期末测试卷02高一数学讲义（人教A版2019）

20212022学年高一数学（下）期末自测试卷（乙）（时间120分钟，满分150分）选择题（18每小题5分，共计40分）1.已知复数，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用复数的乘方运算以及共轭复数的概念即可求解.【详解】，.故选：C2.已知向量，，若与共线，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据共线向量的坐标关系，求出，即可求解.【详解】，，与共线，.故选：C.【点睛】本题考查向量坐标运算，涉及共线向量、向量模长，属于基础题.3.幸福指数是某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度指标，常用内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高.现随机抽取8位小区居民，他们的幸福指数分别是3，4，5，6，7，8，9，5，则这组数据的第70百分位数是（

）A．6 B．7 C．7.5 D．8【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合百分位数的计算方法，即可求解.【详解】根据题意，把幸福指数从小到大排列为：3，4，5，5，6，7，8，9，由，知这组数据的第70百分位数是7.故选：B.4.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在的同学有人，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】结合样本容量的计算公式即可.【详解】由频率分布直方图可知，支出在的同学的频率为：，故选：5.已知，是两个不同平面，，是两不同直线，下列命题中不正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】C【解析】【分析】由线面垂直的判定定理、面面平行的判定定理、线面平行的性质定理，以长方体为载体逐一分析即可得出结论．【详解】对于A，若，则取内任意两条相交直线，使得，，又，则，，由线面垂直的判定定理得，故A正确；对于B，垂直于同一条直线的两个平面平行，故B正确；对于C，若，，如图，设，平面为平面，，设平面为平面，，则，故C错误；对于D，由面面垂直的判定定理可得，故D正确；故选：C．【点睛】思路点睛：本题主要考查线面平行的性质定理、面面平行的判定定理以及线面垂直的判定定理，通常借助长方体为载体进行判断，属于基础题．6.中，AB=4，BC=3，CA=2，则其最大内角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由三角形中大边对大角，知最大，结合余弦定理即可得到正确选项.【详解】由题意知，中，最大，故由余弦定理得：.故选：C.7.概率论起源于赌博问题．法国著名数学家布莱尔帕斯卡遇到两个赌徒向他提出的赌金分配问题：甲、乙两赌徒约定先赢满局者，可获得全部赌金法郎，当甲赢了局，乙赢了局，不再赌下去时，赌金如何分配？假设每局两人输赢的概率各占一半，每局输赢相互独立，那么赌金分配比较合理的是（

）A．甲法郎，乙法郎 B．甲法郎，乙法郎C．甲法郎，乙法郎 D．甲法郎，乙法郎【答案】A【解析】【分析】利用独立事件计算出甲、乙各自赢得赌金的概率，由此可求得两人各分配的金额.【详解】甲赢得法郎的概率为，乙赢得法郎的概率为，因此，这法郎中分配给甲法郎，分配给乙法郎.故选：A.8.如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝2a，E是AB的中点，将△ADE沿DE翻折至△A1DE的位置，使三棱锥A1﹣CDE的体积取得最大值，若此时三棱锥A1﹣CDE外接球的表面积为16π，则a＝（

）A．2 B． C． D．4【答案】A【解析】【分析】首先分析出何时三棱锥A1﹣CDE的体积取得最大值，然后作出图形，找到球心与半径，根据表面积列出方程，求解即可.【详解】当平面平面时，三棱锥A1﹣CDE的体积取得最大值，因为AB＝2AD＝2a，E是AB的中点，所以，，所以为等腰直角三角形，因此取的中点，连接，则，因为平面平面，且平面平面，所以平面，又平面，所以，又因为，所以为等腰直角三角形，因为，所以，故，所以，又由，所以为直角三角形，且，取的中点，连接，则有，即外接球的球心，则为球半径，所以，即.故选：A.多项选择题（912每小题5分，共计20分）9.已知两个平面垂直，下列命题错误的有（

）A．一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线B．一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面的无数条直线C．一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面D．过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面【答案】ACD【解析】【分析】利用平面和平面垂直的性质进行判断.【详解】一个平面内只有垂直交线的直线和另一平面垂直，才和另一个平面内的任意一条直线垂直，所以A,C错误；过一个平面内任意一点作交线的垂线，该垂线在平面内时，则此垂线必垂直于另一个平面，若点在交线上时，作交线的垂线，则垂线不一定在平面内，此垂线不一定垂直于另一个平面，所以D错误；因为另一个平面内有无数条平行直线垂直于该平面，都与该直线垂直，所以B正确.故选：ACD10.袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，下列结论正确的是（

）A．第一次摸到红球的概率为 B．第二次摸到红球的概率为C．两次都摸到红球的概率为 D．两次都摸到黄球的概率为【答案】ABC【解析】【分析】根据袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，利用古典概型和独立事件的概率求解.【详解】因为袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，所以第一次摸到红球的概率为，故A正确；若第一次摸到红球，则第二次摸到红球的概率为，若第一次摸到黄球，则第二次摸到红球的概率为，所以第二次摸到红球的概率为，故BC正确；两次都摸到黄球的概率为，故D错误，故选：ABC11.点P是所在平面内一点，满足，则的形状不可能是（

）A．钝角三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．等边三角形【答案】ACD【解析】【分析】由已知结合向量的线性表示及数量积的性质可得，进而可求．【详解】因为，，所以，两边同时平方得，故，即，则的形状为直角三角形．故选：ACD．12.在中，内角所对的边分别为，的面积为．下列与有关的结论，正确的是（

