《应用数值分析》课件数值分析2.1-2.2 引言、拉格朗日插值法

第二章插值法2.1引言2.2Lagrange插值法2.3Newton插值法2.4Hermite插值法2.5分段低次插值法2.6样条插值法2.7二元函数插值方法一维插值二维插值函数解析式未知,通过实验观测得到的一组数据,即在某个区间[a,b]上给出一系列点的函数值

yi=f(xi)或者给出函数表y=f(x)xx0x1x2…xnyy0y1y2…yn

求解：y=f(x)

在[a,b]上任一点处函数值的近似值？2.1引言引例机翼下轮廓线

求机翼下轮廓线上一点的近似值

插值法(本章)

拟合法(下一章)就是考虑到数据不一定准确，不要求近似表达式经过所有的点

，而只要求在给定的

上误差

（i=0，1，…n）按某种标准最小。若记δ=(δ1,

δ2,…,δn

)T，就是要求向量δ的范数||δ||最小。

根据f

(x)在n+1个已知点的值，求一个足够光滑又比较简单的函数p(x)作为f(x)的近似表达式，插值法然后计算p(x)在[a,b]上点x处的函数值作为原来函数f

(x)在此点函数值的近似值。代数多项式、三角多项式、有理函数或样条函数解决思路

(1.2)式称为插值条件，x2<⋯<xn≤

b点上的值y0,y1,⋯,yn.

若存在一简单函数p(x),使得

p(xi)=yi

i=0,1,2,

⋯,n

(1.2)

1、定义f(

x

)称为被插函数，[a,b]称为插值区间，称为插值节点，求p

(

x

)

的方法就是插值法。设函数f(x)在[a,b]上有定义，且已知在a

≤

x0

<

x1<成立,则称p(x)为

f(x)的插值函数。近似计算f(x)的值、零点、极值点、导数、积分，插值函数p(x)在n+1个互异插值节点xi(i=0,1,…,n)处与f(xi)相等,在其它点x就用p(x)的值作为f(x)的近似值。这一过程称为插值，点x称为插值点。换句话说,插值就是根据被插函数给出的函数表“插出”所要点的函数值。用p(x)的值作为f(x)的近似值,不仅希望p(x)能较好地逼近f(x),而且还希望它计算简单。最常用的插值函数是…?代数多项式用代数多项式作插值函数的插值称为多项式插值本章主要讨论的内容插值函数的类型有很多种插值问题插值法插值函数分段函数…三角多项式多项式和分段多项式计算简单，在工程计算中使用最多.x0x1x2x3x4

xf(x)p(x)从几何上看曲线P

(

x)

近似f

(

x)研究问题：（1）满足插值条件的P

(

x)

是否存在唯一？（2）若满足插值条件的P

(

x)

存在，如何构造P

(

x)？（3）如何估计用P

(

x)近似替代f

(

x)产生的误差？多项式插值存在？唯一？范德蒙行列式定理1.1.1(存在唯一性)：已知函数在上的则存在唯一的插值多项式

使得

个互异节点处的函数值注1：只要n+1个节点互异，满足插值条件的n次插值多项式是唯一存在的。注2：如果不限制多项式的次数，插值多项式不唯一或不存在。基本思想：在n次多项式空间Pn中找一组合适的基函数

0(x),

1(x),…,

n

(x),使pn(x)=a0

0(x)

+a1

1(x)

+…+an

n（x)不同的基函数的选取导致不同的插值方法Lagrange插值Newton插值存在唯一性说明，满足插值条件的多项式存在，并且插值多项式与构造方法无关。待定系数法：直接求解方程组的方法，计算复杂，工作量大。2.2.1线性插值（n=1，一次插值）求解L1(x)=a1x+a0使得L1(xi)

=yi.(i=0,1)点斜式2.2拉格朗日插值法已知令点斜式则称为节点上的线性插值基函数。为f(x)的线性插值函数。节点上的线性插值基函数：只与节点有关L1(x)是两个线性函数的线性组合2.2.2抛物线插值（n=2，二次插值）求解L2(x)=a2x2+a1

x+a0使得L2(xi)=yi,i=0,1,2.已知仿照线性插值函数的构造方法抛物插值满足其中要求均为二次多项式。设即由求构造L2(x)是三个二次函数的线性组合故同理插值多项式抛物插值多项式的求法抛物插值多项式例1求抛物插值函数，并求x=1.5处值。已知的函数表解：Joseph-LouisLagrange1736~1813法国数学家、物理学家

分析其中满足2.2.3n次插值（拉格朗日插值多项式）多项式可使用上述类似方法。由组不同数据构造次上述多项式称为n次拉格朗日插值多项式。先求插值基函数然后构造插值多项式定理1（Lagrange）插值多项式通常次数=n

,但特殊情形次数可<n

,如：过三点的二次插值多项式x0x1xixi+1xn-1xny=f(x)y=L(x)ab在插值区间

a,b上用插值多项式L(x)近似代替f(x),除了在插值节点xi上没有误差外，在其它点上一般是存在误差的。若记R(x)=f(x)–

L(x),则R(x)就是用L(x)近似代替f(x)时的截断误差,或称插值余项.我们可根据后面的定理来估计它的大小.2.2.4

插值余项和误差估计设f(x)

在[a,b]有n+1阶导数，则满足插值条件的n次定理2插值项式对任意，有插值余项且依赖于.其中证明：插值余项和误差估计注意余项表达式仅当

存在时才能应用，且是唯一的。

在(

a

,

b

)内的具体位置通常不能给出。若

,则截断误差限

n次插值多项式对次数不高于n次的多项式完全精确。若f(x)为次数不高于n次的多项式,从而Rn(x)=0.则f(n+1)(ξ)=0,

y0

xxk

xk+1

①线性插值：•

n=1,2时的插值余项：y0x②