1时,y取最大值-2。类题演练3已知Rt△ABC的周长为定值l，求这个三角形面积的最大值。解析:如图，Rt△ABC中，∠C=，由题意a+b+c=l, ①a2+b2=c2. ②此三角形面积为S=ab.由①②可知a+b+=l.∴2+≤a+b+=l,（当且仅当a=b时，等式成立）即(2+)≤l.∴ab≤.∴S=ab≤(当且仅当a=b时取等号).∴三角形面积的最大值为。变式提升3某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状),高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅,每米长造价40元,两侧墙砌砖,每米长造价45元,顶部每平方米造价20元.试算:(1）仓库面积S的最大允许值是多少?（2）为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解析:（1）设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，则有S=xy。由题意得40x+2×45y+20xy=3200.（*)应用二元均值不等式,得3200≥2+20xy=120+20xy=120+20S。∴S+6≤160，即(