92用样本估计总体（九大题型）（原卷版）

9．2用样本估计总体【题型归纳目录】题型一：频率分布直方图的绘制与应用题型二：频率分布直方图中的相关计算问题题型三：对折线图、扇形图、条形图的识读题型四：百分位数在具体数据中的应用题型五：百分位数在统计表或统计图中的应用题型六：平均数、中位数、众数在具体数据中的应用题型七：在频率分布直方图中求平均数、中位数、众数题型八：标准差与方差的应用题型九：用样本平均数和样本标准差估计总体【知识点梳理】1、频率分布直方图绘制步骤①求极差，即一组数据中的最大值与最小值的差．②决定组距与组数．组距与组数的确定没有固定的标准，一般数据的个数越多，所分组数越多．当样本容量不超过100时，常分成5～12组．为方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”．③将数据分组．④列频率分布表．计算各小组的频率，第i组的频率是．⑤画频率分布直方图．其中横轴表示分组，纵轴表示，实际上就是频率分布直方图中各小长方形的高度，它反映了各组样本观测数据的疏密程度．2、频率分布直方图意义：各个小长方形的面积表示相应各组的频率，频率分布直方图以面积的形式反映数据落在各个小组的频率的大小，各小长方形的面积的总和等于1．3、总体取值规律的估计：我们可以用样本观测数据的频率分布估计总体的取值规律．4、频率分布直方图的特征：当频率分布直方图的组数少、组距大时，容易从中看出数据整体的分布特点，但由于无法看出每组内的数据分布情况，损失了较多的原式数据信息；当频率分布直方图的组数多、组距小时，保留了较多的原始数据信息，但由于小长方形较多，有时图形会变得非常不规则，不容易从中看出总体数据的分布特点．5、常见的其他统计图：条形图、扇形图、折线图．扇形图主要用于直观描述各类数据占总数的比例；条形图和直方图主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和频率；折线图主要用于描述数据随时间的变化趋势．6、各个统计图特点（1）不同的统计图在表示数据上有不同的特点．如扇形图主要用于直观描述各类数据占总数的比例，条形图和直方图主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和频率，折线图主要用于描述数据随时间的变化趋势．（2）不同的统计图适用的数据类型也不同．如条形图适用于描述离散型的数据，直方图适用于描述连续性数据．7、第p百分位数的定义一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值．8、计算第百分位数的步骤第1步：按从小到大排列原始数据．第2步：计算．第3步：若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第项数据的平均数．9、四分位数常用的分位数有第25百分位数、第50百分位数、第75百分位数，这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等．10、众数、中位数、平均数定义（1）众数：一组数据中重复出现次数最多的数．（2）中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置（或中间两个数的平均数）的数叫做这组数据的中位数．（3）平均数：如果个数，那么叫做这个数的平均数．11、频率分布直方图中的众数、中位数、平均数①在频率分布直方图中，众数是最高矩形中点的横坐标；②中位数左边和右边的直方图的面积应该相等；③平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．12、方差、标准差的定义一组数据，用表示这组数据的平均数，则这组数据的方差为，标准差为．13、总体方差、总体标准差的定义如果总体中所有个体的变量值分别为，总体平均数为，则称为总体方差，为总体标准差．如果总体的个变量值中，不同的值共有个，记为，，其中出现的频数为，则总体方差为．14、样本方差、样本标准差的定义如果一个样本中个体的变量值分别为，样本平均数为，则称为样本方差，为样本标准差．15、方差、标准差特征标准差、方差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小．在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的．但在解决实际问题中，一般多采用标准差．【典型例题】题型一：频率分布直方图的绘制与应用【方法技巧与总结】（绘制频率分布直方图的注意事项）1、在列频率分布表时，极差、组距、组数有如下关系：（1）若eq\f(极差,组距)为整数，则eq\f(极差,组距)＝组数；（2）若eq\f(极差,组距)不为整数，则eq\f(极差,组距)的整数部分＋1＝组数．2、组距和组数的确定没有固定的标准，将数据分组时，组数力求合适，纵使数据的分布规律能较清楚地呈现出来，组数太多或太少，都会影响我们了解数据的分布情况，若样本容量不超过100，按照数据的多少常分为5～12组，一般样本容量越大，所分组数越多．例1．（2023·全国·高一专题练习）某市为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费，为更好地决策，自来水公司随机抽取了部分用户的用水量数据，并绘制了如图不完整的统计图(每组数据包括右端点但不包括左端点)，请你根据统计图解答下列问题：用户用水量频数直方图

