通关练22与复数模相关的轨迹（图形）问题-2022-2023学年高一数学题型归纳与解题策略(人教A版2019)

通关练22与复数模相关的轨迹（图形）问题eq\o\ac(○,通)eq\o\ac(○,关)eq\o\ac(○,练)一、单选题1．（2023·全国·高一专题练习）关于复数，下列说法正确的是（

）A．若，则或B．复数与分别对应向量与，则向量对应的复数为C．若点Z的坐标为，则Z对应的点在第三象限D．若复数z满足，则复数z对应的点所构成的图形面积为【答案】D【分析】取，计算模，可判断A;根据复数的几何意义结合向量的运算，可判断B;根据点的坐标特征可判断其所在象限，判断C;根据复数模的几何意义求得复数z对应的点所构成的图形面积，判断D.【详解】对于A，取，则，故A错误；对于B，，B错误；对于C，点Z的坐标为，则Z对应的点在第二象限，C错误；对于D，设，则由可知，故复数z对应的点所构成的图形面积为，D正确，故选：D.2．（2023·全国·高一专题练习）已知复数为虚数单位）满足，则的最小值为（

）A．2 B．1 C． D．4【答案】A【分析】根据复数的几何意义求出复数对应的点的轨迹，从而可求出的最小值.【详解】因为，所以复数对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，所以.故选：A3．（2023春·河北邯郸·高一校考阶段练习）已知复数满足，则的最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本题可根据得出点的轨迹为以为圆心、以为半径的圆，即可得出结果.【详解】因为，所以复数在复平面内所对应的点到点的距离为，则点的轨迹为以为圆心、以为半径的圆，故的取值范围为，的最大值为，故选：C.4．（2023·高一单元测试）设复数在复平面上对应的点为且满足，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】把点的坐标代入，用复数模的公式化简即得解.【详解】因为，所以，所以.故选：B5．（2023·高一课时练习）设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由复数在复平面内的对应点可得，代入中由模长公式可得结果.【详解】z在复平面内对应的点为，则复数,则，由复数的模长公式可得，故选：D【点睛】本题考查复数的模长公式的应用，属于简单题.6．（2023·高一课时练习）已知复数z满足，若z在复平面内对应的点为，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用复数的模公式化简求解.【详解】因为复数z满足，所以，即，化简得：，故选：C7．（2023·高一课时练习）若z是复数，且，则的最大值是（

）A．12 B．8 C．6 D．3【答案】A【分析】利用复数模的几何意义求解即可.【详解】由已知得表示复平面内z对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为2的圆，而表示的是复平面内对应的点到复数对应的点（6，－8）之间的距离，其最大值为，故选：A.8．（2023·全国·高一专题练习）复数在复平面内对应的点为，若，则点的集合对应的图形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可知，点的集合对应的图形是一个圆环，从而可求出其面积【详解】因为复数在复平面内对应的点为，且，所以点的集合对应的图形是一个内半径为1，外半径为2的圆环，所以所求面积为，故选：C9．（2023·全国·高一专题练习）已知复数z满足：，则的最小值是（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】由复数模的几何意义，转化为求原点到直线的距离．【详解】由复数模的几何意义知满足的对应的点在以点和为端点的线段的中垂线，的中点为，的最小值就是原点到直线的距离即为，故选：B．10．（2023·全国·高一专题练习）设，满足，其在复平面对应的点为，求点构成的集合所表示的图形面积（

）A．1 B．5 C． D．【答案】D【分析】复数，根据复数的几何意义可知，满足的点为两个圆所夹的圆环（包括边界），根据两圆面积之差即可求出.【详解】设复数，则，.则等价于，即有.所以复平面对应的点为表示复平面上以为圆心，以2，3为半径的两个圆所夹的圆环（包括边界），故其面积为．故选：D.11．（2023·全国·高一专题练习）已知复数z满足，则的最小值为（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【分析】设复数z在复平面内对应的点为Z，由复数的几何意义可知点的轨迹为轴，则问题转化为轴上的动点到定点距离的最小值，从而即可求解.【详解】解：设复数z在复平面内对应的点为Z，因为复数z满足，所以由复数的几何意义可知，点到点和的距离相等，所以在复平面内点的轨迹为轴，又表示点到点的距离，所以问题转化为轴上的动点到定点距离的最小值，所以的最小值为2，故选：B.12．（2023·全国·高一专题练习）已知复数z的共轭复数，满足，则的最小值为（

