专题10数列综合题-2022年新高考之湖南模拟题分类汇编（原卷版）

专题10数列综合题1．（2021•湖南模拟）已知数列的前项和为，满足，．（1）求证：数列是等差数列；（2）若数列的公差不为0，数列中的部分项组成数列，，，，，恰为等比数列，其中，，，求数列的通项公式．2．（2021•湖南模拟）已知正项数列的首项，其前项和为，且与的等比中项是．（1）证明：是等差数列，并求数列的通项公式；（2）数列满足，其前项和为，求使得的的取值范围．3．（2021•湖南模拟）已知是等差数列，其前项和为，若，，成等比数列且，．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，，恒成立，求实数的取值范围．4．（2021•湖南模拟）已知正项数列的前项和为，．（1）证明：数列是等差数列．（2）若，求数列的前项和为．5．（2021•湖南模拟）已知是数列的前项和，，，．（1）证明：数列是等比数列；（2）求．6．（2021•永州二模）给定三个条件：①，，成等比数列，②，③，从上述三个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．问题：设公差不为零的等差数列的前项和为，且，（1）求数列的通项：（2）若，数列的前项和，求证：．7．（2021•湖南模拟）已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足，若数列满足，，且等式对任意成立．（1）求数列的通项公式；（2）将数列与的项相间排列构成新数列，，，，，，，，设该新数列为，求数列的通项公式和前项的和；（3）对于（2）中的数列前项和，若对任意都成立，求实数的取值范围．8．（2021•湖南模拟）已知数列的前项和满足．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）数列的前项和是，若存在，使得成立，求实数的取值范围．9．（2021•湖南模拟）记为等差数列的前项和，已知，从以下三个条件中任选其中一个①；②；③．（1）求公差及的通项公式；（2）求．10．（2021•岳阳一模）已知数列满足，且点，在函数的图象上．（1）求证：是等比数列，并求的通项公式：（2）若，数列的前项和为，求证：．11．（2021•开福区校级一模）设等比数列的前项和为，已知，且，，成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和．12．（2021•益阳模拟）已知等差数列中，，，等比数列中，，．（1）求，的通项公式；（2）令，求数列的前项和．13．（2021•新邵县模拟）在①，②，③这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并给出解答，已知数列的前项和为，满足___，___；又知正项等差数列满足，且，，成等比数列．（1）求和的通项公式；（2）若，求数列的前项和．14．（2021•湖南模拟）已知数列的前项和为．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．15．（2021•常德一模）已知数列的首项为，是的前项和．（Ⅰ）若．求数列的通项；（Ⅱ）若，证明：．16．（2021•衡阳一模）已知数列满足，．（1）证明：数列为等差数列；（2）求数列的前项和．17．（2021•长沙模拟）在①等差数列满足，；②数列的前项和为；③公差不为0的等差数列的首项，且，，成等比数列这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．问题：已知数列满足，且_______．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）若数列满是，求证：数列的前项和．18．（2021•湖南模拟）在正项数列中，，，且．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．19．（2021•湖南模拟）若数列的前项和，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．20．（2021•娄底模拟）设数列的前项和为，已知．（1）求数列的通项公式；（2）已知数列满足，求数列的前项和．21．（2021•湖南模拟）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．问题：设是数列的前项和，且，______，求的通项公式，并判断是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．22．（2021•郴州模拟）已知数列的首项，前项和为，且数列是以1为公差的等差数列．（1）求数列的前项和；（2）设等比数列的首项为2，公比为，其前项和为，若存在正整数，使得是与的等比中项，求的值．23．（2021•湖南模拟）设数列的前项和为，且．数列，．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．24．（2021•雨花区校级二模）已知数列中，，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和．25．（2021•天心区校级模拟）已知递增等差数列满足，，数列满足，．（Ⅰ）求的前项和；（Ⅱ）若，求数列的通项公式．26．（2021•湖南模拟）设数列的前项和为，若满足，且．（1）证明：数列是等比数列；（2）判断数列的前项和与的大小关系，并说明理由．27．（2021•湖南模拟）在数列中，，．（1）求的通项公式；（2）在下列两个问题中任选一个作答，如果两个都作答，则按第一个解答计分．①设，数列的前项和为，证明：．②设，求数列的前项和．28．（2021•湖南模拟）已知数列的前项和，数列满足，．（1）求数列与数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和．29．（2021•衡阳二模）已知数列满足．（1）可否从数列中抽取四项，使之成等比数列或等差数列？若