第03讲利用函数的奇偶性周期性和单调性求解函数问题（十种题型）-冲刺2023年高考数学热点重难点题型解题方法与策略真题演练（新高考专用）（原卷版）

第03讲利用函数的奇偶性、周期性和单调性求解函数问题（十种题型）【热点、重难点解题方法与策略】一．函数单调性的性质与判断【知识点的认识】一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．【解题方法点拨】证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．利用函数的导数证明函数单调性的步骤：第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．第六步：明确规范地表述结论【命题方向】从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．二．函数奇偶性的性质与判断【知识点的认识】①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（）A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶D．与p有关解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），所以f（x）是奇函数．故选B．【命题方向】函数奇偶性的应用．本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．三．奇偶性与单调性的综合【知识点的认识】对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质①奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】参照奇偶函数的性质那一考点，有：①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反例题：如果f（x）＝为奇函数，那么a＝．解：由题意可知，f（x）的定义域为R，由奇函数的性质可知，f（x）＝＝﹣f（﹣x）⇒a＝1【命题方向】奇偶性与单调性的综合．不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总结，一定要重视这一个知识点．四．函数的周期性【知识点的认识】函数的周期性定义为若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x）＝f（x+T）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期．常函数为周期函数，但无最小正周期，其周期为任意实数．【解题方法点拨】周期函数一般和偶函数，函数的对称性以及它的图象相结合，考查的内容比较丰富．①求最小正周期的解法，尽量重复的按照所给的式子多写几个，例：求f（x）＝的最小正周期．解：由题意可知，f（x+2）＝＝f（x﹣2）⇒T＝4②与对称函数或者偶函数相结合求函数与x轴的交点个数．如已知函数在某个小区间与x轴有n个交点，求函数在更大的区间与x轴的交点个数．思路：第一，这一般是个周期函数，所以先求出周期T；第二，结合函数图象判断交点个数；第三，注意端点的值．【命题方向】周期函数、奇偶函数都是高考的常考点，学习是要善于总结并进行归类，灵活运用解题的基本方法，为了高考将仍然以小题为主．【热点、重难点题型】题型一：利用函数奇偶性求参数值一、单选题1．（2022·河南·项城市第三高级中学高三期中）若函数为奇函数，则（

）A． B． C．1 D．22．（2022·黑龙江·哈尔滨七十三中高三阶段练习）已知函数，则“函数为偶函数”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2022·山西忻州·高三阶段练习）已知函数的最大值与最小值之和为6，则实数a的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题4．（2022·全国·高三专题练习）若函数，为奇函数，则参数a的值为___________．5．（2022·江西·修水中等专业学校高三阶段练习）若二次函数为偶函数，则_______．三、解答题6．（2022·山西太原·高三期中）已知是偶函数．(1)求实数k的值；(2)求不等式的解集．7．（2022·上海市嘉定区安亭高级中学高三期中）已知函数为奇函数(1)求的值，判断并证明在其定义域上的单调性；(2)若关于的不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围．8．（2022·上海市控江中学高三阶段练习）对于两个定义域相同的函数，若存在实数使，则称函数是由“函数”生成的.(1)若和生成一个偶函数，求的值；(2)若是由函数且生成，求的取值范围.9．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，且的图象关于坐标原点成中心对称.(1)求实数的值；(2)若在y轴的右侧函数的图象始终在的图象上方，求实数的取值范围.10．（2022·上海市延安中学高三期中）已知，，其中，且函数为奇函数；(1)若函数的图像过点A（1，1），求实数m和n的值；(2)当时，不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围；(3)设函数，若对任意，总存在唯一的使得成立，求实数m的取值范围；题型二：利用函数奇偶性解抽象函数不等式一、单选题1．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习（理））已知是偶函数，是奇函数，定义域均为，二者在上的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．2．（2022·广东·高三阶段练习）已知是定义在上的偶函数，在上是增函数，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．3．（2023·全国·高三专题练习）函数在单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（2022·安徽省亳州市第一中学高三阶段练习）已知函数的定义域为，对定义域内任意，都有，且当时，，则不等式的解集为（

