第21讲简单几何体的表面积与体积7种常考题型（原卷版）

第21讲简单几何体的表面积与体积7种常考题型【考点分析】考点一：多面体的表面积和体积①柱体1.棱柱的侧面展开图：棱柱的侧面展开图是平行四边形，一边是棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长，如图①所示；圆柱的侧面展开图是矩形，其中一边是圆柱的母线，另一边等于圆柱的底面周长，如图②所示．2.柱体的表面积：柱体的表面积S表＝S侧＋2S底．3.柱体的体积柱体的底面积S，高为h，其体积V＝Sh．②锥体1.侧面展开图：棱锥的侧面展开图是由若干个三角形拼成的，则侧面积为各个三角形面积的和，如图①所示；圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长，如图②所示．2.锥体的面积：锥体的表面积S表＝S侧＋S底．3.锥体的体积锥体的底面积为S，高为h，其体积V＝eq\f(1,3)Sh．③台体的表面积1.侧面展开图：棱台的侧面展开图是由若干个梯形拼接而成的，则侧面积为各个梯形面积的和，如图①所示；圆台的侧面展开图是扇环，其侧面积可由大扇形的面积减去小扇形的面积而得到，如图②所示．2.台体的表面积：台体的表面积S表＝S侧＋S上底＋S下底．3．台体的体积台体的上、下底面面积分别是S′、S，高为h，其体积V＝eq\f(1,3)(S＋eq\r(SS′)＋S′)h.③球的表面积和体积1．球的体积球的半径为R，那么它的体积V＝eq\f(4,3)πR3．2．球的表面积球的半径为R，那么它的表面积S＝4πR2．【题型目录】题型一：棱柱表面积体积题型二：棱锥表面积体积题型三：棱台表面积体积题型四：圆柱表面积体积题型五：圆锥表面积体积题型六：圆台表面积体积题型七：球的表面积体积【典型例题】题型一：棱柱表面积体积【例1】如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是（

）A．258 B．234 C．222 D．210【例2】已知长方体所有棱的长度之和为28，一条对角线的长度为，则该长方体的表面积为（）A．32 B．20 C．16 D．12【例3】如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这是水面恰好是中截面，则图1中容器水面的高度是______．【例4】我国古代建筑的屋顶对建筑立面起着特别重要的作用，古代建筑屋顶主要有庑殿式、硬山顶、歇山顶、悬山顶攒尖顶、盝顶、卷棚顶等类型，其中硬山式屋顶造型的最大特点是比较简单、朴素，只有前后两面坡，而且屋顶在山墙墙头处与山墙齐平，没有伸出部分，山面裸露没有变化．硬山式屋顶（如图1）可近似地看作直三棱柱（如图2），其高为，到平面的距离为，为，则可估算硬山式屋顶的体积约为（

）A． B． C． D．【例5】某中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒，现有一张边长为6的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的表面积为______．【题型专练】1.已知直三棱柱底面的一边长为2cm，另两边长都为3cm，侧棱长为4cm，它的侧面积为，体积为．2．如图，已知正方体的棱长为，沿图1中对角面将它分割成两个部分，拼成如图2的四棱柱，则该四棱柱的全面积为（

）A． B． C． D．3.在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六､八是中国人的吉利数字，所以许多瓷器都做成六棱形和八棱形的，但是六棱柱形的瓷器只有六棱柱形笔筒，其余的六棱形都不是六棱柱形.如图为一个正六棱柱形状的瓷器笔筒，高为，底面边长为（数据为笔筒的外观数据），用一层绒布将其侧面包裹住，忽略绒布的厚度，则至少需要绒布的面积为（）A． B． C． D．4．如图，用若干棱长为的小正方体组成一个模型，该模型的表面积是______.5．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为，体对角线长为，则这个棱柱的侧面积是______．6．已知直平行六面体的底面是菱形，若过不相邻的两对侧棱的截面面积分别是3和4，则这个平行六面体的侧面积是______．7．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱.若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点.当底面ABC水平放置时，液面高为__________.题型二：棱锥表面积体积【例1】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A. B. C. D.【例2】如图，在体积为16的斜三棱柱中，P为棱上一点，三棱锥PABC的体积为4，则三棱锥的体积为（

）A． B．2 C．3 D．4【例3】“堑堵”“阳马”和“整臑”是我国古代对一些特殊几何休的称谓．《九章算术．商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为整臑”，即一个长方体沿对角面斜解（图1）．得到一模一样的两个堑堵（图2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱维称为整臑（图4）．若长方体的体积为V，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和整臑的体积分别为，则下列选项正确的是（

）A． B． C． D．【例4】距今5000年以上的仰韶遗址表明，我们的先人们居住的一种茅屋如图1所示，该茅屋主体是一个正四棱锥，侧面是正三角形，且在茅屋的一侧建有一个入户甬道.甬道形似从一个直三棱柱上由茅屋一个侧面截取而得的几何体，一头与茅屋的这个侧面连在一起，另一头是一个等腰直角三角形.如图2是该茅屋主体的直观图，其中正四棱锥的侧棱长为8m，，，，点D在正四棱锥的斜高PH上，平面且.不考虑建筑材料的厚度，则这个茅屋（含甬道）的室内容积为（

