专题52三角恒等变换（特色专题卷）（人教A版2019）

专题5.2三角恒等变换（特色专题卷）考试时间：120分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（2021秋•杭州期中）若sinα+cosα=23，则sin2A．49 B．-49 C．59【分析】将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式即可求解．【解答】解：因为sinα+cosα=2所以两边平方，可得sin2α+cos2α+2sinαcosα=49，可得1+sin2α则sin2α=-5故选：D．2．（2021秋•卡若区校级期中）计算(cosπA．-32 B．12 C．22【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和倍角公式的应用求出结果．【解答】解：(cosπ故选：D．3．（2021秋•肇东市校级期中）若tanα＝2，则cos2α1+sin2αA．34 B．12 C．-13【分析】直接利用同角三角函数关系式的变换求出结果．【解答】解：若tanα＝2，则cos2α1+sin2α故选：C．4．（2021秋•成都月考）已知角θ的终边过点A（6，a），且sin（θ﹣3π）=45，则tan（2A．1731 B．-3117 C．317【分析】利用诱导公式求出sinθ，根据角θ的终边过点A（6，a）可知cosθ为正数，计算cosθ，从而求得tanθ，tan2θ，将所求式子用两角差正切公式展开，代入运算即可．【解答】解：因为sin（θ﹣3π）=4所以sin（θ+π）=4则sinθ=-4由于角θ的终边过点A（6，a），A点位于y轴右侧，故由三角函数定义可知，cosθ＞0，所以cosθ=3所以tanθ=-4所以tan2θ=2tanθ所以tan（2θ-π4）故选：A．5．（2021秋•疏勒县校级期中）化简12A．sinα2 B．-sinα2 C．cos【分析】由题意，利用二倍角的余弦公式，三角函数的在各个象限中的符号，计算求得结果．【解答】解：∵π＜α＜3π2=12-12cosα=故选：A．6．（2021秋•濂溪区校级月考）若函数f(x)=3A．f（x）的最小正周期为π2B．f（x）的图像的一条对称轴方程为x=5C．f（x）的一个对称中心为(πD．f（x）的单调递增区间为[kπ-【分析】由二倍角的正弦公式和余弦公式，以及辅助角公式，化简f（x），分别由三角函数的周期公式和对称轴、对称中心和单调区间，可得结论．【解答】解：函数f(x)=3sinxcosx+cos2x-12=32sin2x可得f（x）的最小正周期为T=2π2=π由f（5π12）＝sin（5π6+π6由f（π6）＝sin（π3+π6）＝1由2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，解得k则f（x）的增区间为[kπ-π3，kπ+π6]（k∈故选：D．7．（2021秋•浦江县校级月考）如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC、直角边AB、AC，已知以直角边AC、AB为直径的半圆的面积之比为14，记∠ABC＝α，则4cos2α+sin2αA．4 B．2 C．32 D．【分析】根据两半圆的面积比，可求出AC，AB之比，从而求出tanα，再进一步借助于三角公式求解即可．【解答】解：以直角边AC，AB为直径的半圆的面积分别为：12×π×（AC2）2=π⋅(AC)28，1由面积之比为14，得：(AC)2在Rt△ABC中，tanα＝tan∠ABC=AC故可得cos2α=11+tan2α则4cos2α+sin2α＝4．故选：A．8．（2021秋•蒲城县期中）魏晋南北朝时期，我国数学家祖冲之利用割圆术，求出圆周率π约为355113，是当时世界上最精确的圆周率结果，直到近千年后这一记录才被打破．若已知π的近似值还可以表示成4sin52°，则1-2A．18 B．-18 C．8 【分析】将π＝4sin52°代入1-2cos【解答】解：将π＝4sin52°代入1-2cos得1-2cos故选：B．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（2021秋•沙坪坝区校级月考）下列各式中，值为32A．1-cos120B．cosC．cos15°sin45°﹣sin15°cos45° D．tan【分析】利用二倍角公式和正弦的差角公式进行运算即可．【解答】解：对于A，原式=sin2对于B，原式＝cosπ6=3对于C，原式＝sin（45°﹣15°）＝sin30°=12，故对于D，原式=12×故选：AB．10．（2021秋•广陵区校级月考）设函数f(x)=sin(2x+πA．