用户用水量扇形统计图（1）此次抽样调查的样本容量是________；（2）补全频数分布直方图，求扇形图中“15吨～20吨”部分的圆心角的度数；（3）如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地区6万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格．例2．（2023·全国·高一专题练习）考查某校高三年级男同学的身高，随机地抽取50名男同学，测得他们的身高（单位：cm）如下表所示：171170165169167167170161164167171163163169166168168165160168158160163167173168169170160164171169167159151168170174160168176157162166158164180179169169(1)这组数据的极差为______，数据160的频数为______，数据171的频率为______；(2)填写下面的频率分布表：身高频数频率(3)画出该校高三年级男同学身高的频率分布直方图．例3．（2023·全国·高一专题练习）在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如下表：分组频数频率4253029102合计100(1)完成频率分布表，并估计纤度落在中的占比及纤度小于1.40的占比；(2)在给定的坐标系中画出频率分布直方图．（请自行标注纵坐标）变式1．（2023·全国·高一专题练习）某市某年某月30天对空气污染指数的监测数据如下（主要污染物为可吸入颗粒物）：61767056819192917581886710110395917786818382826479868575714945(1)完成频率分布表；分组频数频率(2)作出频率分布直方图；(3)根据国家标准，污染指数在0~50之间时，空气质量为优；在51~100之间时，空气质量为良；在101~150之间时，空气质量为轻度污染；在151~200之间时，空气质量为中度污染．请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价．变式2．（2023·全国·高一专题练习）对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：寿命/小时100~200200~300300~400400~500500~600个数2030804030（1）完成频率分布表；分组频数频率100~200200~300300~400400~500500~600合计（2）画出频率分布直方图和频率分布折线图；（3）估计电子元件寿命在100~400小时以内的频率；题型二：频率分布直方图中的相关计算问题【方法技巧与总结】（计算规律）1、因为小长方形的面积=组距×频率组距=频率，所以各小长方形的面积表示相应各组的频率．这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小2、在频率分布直方图中，各小长方形的面积之和等于1．3、频数相应的频率=4、在频率分布直方图中，各长方形的面积之比等于频率之比，各长方形的高度之比也等于频率之比．例4．（2023·全国·高一专题练习）某棉纺厂为了解一批棉花的质量，在该批棉花中随机抽取了容量为120的样本，测量每个样本棉花的纤维长度（单位：mm，纤维长度是棉花质量的重要指标），所得数据均在区间内，将其按组距为2分组，制作成如图所示的频率分布直方图，其中纤维长度不小于28mm的棉花为优质棉.求频率分布直方图中的值；例5．（2023·高一课时练习）某电子商务公司对10000名网络购物者某年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示．求：(1)直方图中的a的值；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数．例6．（2023·全国·高一专题练习）为了了解高三学生的身体状况，抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图）．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为12．求抽取的男生人数．变式3．（2023·全国·高一专题练习）为了让学生更多地了解冬奥知识，石家庄某中学举行了一次“冬奥知识竞赛”，共有900名考生参加了这次竞赛，为了解本次竞赛成绩的情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计.请你根据尚未完成的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题：分组频数频率40.080.1610160.32合计50(1)填充频率分布表的空格（将答案直接填在表格内）.(2)补全频率分布直方图.(3)若成绩在内的学生获得二等奖，请估计该校获得二等奖的学生为多少人？变式4．（2023·高一课时练习）支付也称为移动支付(MobilePayment)，是当今社会比较流行的一种付款方式．某金融机构为了了解移动支付在大众中的熟知度，对15岁至65岁的人群作了问题为“你会使用移动支付吗？”的调查，把回答“会”的100个人按照年龄分成5组，绘制成如图所示的频数分布表和频率分布直方图．组数第1组第2组第3组第4组第5组分组[15，25)[25，35)[35，45)[45，55)[55，65]频数x35y123(1)求x，y，a的值；(2)若从第1，3组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取5人，求两组中分别抽取的人数．变式5．（2023·江西吉安·高一江西省泰和中学校考期末）为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了100户居民去年一年的月均用电量，发现他们的月均用电量都在至之间，进行适当分组后，画出的频率分布直方图如图所示.(1)求图中a的值；(2)为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯式递增电价（第一档电量满足居民基本用电需求，电价最低；第二档电量反应正常合理用电需求，电价较高；第三档电量体现较高生活质量用电需求，电价最高）定价，希望使不少于85%的居民缴费在第一档，求第一档月均用电量的最低标准值（单位：）.题型三：对折线图、扇形图、条形图的识读【方法技巧与总结】（各类统计图的特点）条形统计图反映各组数据的频数或频率；扇形统计图反映各组数据占总数的比例；折线统计图反映数据随时间的变化趋势．例7．（2023·全国·高一专题练习）世界人口变化情况的三幅统计图如图所示．下列结论中错误的是（

