2024-2025学年甘肃省张掖市高二上学期开学质量检测数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1甘肃省张掖市2024-2025学年高二上学期开学质量检测数学试卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知，分别为的边，的中点，若，，则点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，分别为AB，AC的中点，所以.设Ex,y，又，所以，即解得即点的坐标为.故选：A.2.盒中有3个大小质地完全相同的球，其中1个白球、2个红球，从中不放回地依次随机摸出2个球.则恰好摸出一个红球一个白球的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】记1个白球为，2个红球分别为，，现从中不放回地依次随机摸出2个球，则可能结果有，共6个，其中恰好摸出一个红球一个白球的有，共4个，所以恰好摸出一个红球一个白球的概率，故C正确.故选：C.3.设，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，平方可得:，解得.故选：C.4.在等差数列中，若，则（）A.10 B.5 C. D.【答案】B【解析】因为为等差数列，所以，因为，所以，解得：.选B.5.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这些节气的日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为尺，前九个节气日影长之和为尺，则小满日影长为（）A.尺 B.尺 C.尺 D.尺【答案】B【解析】从冬至日起，依次构成等差数列，设为，由题意得：，解得，又冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺：，所以，所以，所以，故选：B.6.从1，2，3，4中任取2个数，设事件“2个数都为偶数”，“2个数都为奇数”，“至少1个数为奇数”，“至少1个数为偶数”，则下列结论正确的是（）A.与是互斥事件 B.与是互斥但不对立事件C.与是互斥事件 D.与是对立事件【答案】A【解析】根据题意样本空间，，，，，则，所以与是互斥事件，正确；，，所以与是互斥且对立事件，错误；，所以与不是互斥事件，C错误；，所以与不是对立事件，D错误.故选：A.7.已知三棱锥中，平面，，，，则此三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在三棱锥中，平面，，，，设底面的外接圆的半径为，三棱锥外接球的半径为，由正弦定理得，可得，所以，则外接球的表面积为.故选：D.8.在中，点是线段上一点，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，且点是线段上一点，即，，三点共线，所以，解得.故选：C.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知复数，则（）A.的虚部是 B.C.在复平面内对应的点位于第二象限 D.是纯虚数【答案】BC【解析】由，易知的虚部是3，故A错误；，故B正确；在复平面内对应的点为，位于第二象限，故C正确；，是实数不是纯虚数，故D错误.故选：BC.10.下列各式的值为的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】对于A，，A正确；对于B，，B错误；对于C，，C正确；对于D，，D正确.故选：ACD.11.如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，是线段上的动点，则下列判断正确的是（）A.三棱锥的体积是定值B.过，，三点平面截正方体所得的截面是六边形C.存在唯一的点，使得D.与平面所成的角为定值【答案】AC【解析】因为是线段上的动点，而且，所以的面积为定值，又点到平面的距离为定值，，所以三棱锥的体积是定值，A正确；过作分别交，的延长线于，，连接，，如图，为，的交点，为，的交点，所以截面为五边形，B错误；在上运动，当时，，而为中点，所以当为中点时，，故存在唯一的点使得，C正确；由，平面，平面，则平面，所以到平面的距离一定，而长度随运动会变化，故与平面所成的角不为定值，D错误.故选：AC.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则该圆锥的体积为____.【答案】【解析】设圆锥的母线长为2，它的侧面展开图为半圆，半圆的弧长为：，即圆锥的底面周长为：，设圆锥的底面半径是r，高为，则得到，解得：，这个圆锥的底面半径是1，所以圆锥的高.所以圆锥的体积为：.13.在中，点为线段的中点，若，，，则______.【答案】【解析】由是线段的中点，得.在中，由余弦定理得，从而，所以所以，即.14.______．【答案】【解析】由四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.在等差数列中，，．（1）求数列的首项和公差；（2）设数列的前n项和为，求的最小值及取最小值时n的值．解：（1）设等差数列an公差为，因为，，可得，记得，所以数列an的首项为，公差为．（2）由（1）知，可得，因为，所以或时，取得最小值．16.