模块06三角函数-2022年高考数学一轮复习小题多维练

模块06三角函数一、单选题1．（2020·上海）为了得到函数的图象，只需把函数，的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）D．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）【答案】C【分析】按照平移变换和周期变换的结论，分别求出四个选项中得到的函数解析式可得答案.【详解】对于，把函数，的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，故不正确；对于，把函数，的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，故不正确；对于，把函数，的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，故正确；对于，把函数，的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，故不正确.故选：C.【点睛】本题考查了三角函数的平移变换与周期变换，属于基础题.2．（2021·上海高三二模）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据解析式可直接判定奇偶性和单调性，得出答案.【详解】对A，根据正弦函数的性质可得是奇函数，在单调递增，故A正确；对B，的定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数，故B错误；对C，在单调递递减，故C错误；对D，的定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数，故D错误.故选：A.3．（2020·上海高三专题练习）已知函数(，)的图像与直线()的三个相邻交点的横坐标依次是1､2､4，下列区间是函数单调递增区间的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据正弦函数的性质与已知的三个交点的横坐标得函数的对称轴与周期，从而可判断各选项．【详解】∵，∴和是函数图象的两条相邻的对称轴，是最大值，是最小值，这样最小正周期是，∴在上递减，在上递增．故选：D．4．（2020·上海市建平中学高三期中）已知，，则下列说法中正确的是（）A．函数不为奇函数 B．函数存在反函数C．函数具有周期性 D．函数的值域为【答案】B【分析】根据，图象与性质，逐一分析选项，即可得答案.【详解】对于A：的定义域关于原点对称，且，，故为奇函数，故A错误；对于B：，在定义域内一一对应，所以，即的反函数为，故B正确；对于C：因为，，故图象为孤立的点，不是连续的曲线，所以不具有周期性，故C错误；对于D：因为，，所以图象为孤立的点，不是连续的曲线，所以的值域为一些点构成的集合，不是R，故D错误.故选：B5．（2020·上海高三专题练习）函数的最小正周期是（）A． B． C．2 D．4【答案】C【分析】的周期为4，的图象是把的x轴下方的图象对称x轴翻到上方，据此可得答案.【详解】∵的周期为4，∴的周期为2，故选：C.【点睛】本题考查三角函数周期的求解，属于基础题.6．（2020·上海南汇中学高三期中）已知函数在上有两个零点，则的值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】化简，由，可得，利用函数零点的对称性可得，即可求得，进而求出的值.【详解】，因为，所以，因为在上有两个零点，所以，所以，所以故选：D【点睛】本题考查了辅助角公式，考查了三角函数的图象与性质，着重考查了函数的零点，求得最关键，属于中档题.7．（2020·上海高三专题练习）设函数则为（）A．周期函数，最小正周期为 B．周期函数，最小正周期为C．周期函数，最小正周期为 D．非周期函数【答案】B【分析】化简三角函数，画出图像，根据图像得到答案.【详解】，画出函数图像，如图所示：根据图像知：函数为周期函数，最小正周期为.故选：.【点睛】本题考查了三角函数周期，画出函数图像是解题的关键.8．（2020·上海高三专题练习）对于定义在上的函数和，有下面几个命题：①若，当n为奇数时，函数是奇函数；②若，当n为偶数时，函数是偶函数：③存在正奇数n和奇函数，满足对任意的x，都有；④存在正偶数n和偶函数，满足对任意的x，都有；⑤存在正整数n，使得与均为单调函数，其中，.其中真命题的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】根据函数的奇偶性进行判断．特称命题可以举一例说明．【详解】在中，，当为奇数时，，是奇函数，①正确；为偶数时，，是偶函数，②正确；令，，则，③正确；若，则，为奇函数，不可能为偶函数，④错误；取，，，均为增函数，且，．⑤正确．正确命题有4个．故选：C．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，注意对于复合函数的奇偶性的表述．如只要证明，即得是奇函数．本题考查学生的逻辑推理能力，分析问题解决问题的能力，属于难题．9．（2020·上海高三其他模拟）若不等式，对于成立，则，分别等于（）A．； B．； C．； D．；【答案】D【分析】设，根据三角函数值的符号，求得函数符号的变化，根据函数的单调性与对称性，求得的值，即可求解.【详解】由，则，当或时，即或时，，当时，即时，，所以当或时，，当时，，设函数，则在上单调递增，在上单调递减，且函数的图象关于直线对称，所以，所以，解得，又由，解得，所以，.故选：D.【点睛】本题主要考查了三角函数值的计算，以及函数的单调性与对称性的应用，根据三角函数的符号，求得函数的单调性与对称性是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于较难题.二、填空题10．（2020·上海师大附中）若函数的最小正周期为，则实数的值为____.【答案】【分析】利用来求解.【详解】因为函数的最小正周期为，所以，都有成立，故，则.故答案为：.11．（2018·上海市奉贤区奉城高级中学高三期中）如图，已知函数的图象如图所示，则函数解析式可以是______.【答案】【分析】先求出周期，再由周期求出，再由求出.【详解】，，即，故答案为：12．（2020·上海松江·高三一模）从以下七个函数：中选取两个函数记为和，构成函数，若的图像如图所示，则____.