）A．B．C．D．5．（2022·上海·上外附中高三阶段练习）已知定义在上的奇函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．6．（2022·云南·高三阶段练习）已知函数，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．7．（2023·全国·高三专题练习）已知偶函数在上单调递减，若，则满足的x的取值范围是（

）A． B．C． D．8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数为偶函数，且当时，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．二、多选题9．（2022·浙江·高三开学考试）已知是定义在上的奇函数，当时，恒成立，则（

）A．在上单调递增B．在上单调递减C．D．三、填空题10．（2022·上海·同济大学第一附属中学高三阶段练习）设奇函数在上严格递增，且，则不等式的解集为___________.11．（2022·江西·萍乡市第二中学高三阶段练习（理））已知函数是定义域为的奇函数，当时，，且，则不等式的解集为___________.12．（2022·山西太原·高三期中）已知定义在上的函数满足，且是的导函数，当时，，则不等式的解集为________．四、解答题13．（2022·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习（理））已知函数是定义在上的偶函数，当时，是一个二次函数的一部分，其图象如图所示．(1)求在上的解析式；(2)若函数，，求的最大值．14．（2022·浙江·东阳市横店高级中学高三阶段练习）已知函数的定义域为，满足且.(1)求函数的解析式；(2)解不等式.15．（2022·全国·高三专题练习）已知定义域为的函数为奇函数．(1)求的值；(2)，恒成立，求的取值范围．16．（2022·山东·汶上圣泽中学高三阶段练习）定义在上的函数满足下面三个条件：①对任意正数，都有；②当时，；③(1)求和的值；(2)试用单调性定义证明：函数在上是减函数；(3)求满足的的取值集合．题型三：构造奇偶函数求函数值一、单选题1．（2022·四川成都·模拟预测（理））函数在上的最大值与最小值的和为（

）A．2 B．2C．4 D．62．（2022·河南·偃师市缑第四中学高三阶段练习（理））已知函数，若，则（

）A．2 B．1 C．－2 D．－53．（2022·江西南昌·模拟预测（理））设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（

）A． B． C． D．4．（2022·陕西·铜川市耀州中学模拟预测（理））已知正方形的四个顶点都在函数图象上，且函数图象上的点都满足，则这样的正方形最多有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、多选题5．（2022·江苏·姜堰中学高三阶段练习）下列命题中真命题有（