）A．从折线图能看出世界人口的总量随着年份的增加而增加B．2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多C．1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢D．2050年南美洲及大洋洲人口之和与欧洲人口基本持平例8．（2023·辽宁葫芦岛·高一统考期末）2022年第24届冬奥会在北京和张家口成功举办，出色的赛事组织工作赢得了国际社会的一致称赞、经济效益方面，多项收入也创下历届冬奥会新高．某机构对本届冬奥会各项主要收入进行了统计，得到的数据如图所示．已知赛事转播的收入比政府补贴和特许商品销售的收入之和多24.8亿元，则2022年冬奥会这几项收入总和为（

）A．200亿元 B．220亿元 C．160亿元 D．118亿元例9．（2023·山东潍坊·高一统考期末）某市四区夜市地摊的摊位数和食品摊位比例分别如图、图所示，为提升夜市消费品质，现用分层抽样的方法抽取的摊位进行调查分析，则抽取的样本容量与区被抽取的食品摊位数分别为（

）A．， B．， C．， D．，式6．（2023·江西吉安·高一江西省安福中学校考期末）某企业不断自主创新提升技术水平，积极调整企业旗下的甲、乙、丙、丁、戊等种系列产品的结构比例，近年来取得了显著效果.据悉该企业年种系列产品年总收入是年的倍，其中种系列产品的年收入构成比例如图所示.则下列说法错误的是（

）A．年甲系列产品收入比年的多B．年乙和丙系列产品收入之和比年的企业年总收入还多C．年丁系列产品收入是年丁系列产品收入的D．年戊系列产品收入是年戊系列产品收入的倍变式6．（2023·全国·高一专题练习）5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济价值．如图所示的统计图是某单位结合近几年的数据，对今后几年的5G直接经济产出做出的预测．则以下结论错误的是（

）A．运营商的5G直接经济产出逐年增加B．设备制造商的5G直接经济产出前期增长较快，后期放缓C．设备制造商在各年的5G直接经济产出中一直处于领先地位D．信息服务商与运营商的5G直接经济产出的差距有逐步拉大的趋势题型四：百分位数在具体数据中的应用【方法技巧与总结】（计算一组n个数据的第p百分位数的步骤）第1步，按从小到大排列原始数据．第2步，计算．第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第（i+1）项数据的平均数．例10．（2023·辽宁丹东·高一统考期末）有一笔统计资料，共有10个数据如下：90，92，92，93，93，94，95，96，99，100，则这组数据的分位数为（

）A．92 B．95 C．95.5 D．96例11．（2023·山东东营·高一统考期末）十名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是：15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其中位数为a，众数为b，第一四分位数为c，则a，b，c大小关系为（

）A． B．C． D．例12．（2023·全国·高一专题练习）一组数据如下：10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，则该组数据的第30百分位数是（

）A．12 B．12.5 C．13 D．13.5变式7．（2023·全国·高一专题练习）某校从高一新生中随机抽取了一个容量为10的身高样本，数据（单位：cm）从小到大排序如下：158，165，165，167，168，169，x，172，173，175，若样本数据的第60百分位数是170，则x=（

