《5 数学广角-鸽巢问题》试卷及答案-小学数学六年级下册-人教版-2024-2025学年

《5数学广角——鸽巢问题》试卷(答案在后面)一、选择题（本大题有6小题，每小题2分，共12分）1、一个袋子里有红、绿、蓝三种颜色的球各若干个，任意取出多少个球就可以保证至少有2个球颜色相同？A.3B.4C.5D.62、将10本书放入3个抽屉中，至少有一个抽屉里会有多少本书？A.3B.4C.5D.63、把6个苹果放在3个盘子里，至少有一个盘子里的苹果数是：A.1个B.2个C.3个D.4个4、某班级有20名学生，他们参加篮球、足球和乒乓球三个运动项目中至少一个，且每个学生都报名了两个项目。如果正好有6名学生只报名了足球和乒乓球两个项目，那么报名了足球项目的学生人数最多可能是：A.8人B.9人C.10人D.11人5、某学校为了提高学生运动能力，组织了一次跳绳比赛。比赛规定，跳绳动作要连续，不能中断。现有6名参赛选手，他们的跳绳速度分别是：每分钟跳60个、70个、80个、90个、100个、110个。为了使比赛时间最短，至少应安排几名选手同时跳绳？（）A.1名B.2名C.3名D.4名6、小红有12个红苹果，小华有15个绿苹果，他们要把苹果分给附近几名小学生。如果每个孩子至少分到一个苹果，那么至多能分给多少名小学生？（）A.4名B.6名C.7名D.8名二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）1、3、4、5、6、7、8、9这10个连续的自然数，如果每个数都要放入3个抽屉中，那么至少有一个抽屉里有____个数字。2、将100个苹果分给5个小朋友，每个小朋友至少分得10个苹果，那么至少有一个小朋友分得____个苹果。3、根据鸽巢原理，若把5双相同颜色的鞋子放入4个不同的箱子中，至少有一个箱子中放的鞋子对数是______对。4、在自然数列1、2、3、…、n中，如果将这n个数分成若干组，每一组中的最大数与最小数的差恰好为16，那么n最小可以是______。5、在鸽巢问题中，如果有10个鸽巢和15只鸽子，那么至少会有______只鸽子在同一个鸽巢里。6、将5个连续的正整数放入4个抽屉中，那么至少有一个抽屉里包含的连续整数个数是______。三、计算题（本大题有5小题，每小题4分，共20分）1、有10个苹果和15个橘子，要将这些水果放入5个相同的箱子里，每个箱子最多能放5个水果。请计算至少需要多少个箱子才能确保每个箱子里的水果不超过5个？2、小华有20枚相同的金币，他想要将这些金币放入几个不同的袋子中，使得每个袋子里的金币数尽可能多，但不超过4枚。请问小华最少需要多少个袋子？3、有10个抽屉，分别编号为1到10，现有36个苹果要放入这些抽屉中。如果每个抽屉至少放一个苹果，那么至少有多少个苹果在同一个抽屉里？4、有8个抽屉，分别编号为A、B、C、D、E、F、G、H，要将28个相同的球放入这些抽屉中。如果每个抽屉至少放一个球，那么至少有多少个球在同一个抽屉里？5、有红、黄、蓝三种颜色的珠子各12颗，要放入4个盒子里，每盒中装有不同颜色的珠子，请问至少要放入几个盒子里，才能保证至少有一个盒子里的珠子数量超过3颗？四、操作题（本大题有2小题，每小题7分，共14分）第一题题目：将10只相同的鸽子放入5个不同的鸽巢中，至少有一个鸽巢中有多于两只鸽子。请计算至少有多少只鸽子在同一个鸽巢中。第二题小华家附近有三个停车场，分别为A、B、C。A停车场最多能停车20辆，B停车场最多能停车15辆，C停车场最多能停车18辆。