）A．已知，若与的夹角为锐角，则B．若定义域为R的函数f（x）是奇函数，函数f（x－1）为偶函数，则f（2）＝0C．复数z满足|z|2＝z2D．函数的最大值是5三、填空题6．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知（a，b为实数），，则______．7．（2022·福建·高三阶段练习）已知函数，若，则______.8．（2022·河南省淮阳中学模拟预测（理））已知函数，则在上的最大值与最小值之和为______．四、双空题9．（2021·河北省曲阳县第一高级中学高三阶段练习）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.（1）请写出一个图象关于点成中心对称的函数解析___________；（2）利用题目中的推广结论，则函数图象的对称中心坐标是___________.五、解答题10．（2022·上海市杨浦高级中学高三开学考试）对于两个定义域相同的函数和，若存在实数m、n使，则称函数是由“基函数和”生成的．(1)若和生成一个偶函数，求的值；(2)若由函数（，且）生成，求的取值范围：(3)试利用“基函数和”生成一个函数，使之满足下列条件：①是偶函数；②有最小值1．求函数的解析式并进一步研究该函数的单调性．（无需证明）11．（2020·全国·高三专题练习）已知幂函数的图象过(2，).（1）求m的值与函数的定义域；（2）已知，求的值.题型四：奇偶性与周期性综合问题一、解答题1．（2021·全国·高三专题练习）设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有，当时，，当时，求的解析式．2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，且它的图象关于直线对称.(1)求证：是周期为4的周期函数；(2)若，求时，函数的解析式.3．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知是定义在上的偶函数，且.(1)求的解析式；(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)设，若存在，对任意的，都有，求实数的取值范围.4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．（1）若满足为R上奇函数且为R上偶函数，求的值；（2）若函数满足对恒成立，函数，求证：函数是周期函数，并写出的一个正周期；（3）对于函数，，若对恒成立，则称函数是“广义周期函数”，是其一个广义周期，若二次函数的广义周期为（不恒成立），试利用广义周期函数定义证明：对任意的，，成立的充要条件是．5．（2022·上海·高三专题练习）函数，其中是定义在上的周期函数，，为常数（1），讨论的奇偶性，并说明理由；（2）求证:“为奇函数“的一个必要非充分条件是”的图象有异于原点的对称中心”（3），在上的最大值为，求的最小值.题型五：单调性与奇偶性综合问题一、解答题1．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知对任意两个实数a，b，定义，设函数，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且．(1)求函数的最小值；(2)若不等式对任意实数t恒成立，求非零实数m的取值范围．2．（2022·湖北·枣阳一中高三期中）已知函数的定义域为R，且．(1)判断的奇偶性及在上的单调性，并分别用定义进行证明；(2)若对，恒成立，求实数a的取值范围．3．（2022·江苏镇江·高三期中）已知函数是定义在上的奇函数.(1)求函数的解析式，判断函数在定义域上的单调性并证明；(2)令，若对，使得，求实数的取值范围.4．（2022·广东实验中学高三阶段练习）已知函数对任意实数恒有，当时，，且(1)判断的奇偶性；(2)求函数在区间上的最大值；(3)若恒成立，求实数的取值范围.5．（2022·上海南汇中学高三期中）欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数.(1)已知，，判断和是不是倒函数，并说明理由；(2)若是上的倒函数，当时，，方程是否有正整数解？并说明理由；(3)若是上的倒函数，其函数值恒大于，且在上是严格增函数.记，证明：是的充要条件.6．（2020·全国·高三专题练习（理））设是偶函数，且当时，（1）当时，求的解析式；（2）设函数在区间上的最大值为，试求的表达式；（3）若方程有四个不同的实根，且它们成等差数列，试探求与满足的条件．题型六：对称性与奇偶性综合问题一、解答题1．（2020·全国·高三专题练习）已知函数是奇函数，当时，有最小值，其中且.（1）试求函数的解析式；（2）问函数图象上是否存在关于点对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.2．（2020·上海·高三专题练习）以下给出两种求函数图像对称中心的方法：①利用奇函数图像关于原点对称这一性质，再结合图像的变换可得．例如，函数，的对称中心为．而的对称中心为；②利用结论：函数的图像有对称中心的充要条件是对定义域中的任何一个x，均有．请你根据以上提供的方法，解下列各题．（1）求函数的对称中心；（2）判断命题：“若，的定义域都为，且都关于点对称，则也关于点对称”的真假，并说明理由；（3）问是否有对称中心？若有，求出其对称中心；若没有，说明理由．题型七：对称性、周期性与奇偶性综合问题一、解答题1．（2022·福建省厦门第二中学高三阶段练习）已知函数是R上的奇函数，且的图象关于直线对称，当时，.(1)求的最小正周期，并用函数的周期性的定义证明；(2)当时，求的解析式；(3)计算的值．2．（2022·全国·高三专题练习）记，其中，已知是函数的极值点.(1)求实数a的值；(2)的表达式展开可以得到，求的值.(3)设函数定义域为R，且函数和函数都是偶函数，若，求的值3．（2022·全国·高三专题练习）定义在R上的函数f（x）同时满足f（﹣x）＝f（x），f（x）＝f（4﹣x），且当2≤x≤6时，（Ⅰ）求函数f（x）的一个周期；（Ⅱ）若f（4）＝31，求m，n的值．4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，若存在常数和，对任意的，都有成立，则称函数为“拟线性函数”，其中数组称为函数的拟合系数.(1)数组是否是函数的拟合系数？(2)判断函数是否是“拟线性函数”，并说明理由；(3)若奇函数在区间上单调递增，且的图像关于点成中心对称（其中为常数），证明：是“拟线性函数”.5．（2020·全国·高三专题练习）已知是定义在上的函数，满足．（1）证明：2是函数的周期；（2）当，时，，求在，时的解析式，并写出在，时的解析式；（3）对于（2）中的函数，若关于的方程恰好有20个解，求实数的取值范围．题型八：定义法判断证明函数的奇偶性一、单选题1．（2022·湖北·仙桃市田家炳实验高级中学高三阶段练习）设函数，若，，，则（

