数学学案：课堂导学函数的奇偶性

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、函数奇偶性的概念,函数奇偶性的判定与证明【例1】判断下列函数的奇偶性.(1）f（x)=x3+x；(2）f（x）=（x-1)·;（3)f（x)=+。思路分析：利用函数奇偶性的定义判断.解：（1）∵定义域为R，f（-x）=（—x)3+（—x)=-x3-x=-f（x),∴f(x）为奇函数.(2）∵定义域为｛x|x＞1或x≤—1｝，定义域关于原点不对称,∴f(x）为非奇非偶函数。（3）∵定义域为｛—2,2｝，f(—x）=0=f(x)=-f（x)，∴f（x)既是奇函数又是偶函数。温馨提示第(2）小题易错解为：∵f(x)=(x—1)·=，f(-x）===f（x），∴f(x）为偶函数。二、函数奇偶性的综合应用【例2】（1)若奇函数y=f(x)是定义在［-1，1］上的减函数,且f(1-a）+f（1—a2）＞0,求a的取值范围;（2）若f（x）是定义在实数集R上的偶函数，且在区间(—∞，0）上是增函数,又f(2a2+a+1)＜f(3a2—2a+1）,求a的取值范围。思路分析：（1）去掉函数符号f，等价变换出a的不等式.利用f（x)为奇函数和减函数的性质。（2)利用f（x）为偶函数的性质和证在（0，+∞）上为减函数,这个证明不可少。解:(1）由奇函数的性质,-f(1—a2）=f(a2-1),即f（1—a）+f(1-a2)＞0等价于f(1—a)＞f（a2—1)，又f(x）是定义在［-1，1］上的减函数，得解之，得1＜a≤.（2)任取x1\，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，则-x1＞—x2.∵f（x)是区间（-∞，0)上的增函数,∴f（-x1）＞f（-x2）。又f（x）为偶函数,得f（x1）＞f（x2），即f(x）在(0,+∞)上是减函数,容易判断2a2+a+1和3a2—2a+1是两个正数。∴f（2a2+a+1）＜f（3a2-2a+1）等价于2a2+a+1＞3a2-2a+1。解之，得0＜a＜3.三、根据奇偶性求函数的解析式【例3】已知f（x)是奇函数,且当x＞0时，f（x)=x2—2x,求当x＜0时，f（x）的表达式。思路分析：函数只要设x＜0，则—x＞0,再由奇函数定义进行转化。解:设x＜0，则—x＞0,∴f(-x）=(—x）2-2（—x)=x2+2x。又∵f（x）为奇函数,∴f（—x)=-f（x).∴f（x)=—（x2+2x)=-x2—2x。∴当x＜0时,f（x）=—x2-2x.温馨提示此题易错解为:∵f(x）为奇函数,∴f（—x)=—f（x）=—（x2-2x)=—x2+2x。∴当x＜0时,f(x)=—x2+2x。应该注意:（1)在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间里;（2)然后要利用已知区间的解析式进行代入；(3）利用f(x)的奇偶性,把f（—x）写成-f（x)或f(x），从而解出f（x)。各个击破类题演练1设a为实数，函数f(x)=x2+|x—a|+1，x∈R,讨论f（x）的奇偶性.解析:当a=0时，函数f(—x)=（-x）2+|—x｜+1=x2+｜x|+1=f(x），∴f（x）为偶函数.当a≠0时,f（a）=a2+1,f(-a)=a2+2|a｜+1，f(—a）≠f(a），f(-a）≠-f(a）.此时函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数。变式提升1若f（x)=ax2+bx+c（a≠0）是偶函数，则g(x)=ax3+bx2+cx是（）A.奇函数B。偶函C。非奇非偶函数D.既奇又偶函数解析：∵f(x)=ax2+bx+c(a≠0)为偶函数，∴b=0,从而g(x）=ax3+bx2+cx为奇函数。答案：A类题演练2设f(x)在R上是奇函数，在区间（-∞,0)上递增，且有f（2a2+a+1）〈f(3a2—2a+1）。求a的取值范围.解析：由f（x)在R上是奇函数,在区间（—∞，0）上递增，知f（x)在(0，+∞)上递增。∵2a2+a+1=2（a+)2+>0，3a2-2a+1=3(a）2+〉0，且f（2a2+a+1）〈f（3a2-2a+1），∴2a2+a+1〈3a2—2a+1,即a2-3a>0。解之，得a〈0或a〉3.变式提升2已知f(x）=x5+ax3+bx—8且f（2)=10,求f(-2).解析：令g（x)=f（x)+8=x5+ax3+bx，则g(x）是奇函数,∴g(—2）+g(2）=0.∴f(—2）+8+f(2）+8=0.∵f（2)=10,∴f(—2)=-26.类题演练3已知f（x）是奇函数,且当x>0时，f（x）=x｜x-2｜,求x<0时f(x）的表达式。解析：设x〈0，则—x〉0，且满足表达式f(x)=x|x-2|，∴f(—x)=-x|—x-2｜=-x｜x+2|。又f（x)是奇函数,有f（-x）=—f（x),∴-f(x）=-x｜x+2｜.∴f(x)=x|x+2｜。故当x<0时，f（x)的表达式为f(x）=x｜x+2｜。变式提升3已知函数y=f（x）在R上是奇函数,且当x≥0时，f(x)=x2—2x，则f（x)在R上的解析式为…(）A。f(x)=x（x-2）B。f(x)=｜x|（x—2)C.f（x）=|x|(｜x|—2）