现在小华有30辆车需要停进这三个停车场。请问最少需要几个停车场才能保证所有车辆都能停进去？五、解答题（本大题有5小题，每小题6分，共30分）第一题某学校有6个班级，每个班级都要参加数学竞赛。如果每个班级可以派出5名学生参加比赛，那么请问至少需要准备多少个奖牌才能确保至少有一个班级所有的参赛学生都能获得奖牌？第二题题目：有8个盒子，每个盒子里可以装任意数量的球，问至少需要多少个球，才能保证有至少一个盒子里的球不少于5个？解析：要解决这个问题，我们可以应用鸽巢原理。鸽巢原理的一个常见的表述是：如果有n个箱子，每个箱子都装入至少k+1个相同物品，那么至少有一个箱子装有k+1个该种物品。在这里，我们要解决的问题是，至少需要多少个球才能保证至少有一个盒子中有不少于5个球，可以转化为“要把球均匀地分配到各个盒子中，使每个盒子中的球数量尽可能均匀，然后在下一个增加的球数中，确保至少有一个盒子的球数达到或超过5个”。也就是说，如果每个盒子里最多放4个球，我们能放多少个？由于有8个盒子，每个盒子最多放4个球，那么最多可以放入8×所以，为了保证至少有一个盒子的球数不少于5个，我们需要再增加1个球。这样，总共有32+所以，答案是：至少需要33个球。第三题有12只鸽子，如果要用10个盒子来装，至少有2个盒子里装着相同的只数的鸽子，求最多有多少个盒子是装着1只鸽子的？第四题题目：有15颗相同的糖果要放进4个相同的盒子里，问至少需要放几颗糖果，才能保证至少有一个盒子里的糖果数不少于4颗？第五题题目：有10个小朋友一起去参加数学竞赛，比赛共有5个奖项，分别是特等奖1个，一等奖2个，二等奖2个，三等奖1个。请问，至少有多少个小朋友获得了奖项？《5数学广角——鸽巢问题》试卷及答案一、选择题（本大题有6小题，每小题2分，共12分）1、一个袋子里有红、绿、蓝三种颜色的球各若干个，任意取出多少个球就可以保证至少有2个球颜色相同？A.3B.4C.5D.6答案：B解析：鸽巢原理表明，如果有n+1件物品要放入n个盒子中，那么至少有一个盒子中会有两件或两件以上的物品。这里，盒子里的“盒子”指的是三种颜色的球，物品指的是取出的球。为了保证至少有两个球颜色相同，我们考虑最坏的情况——前三个球分别是一红一绿一蓝，第四个球无论如何都会与之前的球颜色相同。因此，至少需要取出4个球。2、将10本书放入3个抽屉中，至少有一个抽屉里会有多少本书？A.3B.4C.5D.6答案：B解析：同样地，应用鸽巢原理。如果有n+1件物品放入n个盒子，那么至少有一个盒子中会有两件或两件以上的物品。把10本书放入3个抽屉中，最坏的情况是每个抽屉都放进了尽可能少的书，即首先每个抽屉放3本，还剩下1本。这最后一本书无论如何都会放入一个抽屉，使得至少有一个抽屉里的书不少于2本+1本=4本。因此，至少有一个抽屉里会有4本书。3、把6个苹果放在3个盘子里，至少有一个盘子里的苹果数是：A.1个B.2个C.3个D.4个答案：C解析：根据鸽巢原理，如果有n个苹果要放在m个盘子里，那么至少会有一个盘子里放有⌈n/m⌉个苹果（“⌈⌉”表示向上取整）。这里n=6个苹果，m=3个盘子，所以至少有一个盘子里会有⌈6/3⌉=2个苹果。4、某班级有20名学生，他们参加篮球、足球和乒乓球三个运动项目中至少一个，且每个学生都报名了两个项目。如果正好有6名学生只报名了足球和乒乓球两个项目，那么报名了足球项目的学生人数最多可能是：A.8人B.9人C.10人D.11人答案：D解析：由于每个学生都报了两个项目，所以报名了足球项目的学生人数最多的情况是其余项目（篮球和乒乓球）的学生都不报名足球项目。