y＝f（x）的最小值为-2，其周期为πB．y＝f（x）的最小值为﹣2，其周期为π2C．y＝f（x）在(0，π2)D．y＝f（x）在(0，π2【分析】利用辅助角公式（两角和的正弦函数）化简函数f（x）＝sin（2x+π4）+cos（2x【解答】解：因为f（x）＝sin（2x+π4）+cos（2x+π4）=2sin（2x+所以y＝f（x）的最小值为-2，其周期为T=2π2=π，故令2kπ≤2x≤π+2kπ（k∈Z），可得kπ≤x≤π2+kπ（k∈Z），当k＝0时，x∈（0，π2），可得函数y＝f（x）在（令2x＝kπ，k∈Z，可得x=12kπ，（k∈Z），当k＝1时，x=π2，可得y＝f（x）关于x=π故选：AD．11．（2021秋•河北月考）设α∈（0，π2），β∈（π2，π），若1+cosα+sinα1-cosα+sinαA．sinα＝sinβ B．cosα＝﹣cosβ C．sinα＝cosβ D．sin2α2+sin2【分析】利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式，两角和的余弦公式化简已知等式可得cos（α2+β2）＝0，结合角的范围可求α2+β【解答】解：因为α∈（0，π2），β∈（π2，可得α2∈（0，π4），β2∈（π4，π2），α2若1+cosα+sinα1-cosα+sinα2cos则cosα2sinα2=sin所以α2+β2=π2所以sinα＝sin（π﹣β）＝sinβ，故A正确；cosα＝cos（π﹣β）＝﹣cosβ，故B正确；因为α∈（0，π2），β∈（π2，π），sinα＞0，cosβ＜0，故sin2α2+sin2β2=sin2α2+sin2（π2-α2）＝故选：ABD．12．（2021•A卷模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，3），若将点A绕原点按顺时针旋转θ弧度，得到点B（x0，y0），记f（θ）＝x0+y0，g（θ）＝2x0y0，则下列结论错误的有（）A．f（θ）＝22cos（π12-θB．不存在θ，使得f（θ）与g（θ）均为整数 C．f2（θ）﹣8g（θ）＝2 D．存在某个区间（a，b）（a＜b），使得f（θ）与g（θ）的单调性相同【分析】利用三角函数的定义得出B点坐标，进而得出f（θ）与g（θ）的函数解析式，结合三角函数的图象与性质判断选项正误．【解答】解：由A（1，3）知A为角π3终边上一点，所以B（2cos(所以f（θ）=2sin(π3-θ)+2cos(g（θ）=4sin(π3-θ)cos(π3-θ)=2sin(2π3-2θ)．当θ=π3时，f（θ当θ=π12时，f（θ）=22，g（θ）＝2，f²（θ）﹣8g（θ）＝﹣8≠2对于g（θ），当-π2＜2π3-2θ＜对于f（θ），当-π＜π12-θ＜0，即所以f（θ）与g（θ）都在区间(π12，故选：BC．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（2021秋•广东期中）已知3sinθ-cosθ=223【分析】由已知利用两角差的正弦公式可求sin（θ-π【解答】解：因为3sinθ-cosθ=所以2sin（θ-π6）=223，可得sin（则cos(θ+π3)=cos[π2+（θ-π6）]＝﹣故答案为：-214．（2021秋•沙坪坝区校级月考）若3sinα-2cosα5cosα+3sinα=411，则tan（α【分析】将tanα=sinαcosα代入条件，化简求得tan【解答】解：因为tanα=sinα所以sinα＝tanαcosα，所以3sinα-2cosα5cosα+3sinα解得tanα＝2，tan（α+π4）=故答案为：﹣3．15．（2021秋•罗山县月考）若点P（cosθ，sinθ）与点Q（cos（θ+π6），sin（θ+π6））关于y轴对称，则绝对值最小的θ【分析】由题意利用两个点关于y轴对称的性质，可得cosθ＝﹣cos（θ+π6），sinθ＝sin（θ+π6），再利用诱导公式可得θ＝kπ+5π【解答】解：∵点P（cosθ，sinθ）与点Q（cos（θ+π6），sin（θ+π∴cosθ＝﹣cos（θ+π6），sinθ＝sin（∴θ＝2kπ+π﹣（θ+π6），即θ＝kπ+5π12，则绝对值最小的θ值为5π12故答案为：5π1216．（2021秋•沈阳月考）设α，β为锐角，且2α﹣β=π2，tanαcosβx+sinβ=1，则【分析】根据题意由三角恒等变换和二倍角公式可的结果．【解答】解：∵2α-β=π2，∴∴tanαcos(2α-π2)∴x＝cos2α+tanαsin2α＝cos2α+2sin2α＝1，故答案为：1．解答题（共6小题，满分70分）17．