一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg），将全部数据按区间50,60，60,70，…，90,100分成5组，得到下图所示的频率分布直方图．（1）求图中a的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）若一次进货太多，水果不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求．店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）．请问，每天应该进多少水果？解：（1）由直方图可得，样本落在，，…，的频率分别为，，0.2，0.4，0.3，由，解得．则样本落在，，…，频率分别为0.05，0.05，0.2，0.4，0.3，所以，该苹果日销售量的平均值为:（2）为了能地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的分位数．方法1：依题意，日销售量不超过的频率为，则该店苹果日销售量的分位数在，设为，则，解得．所以，每天应该进苹果．方法2：依题意，日销售量不超过的频率为，则该店苹果日销售量的分位数在，所以日销售量的分位数为．所以，每天应该进苹果．17.某校团委举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，，在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.（1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.解：（1）记事件表示“甲在第一轮比赛中胜出”，事件表示“甲在第二轮比赛中胜出”，事件表示“乙在第一轮比赛中胜出”，事件表示“乙在第二轮比赛中胜出”，所以表示“甲赢得比赛”，，表示“乙赢得比赛”，，因为，所以派乙参赛赢得比赛概率更大；（2）记表示“甲赢得比赛”，表示“乙赢得比赛”,由（1）知，，所以表示“两人中至少有一个赢得比赛”，所以，所以两人至少一人赢得比赛的概率为.18.如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面.，是中点.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离；（3）求二面角的正切值.解：（1）连接，交于点，连接，因为四边形为正方形，所以为中点.又因为是中点，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）因为平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离.因为是中点，且平面，所以点到平面的距离为.因为平面，平面，所以，因为四边形为正方形，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以，.设点到平面的距离为，则，即，代入得，所以点到平面的距离为.（3）连接，为的中点，又是中点，所以，因为平面，所以平面，又平面，所以，，连接，，为的中点，则，由已知，所以，又平面，，所以平面，平面，所以，所以为二面角的平面角，因为，，，所以，所以二面角正切值为.19.记的内角的对边分别为.已知.（1）求，的值（2）若是线段上的一点，，，且内角，求的最小值.解：（1）由余弦定理，，得.又，所以，即.由正弦定理，得，整理得，所以.因为，所以.因为，所以.所以.（2）由题意，得，所以，所以，则，所以，即①，又由余弦定理得②，①②得，令，又，所以，所以，所以，所以，所以.令，因为，令，则，令，当时，，当时，（且），由对勾函数性质可得当时，单调递减，故，所以，故，同理当时，，所以，故，综上，，所以，所以，即当，取最小值，此时，又，所以，所以当为等边三角形时，最小，最小值为.甘肃省张掖市2024-2025学年高二上学期开学质量检测数学试卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知，分别为的边，的中点，若，，则点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，分别为AB，AC的中点，所以.设Ex,y，又，所以，即解得即点的坐标为.故选：A.2.盒中有3个大小质地完全相同的球，其中1个白球、2个红球，从中不放回地依次随机摸出2个球.则恰好摸出一个红球一个白球的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】记1个白球为，2个红球分别为，，现从中不放回地依次随机摸出2个球，则可能结果有，共6个，其中恰好摸出一个红球一个白球的有，共4个，所以恰好摸出一个红球一个白球的概率，故C正确.故选：C.3.设，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，平方可得:，解得.故选：C.4.在等差数列中，若，则（）A.10 B.5 C. D.【答案】B【解析】因为为等差数列，所以，因为，所以，解得：.选B.5.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这些节气的日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为尺，前九个节气日影长之和为尺，则小满日影长为（）A.尺 B.尺 C.尺 D.