又因为有6名学生只报名了足球和乒乓球两个项目，这6人不能算在报名了足球项目的学生中。所以，报名了足球项目的学生人数最多是20（总人数）-6（只报名足球和乒乓车的学生）=14人。但是题目中说报名足球项目的学生人数最多，所以我们需要从剩余报名了两个项目的学生中选尽可能多的足球项目。如果其他项目（篮球和乒乓球）的学生都报了足球项目，则报名足球项目的学生最多有14+6=20人。但是班级总人数只有20人，因此不能有全部其他项目的学生都报名了足球项目。所以最接近20人的选项是11人，即选D。5、某学校为了提高学生运动能力，组织了一次跳绳比赛。比赛规定，跳绳动作要连续，不能中断。现有6名参赛选手，他们的跳绳速度分别是：每分钟跳60个、70个、80个、90个、100个、110个。为了使比赛时间最短，至少应安排几名选手同时跳绳？（）A.1名B.2名C.3名D.4名答案：B解析：为了保证每位选手的平均速度最高，应该让跳绳速度相近的选手组合在一起跳绳。根据题目中给出的跳绳速度，最优的分组方案为将跳绳速度为70个和110个的选手分成一组，速度为80个和100个的选手分成一组，剩下一个速度为90个的选手单独一组。每个组内选手的跳绳速度差为40个，组合后至少有2名选手同时跳绳，这样可以使整个比赛时间最短。6、小红有12个红苹果，小华有15个绿苹果，他们要把苹果分给附近几名小学生。如果每个孩子至少分到一个苹果，那么至多能分给多少名小学生？（）A.4名B.6名C.7名D.8名答案：C解析：小红和小华一共有的苹果数量为12+15=27个。要使分给的小学生人数尽可能多，那么每个小学生得到的苹果数量应该尽可能少，因为每个孩子至少分到一个苹果。所以，至多能分给的小学生人数为苹果总数除以每个孩子至少得到的苹果数，即27÷1=27名。但是题目中要求每个孩子至少分到一个苹果，因此要减去一个苹果，最终至多能分给27-1=26名小学生。因为小学生必须是整数，所以实际上是分给7名小学生，因此选C。二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）1、3、4、5、6、7、8、9这10个连续的自然数，如果每个数都要放入3个抽屉中，那么至少有一个抽屉里有____个数字。答案：4解析：根据鸽巢原理，如果有n个物品要放入m个抽屉，且n>m，那么至少有一个抽屉里有不止一个物品。在这个问题中，有10个数字和3个抽屉，因此至少有一个抽屉里有10/3=3.33个数字。由于数字不能分割，所以至少有一个抽屉里有4个数字。2、将100个苹果分给5个小朋友，每个小朋友至少分得10个苹果，那么至少有一个小朋友分得____个苹果。答案：22解析：首先确保每个小朋友至少分得10个苹果，那么5个小朋友总共至少分得5×10=50个苹果。剩下的苹果数量是100-50=50个。将这50个苹果平均分配给5个小朋友，每人还能额外分得50/5=10个苹果。因此，至少有一个小朋友总共分得10（基础分配）+10（额外分配）=20个苹果。但是，为了达到题目中的“至少”，我们需要将剩下的苹果再分配一个给某个小朋友，这样至少有一个小朋友分得20+1=21个苹果。但是题目要求是“至少一个小朋友分得____个苹果”，所以我们需要考虑最不利的情况，即剩下的苹果再分配后，只能再给一个小朋友分一个，这样至少有一个小朋友分得21+1=22个苹果。3、根据鸽巢原理，若把5双相同颜色的鞋子放入4个不同的箱子中，至少有一个箱子中放的鞋子对数是______对。