）A．若，，，则或B．若为锐角三角形，则C．若为的外接圆半径，则D．若，，则是直角三角形【答案】BD【解析】【分析】根据解三角形知识，对选项逐一判断【详解】对于A，由正弦定理得，解得，又，故，故A错误对于B，为锐角三角形，可知，则，故，故B正确对于C，由正弦定理得，故C错误对于D，，，由余弦定理得化简后得又由正弦定理化简得化简后得，可得，故D正确，故选：BD.填空题（1316每小题5分，共计20分）13.某工厂有，，三个车间，车间有600人，车间有500人.若通过比例分配的分层随机抽样方法得到一个样本量为30的样本，其中车间10人，则样本中车间的人数为________【答案】8【解析】【分析】根据题意，先确定分层抽样的抽样比，求出样本中车间的人数，进而可求出车间的人数.【详解】因为车间有500人，样本中车间10人，所以抽样比为，因此车间抽取的人数为，所以样本中车间的人数为.故答案为：.【点睛】本题主要考查分层抽样，属于基础题型.14.若是方程的一个根，则______.【答案】38【解析】【分析】假设另外一个根为，根据是实数，结合韦达定理，可得结果.【详解】假设另外一个根为，是方程的一个根，则

①由，可知是的共轭复数，所以

②把②代入①可知所以故答案为：38【点睛】本题重在考查是实数，掌握复数共轭复数的形式，属基础题15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【答案】【解析】【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中，且点M为BC边上的中点，设内切圆的圆心为，由于，故，设内切圆半径为，则：，解得：，其体积：.故答案为：.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.16.在中，，点D在边上，且，点E是的中点，则________．【答案】或2.5【解析】【分析】利用向量的加法和减法法则，将和化为可以求出夹角余弦值的和即可﹒【详解】如图，根据余弦定理得：，故答案为：﹒解答题（1722共计70分）17.（本题10分）在平面直角坐标系内，已知三点，，，求：（1），的坐标；（2）的值；（3）的值.【答案】（1），；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据向量的终点坐标和起点坐标可求向量的坐标.（2）根据（1）的结果可求的坐标，从而可求.（3）利用夹角公式可求的值【详解】（1），．（2）因为，所以．（3）因为，，，故．18.（本题10分）袋子中有4个球大小质地完全相同，其中2个红球，2个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率：(1)A=第一次摸到红球(2)B=第二次摸到红球(3)C=至少一次摸到红球【答案】(1)0.5；(2)0.5；(3)【分析】（1）首先写出整个样本空间中的所有可能的结果，第一次摸到红球有6种可能的结果，根据古典概型的计算公式即可求解；（2）第二次摸到红球有6种可能的结果，根据古典概型的计算公式即可求解；（3）至少一次摸到红球的概率等于总概率减去两次都没摸到红球的概率，结合对立事件的概率公式即可求解．【解析】(1)将两个红球编号为1，2，两个黄球编号为3，4.第一次摸球时有4种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时都有3种等可能的结果，将两次摸球的结果配对，组成12种等可能的结果，用表表示.第一次第二次12341×（1，2）（1，3）（1，4）2（2，1）×（2，3）（2，4）3（3，1）（3，2）×（3，4）4（4，1）（4，2）（4，3）×第一次摸到红球的可能结果有6种（表中第1，2行），即，所以.(2)由（1）中表知，第二次摸到红球的可能结果也有6种（表中第1、2列），即，所以.(3)由（1）中表知，两次都没摸到红球的事件的概率为，即至少一次摸到红球的概率为.19.（本题12分）如图，在三棱柱中，，，，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）求证：.（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）利用中位线证明，即可证明出平面；（2）根据等腰三角形三线合一证明，再得，即可证明平面，得【详解】证明：（1）在中，因为为的中点，为的中点，所以是中的中位线，所以.因为平面，平面，所以平面.（2）因为，为的中点，所以.因为中，，由（1）已证，所以，因为平面，，所以平面.又因为平面，所以.【点睛】关键点睛：关于线面平行的证明，一般利用判定定理先利用中位线或者平行四边形证明线线平行；关于线面垂直的证明，一般利用判定定理根据勾股定理、三线合一等垂直条件证明线线垂直.20.（本题12分）有一种鱼的身体吸收汞，一定量身体中汞的含量超过其体重的的鱼被人食用后，就会对人体产生危害．某海鲜市场进口了一批这种鱼，质监部门对这种鱼进行抽样检测，在30条鱼的样本中发现的汞含量（乘以百万分之一）如下：0.07

0.34

0.95

0.98

1.02

0.98

1.37

1.40

0.39

1.021.44

1.58

0.54

1.08

0.71

0.70

1.20

1.24

1.62

1.681.85

1.30

0.81

0.82

0.84

1.39

1.26

2.20

0.91

1.31（1）完成下面频率分布表，并画出频率分布直方图；频率分布表：分组频数频率1合计301频率分布直方图：（2）根据频率分布直方图估算样本数据的平均值（保留小数点后两位，同一组中的数据用该组区间中点值代表），并根据频率分布直方图描述这批鱼身体中汞含量的分布规律．（1）填表见解析；作图见解析；（2）平均值为：，答案见解析．【解析】【分析】（1）由样本数据，即可完善频率分布表中的数据，并画出频率直方图.（2）由（1）的频率直方图计算样本均值，进而描述汞含量分布规律.【详解】（1）由题设样本数据，则可得频率分布表如下，分组频数频率3101241合计301（2）根据频率分布直方图估算平均值为：，分布规律：①该频率分布直方图呈中间高，两边低，大多数鱼身体中汞含量主要集中在区间；②汞含量在区间的鱼最多，汞含量在区间的次之，在区间的最少；③汞含量超过的数据所占比例较大，这说明这批鱼被人食用，对人体产生危害的可能性比较大．21.（本题12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，且．(1)求角B的大小；(2)若，求△ABC的面积．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，利用三角恒等变换，即可求得答案；（2）利用余弦定理结合条件求出边长a，c，再