）A． B．C． D．二、多选题2．（2022·江苏·徐州市第七中学高三阶段练习）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数称为狄利克雷函数，则关于狄利克雷函数，则正确的是（

）A．函数的值域是；B．任意一个非零有理数都是的周期；C．函数是偶函数；D．存在三个点，使得为等边三角形.三、填空题3．（2022·浙江绍兴·一模）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则的图象的对称中心为______.四、双空题4．（2022·北京铁路二中高三期中）已知函数.①的函数图象关于__________对称；②若存在唯一，满足，则____________.五、解答题5．（2022·上海大学附属南翔高级中学高三期中）已知函数．(1)若，解关于x的方程；(2)讨论的奇偶性，并说明理由；(3)若在上恒成立，求实数的取值范围．6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数,其中常数．(1)讨论函数的奇偶性,并说明理由;(2)中内角所对的边分别为,且,求当时,的面积．7．（2022·重庆市长寿中学校高三期中）已知函数．(1)判断的单调性和奇偶性并简答说明理由；(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围8．（2022·河北保定·高三阶段练习）已知函数满足.(1)讨论的奇偶性；(2)求函数在上的最小值.9．（2020·上海市奉贤中学高三阶段练习）若定义在上的函数满足：对于任意实数，总有恒成立，我们称为“类余弦型”函数.（1）已知为“类余弦型”，且，求和的值；（2）在（1）的条件下，定义数列（），求的值；（3）若为“类余弦型”，且对任意非零实数，总有，证明：①函数为偶函数；②设有理数满足，判断和的大小关系，并证明.题型九：定义法判断函数的单调性一、多选题1．（2022·浙江·绍兴鲁迅中学高三阶段练习）已知的定义域为，且对任意，有，且当时，，则（

）A． B．的图象关于点中心对称C．在上不单调 D．当时，二、解答题2．（2022·江苏泰州·高三期中）若函数满足，其中，且．(1)求函数的解析式；(2)判断并证明函数的单调性；(3)若，在时恒成立，求的取值范围．3．（2022·全国·高三专题练习）对于定义在R上的函数，若存在正数m与集合A，使得对任意的，当，且时，都有，则称函数具有性质．(1)若，判断是否具有性质，并说明理由；(2)若，且具有性质，求m的最大值；(3)若函数的图像是连续曲线，且当集合（a为正常数）时，具有性质，证明：是R上的单调函数．4．（2022·全国·高三专题练习）给定集合，为定义在D上的函数，当时，，且对任意，都有___________．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，补充在横线处，使存在且唯一确定．条件①：；条件②：；条件③：．解答下列问题：（1）写出和的值；（2）写出在上的单调区间；（3）设，写出的零点个数．题型十：利用周期性求函数值一、单选题1．（2022·江西省丰城中学高三开学考试（理））已知函数是定义在上的奇函数，满足.若，则（

）A． B． C． D．2．（2022·福建泉州·高三期中）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（

）A． B． C． D．3．（2022·广东汕头·高三期中）已知定义在上的函数，满足为奇函数且为偶函数