）A．169 B．170 C．171 D．172题型五：百分位数在统计表或统计图中的应用【方法技巧与总结】（频率直方图计算百分位数的规律）求总体百分位数的估计，首先要从小到大排列数据，频率直方图看作数据均匀分布在直方图上，然后计算出，当i不是整数要取整，频率直方图要计算出比例值．例13．（2023·全国·高一专题练习）《中国居民膳食指南（2022）》数据显示，6岁至17岁儿童青少年超重肥胖率高达19.0%．为了解某地中学生的体重情况，某机构从该地中学生中随机抽取100名学生，测量他们的体重（单位：千克），根据测量数据，按分成六组，得到的频率分布直方图如图所示．根据调查的数据，估计该地中学生体重的第75百分位数是（

）A．55 B．57.25 C．58.75 D．60例14．（2023·全国·高一专题练习）某班60名学生期中考试物理成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是，，，，，则该成绩的第70百分位数约为（

）A．73.6 B．75.5 C．76.2 D．78.3例15．（2023·全国·高一专题练习）为了解“双减”政策实施后学生每天的体育活动时间，研究人员随机调查了该地区1000名学生每天进行体育运动的时间，按照时长（单位：分钟）分成6组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组，经整理得到如图的频率分布直方图，则可以估计该地区学生每天体育活动时间的第25百分位数约为（

）A．42.5分钟 B．45.5分钟C．47.5分钟 D．50分钟变式8．（2023·全国·高一专题练习）下图是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，则由直方图得到的25%分位数为（

）A．66.5 B．67 C．67.5 D．68题型六：平均数、中位数、众数在具体数据中的应用【方法技巧与总结】（众数、中位数、平均数的意义）（1）样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息，平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大．（2）当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势．例16．（2023·江西南昌·高一南昌市外国语学校校考阶段练习）某学校高一年级有300名男生，200名女生，通过分层随机抽样的方法调查数学考试成绩，抽取总样本量为50，男生平均成绩为120分，女生平均成绩为110分，那么可以推测高一年级学生的数学平均成绩约为（

）A．110分 B．115分 C．116分 D．120分例17．（2023·全国·高一专题练习）甲、乙两位同学本学期前8周的各周课外阅读时长的条形统计图如图所示，则下列结论正确的是（

）A．甲同学周课外阅读时长的样本众数为8B．甲同学周课外阅读时长的样本中位数为5.5C．乙同学周课外阅读时长的样本平均数是7.5D．乙同学周课外阅读时长大于8的概率的估计值大于0.4例18．（2023·全国·高一专题练习）已知样本数据的平均数与中位数之差为2，则样本数据的平均数与中位数之差为（

）A．2 B．3 C．4 D．8变式9．（2023·全国·高一专题练习）已知个数据分别是，，，，，，，．请确定：(1)样本数据的平均数的值；(2)该数据的众数．变式10．（2023·高一课时练习）某次考试后．某班成绩的平均分为85，中位数82，众数为80．后发现漏计算了一个同学的成绩，他的得分为85．当补上该生成绩后，该班成绩平均值、中位数、众数分别会有什么样的影响？变式11．（2023·高一课时练习）某单位党员分为4个党小组，各组人数分别为10，10，x，8．已知各组人数的中位数和平均数相等，求中位数．题型七：在频率分布直方图中求平均数、中位数、众数【方法技巧与总结】（知频率分布直方图中求平均数、中位数、众数）（1）众数：频率分布直方图中，最高矩形的底边中点的横坐标．（2）中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数．（3）平均数：平均数在频率分布直方图中等于每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和．例19．（2023·全国·高一专题练习）某校举办了迎新年知识竞赛，将100人的成绩整理后画出的频率分布直方图如下，则根据频率分布直方图，下列结论不正确的是（