答案：2对解析：鸽巢原理（箱子原理）告诉我们，如果将n+1个或更多的物体放入n个箱子中，那么至少有一个箱子中会含有两个或更多的物体。在这个问题中，我们有5双鞋子，即10个鞋子要放入4个箱子，根据鸽巢原理，至少有一个箱子需要包含2双鞋子，即至少是2对。4、在自然数列1、2、3、…、n中，如果将这n个数分成若干组，每一组中的最大数与最小数的差恰好为16，那么n最小可以是______。答案：40解析：要找到最小的n，使得在这些自然数中可以找到若干组，每组中最大数与最小数的差为16。最小的满足条件的n可以通过将最小的差值16分配给相邻的数来逐个测试。例如，对于n=18，我们可以这样分组：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18分组为：(1,16),(2,17),(3,18),(4,5),(6,7),(8,9),(10,11),(12,13),(14,15)在这种分组中，每个组的最小数和最大数的差为15，因为最小的数是1，最大的数是18，它们的差是17。这表明n必须至少为18。对于n=19，最小的数和最大的数的差是18，但这不足以满足题目要求的最大数与最小数之差为16的条件。对于n=20，最小的数是1，最大的数是20，它们的差是19，但题目要求的是每组最大数与最小数的差为16，这意味着每组需要一个由15个连续自然数组成的序列（例如1到15），然后是16、17和18。因此，我们可以有：1,2,3,…,15,16,17这样的分组可以是：(1,16),(2,17),(3,18),…,(15,30)在这种情况下，我们使用了一个完整的15个数的序列来得到16,17,18，但是题目中要求的是组内最大数与最小数的差，所以我们需要16,17在同一个组内，然后用剩下的数(19,20)来填充，但是19和20之间的差是1，不是16。继续这个过程，我们发现n=40可以满足条件，因为可以有以下分组：1,2,3,…,15,16,17,18,19,20,21分组为：(1,16),(2,17),(3,18),…,(15,30),(16,31),(17,32),(18,33),(19,34),(20,35),(21,36)这样每一组的最大数与最小数之差都是16，满足题目要求。因此，n的最小值是40。5、在鸽巢问题中，如果有10个鸽巢和15只鸽子，那么至少会有______只鸽子在同一个鸽巢里。答案：2解析：根据鸽巢原理，如果将15只鸽子放入10个鸽巢中，那么至少会有一个鸽巢里放有2只或更多的鸽子。可以通过计算每个鸽巢平均放多少只鸽子来得出这个结论：15只鸽子除以10个鸽巢等于1.5只，但由于鸽子不能分割，所以至少有一个鸽巢会有2只鸽子。6、将5个连续的正整数放入4个抽屉中，那么至少有一个抽屉里包含的连续整数个数是______。答案：3解析：考虑最小的连续整数情况，即1,2,3,4,5。将这些数放入4个抽屉中，如果每个抽屉放一个数，那么每个抽屉里的连续整数个数都是1。但是，由于只有5个数而抽屉有4个，必然有一个抽屉会包含两个连续的数，即至少有3个连续的整数在同一个抽屉里。因此，至少有一个抽屉包含的连续整数个数是3。三、计算题（本大题有5小题，每小题4分，共20分）1、有10个苹果和15个橘子，要将这些水果放入5个相同的箱子里，每个箱子最多能放5个水果。请计算至少需要多少个箱子才能确保每个箱子里的水果不超过5个？答案：10个箱子解析：由于每个箱子最多放5个水果，所以将10个苹果和15个橘子加起来共有25个水果。