）A．4 B．8 C． D．【答案】A【分析】设先分析出点(x,y)在以（4，2）为圆心，1为半径的圆上.利用几何法求出的最小值.【详解】设（是虚数单位）.则.因为，所以表示点(x,y)在以（4，2）为圆心，1为半径的圆上.而表示圆上任意一点到（0，1）的距离.由几何法可知：的最小值为（0，1）到圆心（4，2）减去圆的半径，即为.故选：A13．（2023·全国·高一专题练习）若|z＋3i|＝|z＋4－i|，则|z|＋|z－2|的最小值为（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】设z=a+bi，根据题意，代入求模公式，可求得b=a+1，代入所求，利用点关于直线的对称点及点到点距离可求解.【详解】设，则==所以，即，整理得，所以=，可以理解为点到点和点距离之和，设点关于直线的对称点为，解得所以为，故的最小值为点到的距离为.故选：D14．（2023·全国·高一专题练习）已知是虚数单位，复数，且，则的最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】首先由模等于1得，则点为圆上的点,再结合的几何意义即可求出最值.【详解】若,即,点为圆上的点,，则其几何意义为圆上的点到点之间的距离,则的最大值为故选：C.二、多选题15．（2023·全国·高一专题练习）已知i为虚数单位，则下面命题正确的是（

）A．若复数z＝3+i，则B．复数z满足|z﹣2i|＝1，z在复平面内对应的点为，则x2+＝1C．若复数z1，z2，满足，则D．复数z＝13i的虚部是3【答案】ABC【分析】根据复数的运算法则，几何意义，以及共轭复数的概念，虚部的概念，对每个选项逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A：z＝3+i，则，故A正确；对B：由题可得z﹣2i，又|z2i|＝1，故，故B正确；对C：设，则，故，故C正确；对D：复数z＝13i的虚部是，故D错误；故选：ABC.16．（2023·全国·高一专题练习）已知i为虚数单位，以下四种说法中正确的是（

）A．是纯虚数 B．若，则复平面内对应的点位于第四象限C．若，则 D．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线【答案】CD【分析】A.由是实数判断；B.化简，再利用复数的几何意义判断；C.由判断；D.令，由求解判断.【详解】是实数，故A错误；因为，所以，所以复平面内对应的点位于第三象限，故B错误，若，则，故，故C正确，令，则，所以，化简得，所以，所以z在复平面内对应的点的轨迹为直线，故D正确，故选：CD17．（2023春·全国·高一专题练习）设复数对应的向量分别为（为坐标原点），则（

）A．B．若，则C．若，则D．若，则的最大值为【答案】AD【分析】根据复数的模的计算求得，判断A;根据向量共线的坐标表示可判断B;利用向量垂直的坐标表示可得，化简，根据其结果判断C;确定的几何意义是表示圆，利用的几何意义求得其最大值，判断D.【详解】因为，所以，A正确；由题意可知，若，若，则，B错误；若，则，即，故，即仅当时，，时，，C错误；，故，即，则表示圆上的点到原点的距离，故的最大值为，D正确，故选:.18．（2023·全国·高一专题练习）设复数z在复平面上对应的点为Z，i为虚数单位，则下列说法正确的是（

）A．满足|z|＝1，且的点Z有且仅有一个B．若|z－1|＝1，则z＝2或0或1＋i或1－iC．，则点Z构成的图形面积为D．非零复数，，对应的点分别为，，O为坐标原点，若，则为等腰直角三角形【答案】ACD【分析】根据已知条件找出Z的轨迹，从而判断A,B;找出复数Z表示的区域计算面积，从而判断C;＝a+bi，=c+di,分别计算，，，从而判断D.【详解】解：对于A,因为|z|＝1，所以Z的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆；而表示到点的距离为1的复数z,此时对应点Z的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，两圆外切于点，所以此时z=,只有一个，故正确；对于B,由|z－1|＝1可知Z的轨迹是以（1,0）为圆心，1为半径的圆,此时Z有无数个，故错误；对于C,由可知Z的轨迹是以（0,0）为圆心，3为半径的圆中去掉一个以2为半径的同心圆后的圆环，所以S=(94)=5,故正确；对于D,设＝a+bi，=c+di,因为，所以