）A．中位数70 B．众数75 C．平均数68.5 D．平均数70例20．（2023·甘肃酒泉·高一校考阶段练习）为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行1分钟跳绳测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图).图中从左到右各小矩形面积之比为2:4:17:15:9:3，第二小组频数为12.(1)第二小组的频率是多少?样本容量是多少?(2)通过频率分布直方图估计总体的平均数、中位数、众数.例21．（2023·全国·高一专题练习）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：，，，，，．求图中的值和学生成绩的中位数；变式12．（2023·全国·高一专题练习）某公司为了解所开发APP使用情况，随机调查了100名用户.根据这100名用户的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40，50），[50，60），...，[90，100].(1)求频率分布直方图中的值；(2)若采用比例分配的分层随机抽样方法从评分在[40，60），[60，80），[80，100）的中抽取20人，则评分在[40，60）内的顾客应抽取多少人？(3)用每组数据的中点值代替该组数据，试估计用户对该APP评分的平均分.式14．（2023·江西吉安·高一统考期末）2022年起，某省将实行“”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式，某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的生物成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定A、B、C、D、E共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分A等级排名占比15%，赋分分数区间是86100；B等级排名占比35%，赋分分数区间是7185：C等级排名占比35%，赋分分数区间是5670：D等级排名占比13%，赋分分数区间是4155；E等级排名占比2%，赋分分数区间是3040；现从全年级的生物成绩中随机抽取100名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：(1)求图中a的值；(2)求抽取的这100名学生的原始成绩的众数、平均数和中位数；(3)用样本估计总体的方法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的B等级及以上（含B等级）？（结果保留整数）变式13．（2023·全国·高一专题练习）某果园新采摘了一批苹果，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），将重量按照进行分组，得到频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）.(1)估计这批苹果的重量的平均数；(2)该果园准备把这批苹果销售给一家超市，据市场行情，有两种销售方案；方案一：所有苹果混在一起，价格为2.5元/千克；方案二：将不同重量的苹果分开，重量不小于160克的苹果的价格为3元/千克，重量小于160克的苹果的价格为2元/千克，但果园需支付每1000个苹果5元的分拣费.分别估计并比较两种方案下果园销售10000个苹果的收入.题型八：标准差与方差的应用【方法技巧与总结】（实际应用中标准差、方差的意义）在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，稳定性越高．例22．（2023·全国·高一专题练习）为调查家庭人口数，从某小区抽取了263户家庭，人口数表示如下：家庭人口数12345678910家庭数20294850463619843求该样本的平均数，中位数，方差和标准差．（精确到0.01）例23．（2023·全国·高一专题练习）从某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组频数62638228(1)根据上表补全所示的频率分布直方图；(2)估计这种产品质量指标值的平均数、方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）及中位数（保留一位小数）；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？例24．（2023·全国·高一专题练习）某工厂生产三种纪念品，每种产品都分精品型和普通型两种，某一天的产量如下表（单位：个）纪念品A纪念品B纪念品C精品型100150n普通型300450600现采用分层抽样的方法在这一天生产的纪念品中抽取200个，其中有A种纪念品40个．(1)求n的值；(2)从B中精品型纪念品中抽取5个，某种指标的数值如下：x，y，10，11，9，把这5个数据看做一个总体，其均值为10、方差为2，求的值．变式14．（2023·高一课时练习）在高三数学联赛中，参赛的100名学生做10个题目，正确个数如下：正确题数012345678910人数132581118261574求：(1)人均正确答题数；(2)每人正确答题数的中位数；(3)每人正确答题数的方差．变式15．