将25个水果均匀分配到5个箱子里，每个箱子放5个，刚好需要10个箱子。如果只放9个箱子，那么最后一个箱子里将放6个水果，超过了每个箱子5个的限制。2、小华有20枚相同的金币，他想要将这些金币放入几个不同的袋子中，使得每个袋子里的金币数尽可能多，但不超过4枚。请问小华最少需要多少个袋子？答案：6个袋子解析：为了使每个袋子里的金币数尽可能多，但不超过4枚，我们可以尝试将金币数分配如下：4枚、4枚、4枚、4枚、4枚、4枚。这样总共需要6个袋子。如果只放5个袋子，那么至少有一个袋子将放5枚金币，超过了每个袋子4枚的限制。因此，最少需要6个袋子。3、有10个抽屉，分别编号为1到10，现有36个苹果要放入这些抽屉中。如果每个抽屉至少放一个苹果，那么至少有多少个苹果在同一个抽屉里？答案：5个解析：这是一个典型的鸽巢原理问题。根据鸽巢原理，如果有n个抽屉和m个苹果，且m>n，那么至少有一个抽屉里放有⌈m/n⌉个苹果。在这个问题中，n=10（抽屉数），m=36（苹果数）。所以，至少有一个抽屉里放有⌈36/10⌉=4个苹果。但是题目要求每个抽屉至少放一个苹果，这意味着实际上最少有一个抽屉里会有5个苹果（因为36不能被10整除，所以会有一个抽屉多出1个苹果）。4、有8个抽屉，分别编号为A、B、C、D、E、F、G、H，要将28个相同的球放入这些抽屉中。如果每个抽屉至少放一个球，那么至少有多少个球在同一个抽屉里？答案：4个解析：同样使用鸽巢原理。这里n=8（抽屉数），m=28（球数）。根据鸽巢原理，至少有一个抽屉里放有⌈m/n⌉个球。计算得到⌈28/8⌉=4。因此，至少有一个抽屉里有4个球。由于每个抽屉至少放一个球，且28不能被8整除，所以至少有一个抽屉里会有4个球。5、有红、黄、蓝三种颜色的珠子各12颗，要放入4个盒子里，每盒中装有不同颜色的珠子，请问至少要放入几个盒子里，才能保证至少有一个盒子里的珠子数量超过3颗？答案：至少需要放入4个盒子里，才能保证至少有一个盒子里的珠子数量超过3颗。解析：要让某个盒子里的珠子数量超过3颗，那么这个盒子至少需要有4颗珠子。而每种颜色的珠子都有12颗。如果每个盒子里只放入3颗珠子，那么4个盒子最多只能放入4×四、操作题（本大题有2小题，每小题7分，共14分）第一题题目：将10只相同的鸽子放入5个不同的鸽巢中，至少有一个鸽巢中有多于两只鸽子。请计算至少有多少只鸽子在同一个鸽巢中。答案：至少有3只鸽子在同一个鸽巢中。解析：根据鸽巢原理（又称狄利克雷抽屉原理），如果要把n只鸽子放入m个鸽巢中，且n>在本题中，有10只鸽子和5个鸽巢，所以n=10且m=为了使一个鸽巢中包含的鸽子数最少，我们尽可能均匀地分配鸽子。前两个鸽巢中每个放入2只鸽子，即2+2=4只，剩下的鸽子数为10-4=6只。接下来，将剩下的6只鸽子放入剩下的3个鸽巢中，每个鸽巢至少放入2只，那么这3个鸽巢中每个至少有2只鸽子，即2+2+2=6只。因此，最少的鸽子数在同一个鸽巢中是3只，即至少有3只鸽子在同一个鸽巢中。第二题小华家附近有三个停车场，分别为A、B、C。A停车场最多能停车20辆，B停车场最多能停车15辆，C停车场最多能停车18辆。现在小华有30辆车需要停进这三个停车场。请问最少需要几个停车场才能保证所有车辆都能停进去？答案：最少需要2个停车场。解析：首先，我们可以计算出如果所有车辆都停在一个停车场最少需要多少辆车，即20+15+18=53辆。这意味着只要车辆总数不超过53辆，就一定能够将这些车停进三个停车场中的一个。由于小华有30辆车，远低于53辆，因此只需要任何一个停车场都能满足停车需求。