数学学案：课堂导学待定系数法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、待定系数法求二次函数的解析式【例1】根据下列条件求二次函数解析式.(1)该二次函数的图象过(0，1）、(1,—3)、(-1，3)三点；（2)该二次函数的图象过点(1,4)，且与x轴的交点为（—1，0)和（3,0）;(3)该二次函数的图象顶点为（1，4),与x轴交于（-1，0)点。思路分析：(1）已知二次函数图象上的三点坐标,可设一般式.(2）已知二次函数的图象与x轴的交点，可设零点式.(3)已知二次函数图象的顶点，可设顶点式。解：(1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，则解之，得a=—1,b=-3，c=1，即所求二次函数为y=—x2-3x+1.(2）设二次函数的解析式为y=a(x+1)（x-3)。又∵图象过点(1，4），∴4=a2×(-2）a=-1,即所求二次函数解析式为y=-x2+2x+3。(3）设所求二次函数为y=a（x-1）2+4.又∵图象过（-1，0)，∴0=a(—1-1)2+4a=—1，即所求二次函数的解析式为y=-x2+2x+3.二、待定系数法求一般函数的解析式【例2】f(x）=ax2+a2x+2b-a3,当x∈（-2,6）时，f（x)>0；当x∈（—∞，-2）∪(6,+∞)时，f（x）<0。求a、b及f(x)。思路分析:二次函数的零点是函数值大于0和小于0的分界点。先根据题目条件,把二次函数的零点求出来。解:当a=0时，显然不符合题设条件，故a≠0，于是可由题设条件画出f(x)的草图，如右图所示.由图知x=-2和x=6是方程ax2+a2x+2b—a3=0的两根，且a〈0，利用一元二次方程的根与系数的关系，得解之,得∴f（x）=—4x2+16x+48。温馨提示注意二次函数与二次不等式之间的关系。三、用待定系数法解带参变量的函数问题【例3】已知a、b为常数，若f(x）=x2+4x+3,f(ax+b）=x2+10x+24，则5a-b=_____。思路分析：利用待定系数法及代数恒等式性质，求出f（ax+b），再根据恒等式性质建立a、b的方程求解.解：∵f（x）=x2+4x+3，∴f（ax+b)=（ax+b)2+4(ax+b)+3=a2x2+（2ab+4a)x+b2+4b+3.又f(ax+b)=x2+10x+24，∴解之,得或∴5a—b=2。答案：2各个击破类题演练1设二次函数f（x)满足f（x+2）=f（2—x）,且f(x）=0的两实数根平方和为10，图象过点(0，3),求f(x）的解析式。解析:设f(x)=ax2+bx+c（a≠0）,由f(x+2）=f（2-x）知该函数的图象关于直线x=2对称.∴=2,即b=—4a.①又图象过点（0，3)，∴c=3。②又x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=()2=10.∴b2-2ac=10a2。③解①②③，得a=1，b=-4，c=3,故f（x)=x2—4x+3.变式提升1若f{f［f（x)］}=27x+26,求一次函数f(x）的解析式.解析：设f（x）=ax+b,f[f(x)］=a2x+ab+b,f{f［f（x）］}=a(a2x+ab+b)+b=a3x+a2b+ab+b，∴解之,得a=3,b=2，则f(x）=3x+2.类题演练2二次不等式ax2+bx+2>0的解集是（-,)，则a+b的值是（）A.10B.—10C。14解析：令f（x）=ax2+bx+2。由题意-、是f(x）=0的两根，∴解之，得∴a+b=-14.答案：D变式提升2设函数f(x）=若f(—4)=f（0)，f（—2）=2,则关于x的方程f（x)=x的解的个数为（)A.1B.2解析:由题意,得b=4，c=6.当x〈0时,有x2+4x+6=x,方程无解；当x>0时,x=2。答案：A类题演练3若函数f（x)=的图象的对称中心为（3,1）,则实数a的值为_______.思路分析：反比例函数图象的对称中心是原点,可利用坐标轴或图象的平移求出f(x）的对称中心.解：f(x)=1+,∴y—1=。∴中心即为(1-a，1).∴令1—a=3a=—2.答案:-2变式提升3函