（2023·高一课时练习）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：质量指标值分组频数62638228(1)在下表中作出这些数据的频率分布直方图；(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(3)已知在这些数据中，质量指标值落在区间内的产品的质量指标值的平均数为94，方差为40，所有这100件产品的质量指标值的平均数为100，方差为202，求质量指标值在区间内的产品的质量指标值的方差．变式16．（2023·高一课时练习）某教育集团为了办好人民满意的教育，每年底都随机邀请名学生家长代表对集团内甲、乙两所学校进行人民满意度的民主测评满意度最高分分，最低分分，分数越高说明人民满意度越高，分数越低说明人民满意度越低去年测评的结果单位：分如下甲校：，，，，，，，乙校：，，，，，，，(1)分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的平均数、中位数(2)分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的方差式19．（2023·高一课时练习）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，，，并整理得到如下频率分布直方图：(1)已知样本中分数在的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数；(2)试估计测评成绩的第三四分位数；(3)已知样本中男生与女生的比例是3：1，男生样本的均值为70，方差为10，女生样本的均值为80，方差为12，请计算出总体的方差.变式17．（2023·高一课时练习）在一个文艺比赛中,由10名专业评审、10名媒体评审和10名大众评审各组成一个评委小组,给参赛选手打分.打分均采用100分制,下面是三组评委对选手小明的打分:小组A85918793888497949586小组B84879296899592919490小组C95899596979392908994(1)选择一个可以度量每一组评委打分相似性的量,并对每组评委的打分计算度量值;(2)你能依据(1)的度量值判断小组A,B与C中哪一个更象是由专业人士组成的吗？(3)已知选手小华专业评审得分的平均数和方差分别为,,媒体评审得分的平均数和方差分别为,,大众评审得分的平均数和方差分别为,,将这30名评审的平均分作为最终得分,求该选手最终的得分和方差.变式18．（2023·高一课时练习）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，…，，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中a的值；(2)求样本成绩的第75百分位数；(3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.题型九：用样本平均数和样本标准差估计总体【方法技巧与总结】（用样本平均数和样本标准差估计总体注意事项）（1）标准差代表数据的离散程度，考虑数据范围时需要加减标准差．（2）计算样本平均数、样本方差直接利用公式，注意公式的变形和整体代换．例25．（2023·全国·高一专题练习）老师安排小明和小红各自独立调查本校学生的身高情况．小红随机选取了60名学生进行调查，小明随机选取了20名学生进行调查．回答下列问题，并说明理由：(1)小明和小红所得到的样本的平均身高是否一定相同？如果不同，哪组样本的平均身高可能更接近学校总体学生的平均身高？(2)小明和小红所得到的样本的标准差是否一定相同？如果不同，哪组样本的标准差可能更大？例26．（2023·全国·高一专题练习）检查甲、乙两厂的100瓦电灯泡的生产质量，分别抽取20只灯泡，检查结果如下：瓦数949698100102104106甲厂个数0368201乙厂个数1274321(1)请计算甲、乙两厂灯泡瓦数的总体均值的估计值；(2)请计算甲、乙两厂所抽取灯泡瓦数的标准差；（精确到0.01）(3)哪个厂的生产情况较稳定？例27．（2023·高一课时练习）某中学数学组积极研讨网上教学策略，决定先采取甲、乙两套方案教学，并对分别采取两套方案教学的班级进行了次测试，成绩统计结果如图所示．(1)请填写下表（要求写出计算过程）：平均数方差甲乙(2)从下列三个不同的角度对这次方案选择的结果进行分析：①从平均数和方差相结合看（分析哪种方案的成绩更好）；②从折线图上两种方案的走势看（分析哪种方案更有潜力）．变式19．（2023·甘肃酒泉·高一校考阶段练习）甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环).甲108999乙1010799如果甲、乙两人只有1人入选，你认为应如何选择？变式20．（2023·辽宁鞍山·高一统考期末）在一个文艺比赛中，由8名专业人士和8名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分．下面是两组评委对同一名选手的打分：小组A4245504749535147小组B5336714946656258(1)做出两组评委打分的茎叶图；(2)每一个小组内评委打分的相似程度是不同的，我们可以用方差来进行刻画．请计算每一组数据中的方差；(3)你能根据方差判断出小组A与小组B中哪一个更像是由专业人士组成的吗？请说明理由．【同步练习】一、单选题1．（2023·江西·高三校联考阶段练习）已知一组数据的方差为1，则数据的方差为（