尺【答案】B【解析】从冬至日起，依次构成等差数列，设为，由题意得：，解得，又冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺：，所以，所以，所以，故选：B.6.从1，2，3，4中任取2个数，设事件“2个数都为偶数”，“2个数都为奇数”，“至少1个数为奇数”，“至少1个数为偶数”，则下列结论正确的是（）A.与是互斥事件 B.与是互斥但不对立事件C.与是互斥事件 D.与是对立事件【答案】A【解析】根据题意样本空间，，，，，则，所以与是互斥事件，正确；，，所以与是互斥且对立事件，错误；，所以与不是互斥事件，C错误；，所以与不是对立事件，D错误.故选：A.7.已知三棱锥中，平面，，，，则此三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在三棱锥中，平面，，，，设底面的外接圆的半径为，三棱锥外接球的半径为，由正弦定理得，可得，所以，则外接球的表面积为.故选：D.8.在中，点是线段上一点，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，且点是线段上一点，即，，三点共线，所以，解得.故选：C.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知复数，则（）A.的虚部是 B.C.在复平面内对应的点位于第二象限 D.是纯虚数【答案】BC【解析】由，易知的虚部是3，故A错误；，故B正确；在复平面内对应的点为，位于第二象限，故C正确；，是实数不是纯虚数，故D错误.故选：BC.10.下列各式的值为的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】对于A，，A正确；对于B，，B错误；对于C，，C正确；对于D，，D正确.故选：ACD.11.如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，是线段上的动点，则下列判断正确的是（）A.三棱锥的体积是定值B.过，，三点平面截正方体所得的截面是六边形C.存在唯一的点，使得D.与平面所成的角为定值【答案】AC【解析】因为是线段上的动点，而且，所以的面积为定值，又点到平面的距离为定值，，所以三棱锥的体积是定值，A正确；过作分别交，的延长线于，，连接，，如图，为，的交点，为，的交点，所以截面为五边形，B错误；在上运动，当时，，而为中点，所以当为中点时，，故存在唯一的点使得，C正确；由，平面，平面，则平面，所以到平面的距离一定，而长度随运动会变化，故与平面所成的角不为定值，D错误.故选：AC.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则该圆锥的体积为____.【答案】【解析】设圆锥的母线长为2，它的侧面展开图为半圆，半圆的弧长为：，即圆锥的底面周长为：，设圆锥的底面半径是r，高为，则得到，解得：，这个圆锥的底面半径是1，所以圆锥的高.所以圆锥的体积为：.13.在中，点为线段的中点，若，，，则______.【答案】【解析】由是线段的中点，得.在中，由余弦定理得，从而，所以所以，即.14.______．【答案】【解析】由四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.在等差数列中，，．（1）求数列的首项和公差；（2）设数列的前n项和为，求的最小值及取最小值时n的值．解：（1）设等差数列an公差为，因为，，可得，记得，所以数列an的首项为，公差为．（2）由（1）知，可得，因为，所以或时，取得最小值．16.一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg），将全部数据按区间50,60，60,70，…，90,100分成5组，得到下图所示的频率分布直方图．（1）求图中a的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）若一次进货太多，水果不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求．店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）．请问，每天应该进多少水果？解：（1）由直方图可得，样本落在，，…，的频率分别为，，0.2，0.4，0.3，由，解得．则样本落在，，…，频率分别为0.05，0.05，0.2，0.4，0.3，所以，该苹果日销售量的平均值为:（2）为了能地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的分位数．方法1：依题意，日销售量不超过的频率为，则该店苹果日销售量的分位数在，设为，则，解得．所以，每天应该进苹果．方法2：依题意，日销售量不超过的频率为，则该店苹果日销售量的分位数在，所以日销售量的分位数为．所以，每天应该进苹果．17.某校团委举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，，在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.（1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.解：（1）记事件表示“甲在第一轮比赛中胜出”，事件表示“甲在第二轮比赛中胜出”，事件表示“乙在第一轮比赛中胜出”，事件表示“乙在第二轮比赛中胜出”，所以表示“