（2021秋•朝阳区期中）已知函数f（x）＝2cos2ωx+23sinωxcosωx+α（ω＞0，α∈R）．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数f（x）解析式的两个合理条件作为已知，求：（Ⅰ）函数f（x）的解析式；（Ⅱ）函数f（x），x∈[-π2，π条件①：f（x）的最大值为1；条件②：f（x）的一条对称轴是直线x=-π条件③：f（x）的相邻两条对称轴之间的距离为π2【分析】（I）由三角函数的恒等变换，对解析式进行化简，再选则①③得函数解析式；（II）由定义域的范围，求函数的增区间即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝2cos2ωx+23sinωxcosωx+α＝cos2ωx+3sin2ωx+α+1＝2sin（2ωx+π6）+当条件①③时，则2+α+1=1T2=2π2ω×1所以f（x）＝2sin（2x+π6）﹣1．选②时求不出所以函数的解析式为f（x）＝2sin（2x+π6）﹣（Ⅱ）当x∈[π2，π2]时，2x+π6∈令t＝2x+π6，则y＝sint在[-5π6，-π2]递减，[-π2，π当t=π2，解得x=π6，令t=-∴当x∈[-π2，π2]18．（2021秋•姑苏区校级月考）（1）已知﹣π＜x＜0，sin(π+x)-cosx=-15，求（2）已知α，β∈（0，π），且tan(α-β)=12，tanβ=-17，求2【分析】（1）由题意求出sinx+cosx的值，两边平方求出2sinxcosx的值，再利用平方关系求sinx﹣cosx的值，利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式化简所求即可得解．（2）利用差角的正切公式，求出tanα；利用二倍角公式求出tan2α的值，求出tan（2α﹣β）＝1，再确定﹣π＜2α﹣β＜0，即可求2α﹣β的值．【解答】解：（1）由sin（π+x）﹣cosx=-15，得sinx+cosx∴sin2x+2sinxcosx+cos2x=125，整理得2sinxcosx∴（sinx﹣cosx）2＝1﹣2sinxcosx=49由﹣π＜x＜0，知sinx＜0，又sinx+cosx＞0，∴cosx＞0，∴sinx﹣cosx＜0，∴sinx﹣cosx=-7∴sin2x+2sin（2）∵tan(α-β)=12，∴而：tanβ=-1∴tanα+171-17∴tan2α=2tanα∴tan（2α﹣β）=tan2α-tanβ1+tan2αtanβ∵tanα=13＞0，α∈（0，π），∴0＜α＜π2，0＜∵tan2α=34＞0，∴0＜2∵tanβ=-17＜0，β∈（0，π），∴π2∴﹣π＜2α﹣β＜0，∴2α﹣β=-3π19．（2021秋•上月考）已知π4＜α（1）化简f（α）；（2）若f(α)=-15，求tan2【分析】（1）利用诱导公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可化简得解．（2）由范围π4＜α＜π2，可得sinα【解答】解：（1）f(α)=-2sinα⋅∵π4∴f(α)=-sinα⋅(sinα-cosα)（2）∵π4∴sinα＞cosα＞0，由cosα-sinα=-15sin∴tanα=sinα∴tan2α=2tanα20．（2021秋•浙江期中）已知函数f（x）＝2cos2x﹣23sin(x+π3)⋅sin(π（Ⅰ）求函数y＝f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）求函数y＝f（x）在x∈[0，【分析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）＝sin（2x-π6）（Ⅱ）由题意可求范围2x-π6∈[-π6【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝2cos2x﹣23sin(x+π3)⋅sin(π6-x)=1+cos2x﹣23（12sinx+32cosx）（12cosx-32sinx）=32可得函数y＝f（x）的最小正周期T=2π2令2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ+π2，k∈Z，解得kπ-π6≤x≤kπ+π3，k∈Z，可得单调递增区间为：[（Ⅱ）因为x∈[0，所以2x-π6∈[-π6，5π6]，sin（2x-π6可得f（x）＝sin（2x-π6）+1∈[12，2]，即函数y＝f（x）在x∈[0，π221．（2021秋•东城区校级期中）已知函数f（x）=3（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区