）A．3 B．1 C． D．2．（2023·天津·校联考一模）某校1000名学生参加环保知识竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（

）A．频率分布直方图中的值为0.004B．估计这20名学生考试成绩的第60百分位数为75C．估计这20名学生数学考试成绩的众数为80D．估计总体中成绩落在内的学生人数为1503．（2023·全国·高三专题练习）已知两组数据和的中位数､方差均相同，则两组数据合并为一组数据后，（

）A．中位数一定不变，方差可能变大B．中位数一定不变，方差可能变小C．中位数可能改变，方差可能变大D．中位数可能改变，方差可能变小4．（2023·陕西·校联考模拟预测）随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分，某地旅游部门从2022年到该地旅游的游客中随机抽取10000位游客进行调查，得到各年龄段游客的人数和旅游方式，如图所示，则下列说法不正确的是（

）A．估计2022年到该地旅游的游客中中年人和青年人占游客总人数的80%B．估计2022年到该地旅游的游客中选择自助游的游客占游客总人数的26.25%C．估计2022年到该地旅游且选择自助游的游客中青年人超过一半D．估计2022年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人比到该地旅游的老年人还要多5．（2023·全国·高三专题练习）一组互不相等的样本数据：，…，，，其平均数为，方差为，极差为m，中位数为t，去掉其中的最小值和最大值后，余下数据的平均数为，方差为，极差为，中位数为，则下列结论不一定正确的是(

)A． B． C． D．6．（2023·广西北海·高一统考期末）“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取7位小区居民，他们的幸福感指数分别为5，6，7，8，9，5，4，则这组数据的第60百分位数是（

）A．7 B．7.5 C．8 D．97．（2023·四川广安·高二广安二中校考阶段练习）关于用统计方法获取、分析数据，下列结论错误的是（

）A．质检机构为检测一大型超市某商品的质量情况，合理的调查方式为抽样调查B．若甲､乙两组数据的标准差满足，则可以估计甲比乙更稳定C．若数据的平均数为，则数据的平均数为D．为了解高一学生的视力情况，现有高一男生200人，女生400人，按性别进行分层抽样，样本量按比例分配，若从女生中抽取的样本量为80，则男生样本容量为608．（2023·全国·高一专题练习）设有n个样本，，…，，其标准差是，另有n个样本，，…，，且，其标准差为，则下列关系中正确的是（

）A． B．C． D．二、多选题9．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）从某加工厂生产的产品中抽取200件作为样本，将它们进行某项质量指标值测量，并把测量结果x用频率分布直方图进行统计（如图）.若同一组中数据用该组区间的中点值作代表，则关于该样本的下列统计量的叙述正确的是（

）A．指标值在区间的产品约有48件B．指标值的平均数的估计值是200C．指标值的第60百分位数是200D．指标值的方差估计值是15010．（2023·全国·模拟预测）为了加强学生对党的二十大精神的学习，某大学开展了形式灵活的学习活动．随后组织该校大一学生参加二十大知识测试（满分：100分），随机抽取200名学生的测试成绩，这200名学生的成绩都在区间内，将其分成5组：，，，，，得到如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，视频率为概率，同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，则（

）A．该校学生测试成绩不低于76分的学生比例估计为76%B．该校学生测试成绩的中位数估计值为80C．该校学生测试成绩的平均数大于学生测试成绩的众数D．从该校学生中随机抽取2人，则这2人的成绩不低于84分的概率估计值为0.1611．（2023·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考阶段练习）冬春季节，人们容易感冒发热.若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作，有专业机构认为某地区在一段时间内没有发生大规模群体发热现象的标志为“连续10天，该地区每天新增疑似发热病例不超过7人”.下列连续10天疑似发热病例人数的统计特征数中，能判定该地没有发生群体性发热的为（

）A．总体平均数为2，总体标准差为B．总体平均数为4，总体方差为C．总体平均数为3，中位数为4D．总体平均数为2，第65百分位数为512．（2023·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）统计学是源自对国家的资料进行分析，也就是“研究国家的科学”．一般认为其学理研究始于希腊的亚里士多德时代，迄今已有两千三百多年的历史．在两千多年的发展过程中，将社会经济现象量化的方法是近代统计学的重要特征．为此，统计学有了自己研究问题的参数，比如：均值、中位数、众数、标准差．一组数据：）记其均值为，中位数为，标准差为，则（

）A．B．C．新数据：的标准差为D．新数据：的标准差为三、填空题13．（2023·上海黄浦·高二格致中学校考阶段练习）某表演赛评分（两位数）如茎叶图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为___________.788555789414．（2023·四川成都·高二成都七中校考阶段