【答案】【分析】由函数的定义域排除，，再由的图象过定点及图象的变化情况，分析与，或与是否经过得结论．【详解】由图象可知，函数的定义域为，故排除，，又由的图象过定点，由函数图象，可得当时，且为增函数，当时，大于0与小于0交替出现，若时，此时函数的图象不过定点，因为过，且当时，，当时，，若包含，当时，，不满足过点，若包含，此时函数不满足时，大于0与小于0交替出现，若包含，此时函数不满足时，大于0与小于0交替出现，所以只有满足条件．故答案为：．13．（2020·上海市嘉定区第二中学高三期中）将函数图象上的所有的点向左平移个单位长度后，得到函数g(x)的图象，如果g(x)在区间上单调递减，那么实数a的最大值为_________.【答案】【分析】求出的平移后的解析式，再利用函数在区间上是单调递减函数，从而得到的最大值.【详解】由题意，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，因为函数在区间上是单调递减，所以，解得，所以实数的最大值为.故答案为：.14．（2020·上海市三林中学高三期中）已知，其中，，，均为非零实数，若，则________.【答案】0【分析】由题设条件结合周期性及诱导公式运算即可得解.【详解】由题意，，所以，所以.故答案为：0.15．（2020·上海市控江中学高三月考）设，若函数是奇函数，则________．【答案】【分析】利用两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合奇函数的定义得出结论．【详解】，函数为奇函数，则，，又，所以．故答案为：．【点睛】本题考查正弦型函数在奇偶性，考查两角和的正弦公式，掌握正弦函数的奇偶性是解题关键．16．（2020·上海大学附属中学高三三模）已知，其中，则的取值集合为________【答案】【分析】利用正弦函数的性质求得，再利用反余弦函数的性质可得结果.【详解】由，即，即，即，由，可得，即的取值集合为，故答案为：【点睛】本题主要考查正弦函数的性质求与反余弦函数的性质及其应用，属于基础题.17．（2020·上海市进才中学高三期中）已知定义在上的函数是减函数，其中，则当取最大值时，的值域是______.【答案】【分析】先求出函数单调减区间的一般形式，根据函数在的单调性可得，利用整体法可求当取最大值时，的值域．【详解】，令，则，故的减区间为，由题设可得为的子集，故且，故，故，当时，，故，故的值域为．故答案为：．【点睛】关键点点睛：正弦型函数在给定范围（含参数）上的单调性可由单调区间的一般形式得到参数满足的条件，这是解决此类问题的通法．18．（2020·上海市七宝中学高三期中）设函数，，若恰有个零点，则下述结论中：①恒成立，则的值有且仅有个；②存在，使得在上单调递增；③方程一定有个实数根，其中真命题的序号为_________.【答案】①②③【分析】可把中的整体当作来分析，结合三角函数的图象与性质即可得解．【详解】由于恰有4个零点，令，，由有4个解，则，解得，①即，由上述知，故的值有且仅有个，正确；②当时，，当时，，解得，又，故存在，使得在上单调递增，正确；③，而，所以可取，共4个解，正确，综上，真命题的序号是①②③.故答案为：①②③.【点睛】三角函数的性质分析一般用数形结合，图象的简化十分重要。本题考查命题真假的判断，考查三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．（2020·上海高三一模）设函数，给出下列的结论：①当时，为偶函数；②当时，在区间上是单调函数；③当时，在区间上恰有3个零点；④当时，设在区间上的最大值为，最小值为，则．则所有正确结论的序号是_________．【答案】①④【分析】①当时，，由偶函数的定义判断①正确；②当时，，由复合函数的单调性判断②错误；③当时，，求得函数的零点判断③错误；④当时，，令，求其最大值判断④正确.【详解】①当时，，定义域为，且，函数为偶函数，故①正确；②当时，，由，得，则在上不单调，故②错误；③当时，，由，即，则，，共四个零点，故③错误；④当时，，周期，区间的长度为，即为周期，所以当区间为函数的单调递增区间或单调递减区间时，最大，令，即，故④正确；故答案为：①④.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关型函数的图象与性质，解题思路如下：（1）首先根据题意，化简整理函数解析式；（2）结合函数解析式，根据相应正、余弦函数的性质，对照判断其正误；（3）在解题的过程中，化简函数解析式，熟练掌握基础知识是正确解题的关键三、解答题20．（2020·上海高三专题练习）已知函数，且.（1）求函数的最小正周期；（2）求在上的最大值和最小值.【答案】（1）；（2），.【分析】（1）利用倍角公式降幂，求得，再利用，得到等量关系式，求得，之后利用辅助角公式化简，可求得函数的最小正周期；（2）由的范围，得到相应整体角的范围，进一步求得在上的最大值和最小值.【详解】（1），∵，∴，解得，∴，∴函数的最小正周期为.（2）∵，∴，∴.∴当，即时，，当，即时，.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关三角函数的问题，解题思路如下：（1）利用正、余弦倍角公式降幂，利用条件求相应参数值，利用辅助角公式化简函数解析式；（2）利用函数的性质，得到其最小正周期；（3）根据自变量的范围，求得整体角的范围，结合正弦函数的性质，求得函数的最值.21．（2020·上海市控江中学高三月考）已知函数，如果对于定义域内的任意实数，对于给定的非零常数，总存在非零常数，恒有成立，则称函数是上的级递减周期函数，周期为．若恒有成立，则称函数是上的级周期函数，周期为．（1）已知函数是上的周期为1的2级递减周期函数，求实数的取值范围；（2）已知，是上级周期函数，且是上的单调递增函数，当时，，求实数的取值范围；（3）是否存在非零实数，使函数是上的周期为的级周期函数？请证明你的结论．【答案】（1）；（2）；（3）存在，证明见解析.【分析】（1）根据题目所给级递减周期函数的概念可知，然后转化为二次不等式恒成立问题求解；（2）依据函数的周期及当时，，计算出当时的解析式，继而可得出时函数的解析式，然后结合增减性确定的取值范围；（3）若函数是上的周期为的级周期函数，则有对一切实数恒成立，则，整理得：对一切实数恒成立，根据三角函数的性质可知，然后针对和分类讨论求解.【详解】解：（1）由题意可知：，即对恒成立