）A． B． C． D．【例5】六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛的用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（每个面都是正三角形的八面体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点．若相邻两个氟原子之间的距离为，则以六氟化硫分子中6个氟原子为顶点构成的正八面体的体积是（

）．（氟原子的大小可以忽略不计）A． B． C． D．【例6】将边长为24、20、16的三角形沿三条中位线折叠成一个四面体，则该四面体的体积为______.【例7】在三棱锥中，已知，则该三棱锥的体积为___________.【例8】图中的多面体的底面是边长为的正方形，上面的棱平行于底面，其长为，其余的棱长都是．已知，则这个多面体的体积是______．【题型专练】1.《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其卷五“商功”中记载这样一个问题:今有方锥，下方二丈七尺，高二丈九尺，问积几何?其含义是:今有正四棱锥，下底边长为丈尺，高丈尺，问它的体积为多少立方尺（）(注丈尺)A． B． C． D．2.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥O—EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，，3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.3.如图，长方体的体积是120，E为的中点，则三棱锥E−BCD的体积是▲.4.如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．5．在三棱锥中，顶点在底面内的投影为点，，底面是正三角形，边长为，，分别是侧棱，的中点，则四棱锥的体积为______．6．为了求一个棱长为的正四面体的体积，某同学设计如下解法：构造一个棱长为1的正方体，如图1：则四面体为棱长是的正四面体，且有.(1)类似此解法，如图2，一个相对棱长都相等的四面体，其三组棱长分别为、、，求此四面体的体积；(2)对棱分别相等的四面体中，，，.求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形.题型三：棱台表面积体积【例1】已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16，侧棱长为10，则该棱台的侧面积为（

）A．80 B．240 C．350 D．640【例2】已知正四棱台上底面边长为2，下底面边长4，高为3，则其表面积为（

）A．36 B．C． D．48【例3】已知一个正棱台的上、下底面是边长分别为2、8的正方形，侧棱长为5，则该棱台的表面积为（

）A．148 B．168 C．193 D．88【例4】已知正三棱台两底面边长分别为2，4，侧棱长为2，则该棱台的体积为（

）A． B． C． D．【例5】已知正六棱台的上､下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（

）A． B． C． D．【例6】在正方体中，点为侧棱上一点，且，平面将该正方体分成两部分，其体积分别为，则__________.【题型专练】1．正四棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则它侧面积为（

）A． B． C． D．2．已知一个正四棱台的两个底面的边长分别为4和16，侧棱长为10，则该棱台的侧面积为（

）．A．80 B．240 C．320 D．6403．“斗”不仅是我国古代容量单位，还是量粮食的器具，如图所示．其可近似看作正四棱台，上底面是边长为的正方形，下底面是边长为的正方形，高为．“斗”的面的厚度忽略不计，则该“斗”的所有侧面的面积之和与下底面的面积之比为（

）A． B． C． D．4．在正四棱台中，，则该四棱台的体积为（

）A． B． C． D．5．如图，棱锥、棱柱、棱台的底面积和高均相等，分别为s，h，棱台上底面的面积为，现将装满水的棱锥、棱柱、棱台中的水分别倒入底面积为s的圆柱里，对应的水面高分别记为，，，则（

）A． B．C． D．6．某校高一级学生进行创客活动，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体挖去正四棱台后所得的几何体，其中，为增强其观赏性和耐用性，现对该模型表面镀上一层金属膜，每平方厘米需要金属，不考虑损耗，所需金属膜的质量为____________．7．如图，在正四棱台中，，且四棱锥的体积为48，则该四棱台的体积为___________.8．《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭，其中上底面与下底面的面积之比为，，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和为，则方亭的体积为______.题型四：圆柱表面积体积【例1】如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半轻为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.【例2】中国古代数学著作《九章算术》中，记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为，则该几何体的表面积为（

）A． B． C． D．【例3】我国古代经典数学名著《九章算术》中有一段表述:“今有圆堡壔（dăo），周四丈八尺，高一丈一尺”，意思是有一个圆柱，底面周长为4丈8尺，高为1丈1尺.则该圆柱的表面积约为（

）（注:1丈=10尺，取3）A．1088平方尺 B．912平方尺 C．720平方尺 D．656平方尺【例4】以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体的表面积为（

）A． B． C． D．【例5】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为A．B．C．3D．2【题型专练】1．用长为4，宽为2的矩形绕其一边旋转构成一个圆柱，则此圆柱的侧面积为（

）A．8π B．16π C．24π D．32π2．过圆柱的上，下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是面积为16的正方形，则圆柱的侧面积是（