,所以，＝，＝＝，所以为等腰直角三角形，故正确.故选：ACD.19．（2023·全国·高一专题练习）设复数，（R），对应的向量分别为（为坐标原点），则（

）A． B．若，则C．若，则 D．若，则的最大值为【答案】AD【分析】对A，根据模长公式求解即可；对B，根据向量平行的坐标公式求解即可；对C，根据向量垂直的坐标公式求解的关系，再求解即可；对D，根据复数的几何意义数形结合求解即可【详解】对A，；对B，对应的坐标为，对应的坐标为，因为，故，即，故B错误；对C，若，则，即，因为，故，即，故，故C错误；对D，若，即，其几何意义为到的距离小于等于，又的几何意义为到的距离，故的最大值为故D正确；故选：AD三、填空题20．（2023·全国·高一专题练习）已知复数满足（是虚数单位），则的取值范围是______.【答案】【分析】满足的复数在复平面内表示以为圆心，1为半径的圆，则表示圆上的点到的距离，求出点和之间的距离，即可得答案【详解】解：由复数的几何意义可知，满足的复数在复平面内表示以为圆心，1为半径的圆，则表示圆上的点到的距离，因为点和之间的距离为，所以的取值范围为，故答案为：【点睛】此题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，属于基础题21．（2023·高一课时练习）若，则取值范围是______【答案】[3，7]【分析】根据复数的几何意义对应的点在以为圆心，2为半径的圆上，求出对应的点到的距离的最值即可.【详解】根据复数的几何意义可得表示对应的点在以为圆心，2为半径的圆上，则表示对应的点到的距离，设为，则到距离为，所以，，所以取值范围是.故答案为：.22．（2023·高一课时练习）若复数z满足（i为虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点构成的图形的面积为________．【答案】【分析】根据已知条件，求得复数在复平面内的轨迹方程，再求轨迹对应点构成图形的面积即可.【详解】不妨设复数，则，即，则，其表示以为圆心且半径的圆的内部以及圆上的点，则这些点构成的图形的面积为.故答案为：.23．（2023·全国·高一专题练习）若，且，则的最大值是_______．【答案】##【分析】由复数模的几何意义求解．【详解】，则复平面上表示复数的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，表示到点的距离，∵，所以=的最大值为．故答案为：．24．（2023·高一课时练习）已知复数满足，则的最大值为___________.【答案】5【分析】设，，，由已知条件求出复数对应的点的轨迹为圆，根据复数模的几何意义和圆的性质即可求解.【详解】设，，，因为，所以，则，即，所以复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径的圆，而表示复数对应的点到坐标原点的距离，所以的最大值就是，故答案为：525．（2023·高一课时练习）已知复数z满足，则的取值范围是___________.【答案】【分析】表示到坐标原点的距离为的的集合（单位圆），再根据复数模的几何意义，可求出的取值范围；【详解】解：设，，所以表示到坐标原点的距离为的点的集合（单位圆），而表示单位圆上的点到点的距离，其最小值是，最大值是，所以的取值范围是.故答案为：.26．（2023·高一课时练习）复数z满足|z＋3＋4i|＝2，则|z|的最大值是________．【答案】7【分析】根据复数模的几何意义判断对应点的轨迹，由此求得的最大值.【详解】设，由可得，，整理得，，所以，点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆上的点，则的最大值为.故答案为：27．（2023·高一课时练习）已知，且，为虚数单位，则的最大值是________．【答案】6【分析】利用复数模的几何意义求解.【详解】解：因为，且，表示以（0，1）为圆心，以1为半径的圆上的点，而表示圆上的点（3，5）的距离，其最大值为，故答案为：628．（2023·高一课时练习）已知，则的最大值是__________．【答案】【分析】根据复数的几何意义即可求解.