现在我们来看看最少需要几个停车场：1.如果将车辆都停进A停车场，需要20辆车，所以1个停车场就足够。2.如果将车辆都停进B停车场，需要15辆车，所以1个停车场也足够。3.如果将车辆都停进C停车场，需要18辆车，所以1个停车场也足够。综上所述，无论选择哪个停车场，只需要1个停车场就能保证所有车辆都停进去。因此，正确答案是1个停车场。五、解答题（本大题有5小题，每小题6分，共30分）第一题某学校有6个班级，每个班级都要参加数学竞赛。如果每个班级可以派出5名学生参加比赛，那么请问至少需要准备多少个奖牌才能确保至少有一个班级所有的参赛学生都能获得奖牌？答案：至少需要准备30个奖牌。解析：每个班级可以派出5名学生，共有6个班级，所以总共可以派出6×5=30名学生。在最不利的情况下，每个班级的5名学生都获得了奖牌，那么就需要准备与参赛学生数量相等的奖牌。因此，至少需要准备30个奖牌。如果只准备29个奖牌，那么至少会有一个班级的所有学生无法获得奖牌。所以，确保每个班级所有参赛学生都能获得奖牌，至少需要准备30个奖牌。第二题题目：有8个盒子，每个盒子里可以装任意数量的球，问至少需要多少个球，才能保证有至少一个盒子里的球不少于5个？解析：要解决这个问题，我们可以应用鸽巢原理。鸽巢原理的一个常见的表述是：如果有n个箱子，每个箱子都装入至少k+1个相同物品，那么至少有一个箱子装有k+1个该种物品。在这里，我们要解决的问题是，至少需要多少个球才能保证至少有一个盒子中有不少于5个球，可以转化为“要把球均匀地分配到各个盒子中，使每个盒子中的球数量尽可能均匀，然后在下一个增加的球数中，确保至少有一个盒子的球数达到或超过5个”。也就是说，如果每个盒子里最多放4个球，我们能放多少个？由于有8个盒子，每个盒子最多放4个球，那么最多可以放入8×所以，为了保证至少有一个盒子的球数不少于5个，我们需要再增加1个球。这样，总共有32+所以，答案是：至少需要33个球。答案：33个球。第三题有12只鸽子，如果要用10个盒子来装，至少有2个盒子里装着相同的只数的鸽子，求最多有多少个盒子是装着1只鸽子的？答案：最多有7个盒子是装着1只鸽子的。解析：首先，我们知道总共有12只鸽子需要装进10个盒子中。如果我们尽量让每个盒子里的鸽子数相同，那么每个盒子最多可以装1只鸽子。这样，10个盒子就能装下10只鸽子。由于总共有12只鸽子，所以我们还有2只鸽子没有装进盒子里。这2只鸽子必须装进已经有的盒子里。无论这两只鸽子被装进哪个盒子里，都会导致那个盒子里的鸽子数变为2只。因此，最多只能有10个盒子装着1只鸽子，而剩下的2只鸽子将分别装进两个不同的盒子里，使得这两个盒子各有2只鸽子。所以，最多有7个盒子是装着1只鸽子的。这是因为剩下的3个盒子中，至少有2个盒子里装着2只鸽子，而另外1个盒子可能装着1只或2只鸽子，但由于总数是12，所以不可能有8个或更多的盒子装着1只鸽子。第四题题目：有15颗相同的糖果要放进4个相同的盒子里，问至少需要放几颗糖果，才能保证至少有一个盒子里的糖果数不少于4颗？答案：需要放6颗糖果。解析：要使至少有一个盒子里的糖果数不少于4颗，我们可以采用“鸽巢原理”的逆向思维进行分析。假设我们要将15颗糖果放入4个盒子里，且每个盒子的糖果数尽可能少，使得有一个盒子的糖果数是最少的。我们可以这样分配：1.向每个盒子里放3颗糖果，这时共用了3×2.剩下的糖果有15−这时，每个盒子内至少有3颗糖果，但还有3颗剩余的糖果未分配。将这3颗糖果放入任意3个盒子中后，