）A． B． C． D．3．已知一个正方体与一个圆柱的高度均为1，且正方体的表面积与圆柱的侧面积相等，则圆柱的体积为______.4．已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的4倍，则它的侧面积扩大为原来的___________倍.5.已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________．6.已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为16的正方形，则该圆柱的表面积为（）A． B． C． D．7.一个圆柱的侧面展开图是一个边长为4的正方形，则这个圆柱的体积为（）A． B． C． D．题型五：圆锥表面积体积【例1】已知圆锥展开图的侧面积为2π，且为半圆，则底面半径为_______．【例2】在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心．若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为()A． B． C．3π D．4π【例3】已知圆锥的母线长为4，侧面展开图是一个面积为的扇形，则该圆锥的体积为（）A． B． C． D．【例4】一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则该圆锥的体积等于（）A． B． C． D．【例5】如图所示是一个装有红酒的圆锥形酒杯（杯体为一个圆锥），已知该酒杯的杯子杯口直径为（忽略杯子的厚度），侧面积（不含杯座和杯茎）为，红酒的高度比杯子的高度低，则红酒的体积为（）A． B． C． D．【例6】（多选题）如图所示，圆锥的底面半径，高，是底面圆周的一条直径，M为底面圆周上与B不重合的一点，则下列命题正确的是（

）A．圆锥的体积为B．圆锥的表面积为C．的面积的最大值是D．有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A爬行到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为【例7】分别以直角三角形的斜边和两直角边所在直线为轴，将三角形旋转一周所得旋转体的体积依次为､､，则（）A． B．C． D．【例8】已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为________.【题型专练】1．已知某圆锥的侧面展开图为半圆，该圆锥的体积为，则该圆锥的表面积为（

）A．27π B． C． D．16π2．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（

）A． B． C． D．3．已知一个圆柱与一个圆锥的底面半径相等，圆柱的高等于其底面直径，圆锥的高等于其底面直径的倍．给出下列结论：①设圆柱与圆锥的体积分别为、，则；②设圆柱与圆锥的轴截面面积分别为、，则；③设圆柱与圆锥的侧面积分别为、，则；④设圆柱与圆锥表面积分别为、，则.其中所有正确结论的序号是（

）A．① B．②③ C．①③④ D．①②③④4．已知圆锥的体积为，其中S为圆锥的底面积，h为圆锥的高．现有一个空杯子，盛水部分为圆锥（底面半径为3cm，高为6cm），现向杯中以6ml/s的速度匀速注入水，则注水t（0＜t＜5）s后，杯中水的高度为（

）A．cm B．cm C．cm D．cm5．某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）.“沙漏"是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成.某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是，高是；圆柱体底面半径是，液体高是.计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏"中液体的高度为（

）A． B． C． D．6．（多选题）已知甲、乙两个圆锥侧面展开图的面积相等，母线长分别为l甲和l乙，底面半径分别为r甲和r乙，高分别为h甲和h乙，表面积分别为S甲和S乙，若，则（

）A． B． C． D．7．已知某圆锥的轴截面是面积为9的三角形，若该圆锥顶点到底面的距离为3，则其侧面积为______．8．如图所示，以圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，则该圆锥与圆柱等底等高.若圆锥的轴截面是一个正三角形，则圆柱的侧积面与圆锥的侧面积之比为______.9．如图，在底面半径为1，高为的圆锥中，O是底面圆心，P为圆锥顶点，A，B是底面圆周上的两点，，C为母线PB的中点.(1)求该圆锥的表面积；(2)求在该圆锥的侧面上，从A到C的最短路径的长.题型六：圆台表面积体积【例1】木桶作为一种容器，在我国使用的历史已经达到了几千年，其形状可视为一个圆台．若某圆台形木桶上、下底面的半径分别为15cm，8cm，母线长为25cm，木板厚度忽略不计，则该木桶的容积为（）A．B．C．D．【例2】一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是，则母线长为（）A．2 B． C．4 D．8【例3】已知圆台下底面的半径为，高为，母线长为，则这个圆台的体积为（）A． B． C． D．【例4】已知圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，若该圆台的体积为，则其母线长为（）A． B． C． D．【例5】如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为，那么A．10 B．15 C．20 D．25【题型专练】1．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的倍，母线长为，圆台的侧面积为，则圆台的体积为（

）参考公式：台体的体积公式为.A． B． C． D．2．若圆台的高是3，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，母线与下底面成角，则这个圆台的侧面积是（

）A． B．C． D．3．若一个圆台的高为，母线长为，侧面积为，则该圆台的体积为（

）A． B． C． D．4．某圆台上底面圆的半径为1，下底面圆半径为2，侧面积为，则该圆台的体积为（

）A． B． C． D．5．某圆锥的侧面积为1，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之比为，则该圆台的侧面积为（

）A． B． C． D．6．已知圆台的上、下底面半径分别为，若该圆台的表面积为，母线长为2，且，则________．题型七：球的表面积体积【例1】如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱的体积为，球的体积为，则的值是.【例2】某种药物呈胶囊形状，该胶囊中间部分为圆柱，左右两端均为半径为的半球．已知该胶囊的表面积为，则它的体积为（）A． B． C． D．【例3】圆柱形容器内盛有高度为的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图），则球的半径是（）A． B． C． D．【例4】一平面截一球得到直径为的圆