【详解】设，则有，即，则在复平面中的点在以为圆心，为半径的圆周上，，，表示与点的距离，如图所示：由图可知，，即的最大值为7.故答案为：729．（2023·全国·高一专题练习）设全集，，，若，则复数在复平面内对应的点形成图形的面积为______．【答案】【分析】根据题意可得，集合A在复平面内表示的图形为圆及其内部，集合B在复平面内表示的图形为直线的左侧，作出图象，可得复数在复平面内对应的点形成的图形即为图中的弓形部分..【详解】设.由，可知，即，即.因为，，，所以，则可化为，解得.即集合A在复平面内表示的图形为圆及其内部，集合B在复平面内表示的图形为直线的左侧，集合在复平面内表示的图形为直线的右侧（包括直线），如图所示.所以，复数在复平面内对应的点形成的图形即为图中的弓形部分.弓形的面积为扇形的面积减去的面积，易知扇形的圆心角，圆的半径，则扇形的面积，，所以弓形的面积为.故答案为：.30．（2023·高一单元测试）复数、分别对应复平面内的点、，且，线段的中点对应的复数为（是虚数单位），则________.【答案】【解析】设为坐标原点，根据可知以线段、为邻边的平行四边形是矩形，且线段的中点为，由此可计算出的值.【详解】设为坐标原点，由知，以线段、为邻边的平行四边形是矩形，即为直角，又是斜边的中点，且，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查复数的几何意义，涉及复数模的计算，解题的关键就是要分析出以线段、为邻边的平行四边形的形状，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.31．（2023·全国·高一专题练习）已知复数满足（是虚数单位），则的最大值为__________.【答案】【分析】设，由复数模长运算可求得，由此可设，，从而求得，可确定当时，取得最大值.【详解】设，由得：，，则可设，，，（其中，），则当时，.故答案为：.32．（2023·全国·高一专题练习）若，且，则的最小值为___________【答案】4【分析】利用复数的几何意义，可知则表示z点对应的复数与点(3,4)之间的距离，再求出其最小值.【详解】复数z满足，点z表示以原点为圆心、1为半径的圆，则表示z点对应的复数与点(3,4)之间的距离.原点O到点(3,4)之间的距离d=5，∴的最小值为51=4.故答案为：4.33．（2023·全国·高一专题练习）设复数z满足，则的取值范围是_________.【答案】【分析】由复数的几何意义确定复数z复平面上的对应点的轨迹，结合图象确定可得结果.【详解】设复数z在复平面上的对应点为，复数的在复平面上的对应点为，由，可知点的轨迹为以，为端点的一条线段，又表示点到点的距离，观察图象可知当时，取最小值，最小值为1，当时，取最大值，最大值为，所以取值范围为.故答案为：.34．（2023·高一课时练习）已知复数，满足，，则的最小值为______．【答案】1【分析】在复平面内，根据复数的几何意义，结合圆与圆的位置关系分析即可【详解】根据复数的几何意义可得，，则在复平面内是以为圆心，为半径的圆上，，则在复平面内是以为圆心，8为半径的圆上，又两圆心间的距离为，故的最小值为故答案为：135．（2023·高一单元测试）已知，且，为虚数单位，则的最大值是__．【答案】8【分析】表示以为圆心，3为半径的圆，进而根据复数减法的几何意义求解即可.【详解】解：因为且，所以，根据复数模的几何意义，表示以为圆心，3为半径的圆，所以，表示圆上的点和点的距离，因为圆心到点的距离为，，故答案为：36．（2023·全国·高一专题练习）已知复数满足，则复平面内由点形成的区域的面积为______．【答案】【分析】先由题给条件判断出复平面内由点形成的区域是以为圆心，1为半径的圆及其内部，再去求该区域的面积即可.【详解】复数满足，则，所以，所以复平面内由点形成的区域是以为圆心，1为半径的圆及其内部，该区域的面积为．故答案为：37．（2023·全国·高一专题练习）在复平面中，已知点，复数对应的点分别为，且满足，则的最大值为___________.【答案】##【分析】根据复数的几何意义，由，分析得关于原点对称，所以确定，再利用平面向量的三角形法则与数量积的运算性质，将所求问题转化为平面向量数量积的最值问题.【详解】因为复数对应的点为，且，则可确定点在以为圆心，