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第5章线性方程组的数值解法§5.3Gauss消元法

用消元法解方程组

第2步.解

第1步.得等价的三角形方程组解为上述过程相当于例1

其中表示矩阵的第行.1)消元过程2024/11/23线性方程组的直接解法11Gauss消去法算法消元计算forforfor回代求解for2024/11/23线性方程组的直接解法12计算量/*AmountofComputation*/由于计算机中乘除/*multiplications/divisions*/

运算的时间远远超过加减/*additions/subtractions*/

运算的时间，故估计某种算法的运算量时，往往只估计乘除的次数，而且通常以乘除次数的最高次幂为运算量的数量级。

GaussianElimination:Stepk：设，计算因子且计算共进行n

1步(n

k)次(n

k)2

次(n

k)次(n

k)(n

k+2)次消元乘除次数：1次(n

i+1)次回代乘除次数：2024/11/23线性方程组的直接解法13计算量/*AmountofComputation*/由于计算机中乘除/*multiplications/divisions*/

运算的时间远远超过加减/*additions/subtractions*/

运算的时间，故估计某种算法的运算量时，往往只估计乘除的次数，而且通常以乘除次数的最高次幂为运算量的数量级。

GaussianElimination:Stepk：设，计算因子且计算共进行n

1步(n

k)(n

k+2)次消元乘除次数：回代乘除次数：GaussianElimination的总乘除次数为，运算量为级。n=20时,顺序Gauss消去法需3060次乘除法运算.

定理1

设其中

(1)

如果将约化为等价的三角形方程组则可通过高斯消去法

(2)如果为非奇异矩阵，则可通过高斯消去法(及交换两行的初等变换)将方程组约化为？矩阵在什么条件下才能保证归纳法当时，成立.设时结论成立，即证明:充分性.且有可用高斯消去法将约化到，有即定理2

约化的主元素的充要条件是矩阵的顺序主子式即

由假设推出必要性.

例2

求解方程组用4位浮点数进行计算.精确解舍入到4位有效数字为

解法1

用高斯消去法计算解显然计算解是一个很坏的结果，不能作为方程组的近似解.原因：

在消元计算时用了小主元0.001，使得约化后的方程组元素数量级大大增长，经再舍入使得计算时发生了严重的相消情况，因此经消元后得到的三角形方程组就不准确了.解法2计算解为

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