海南省先锋联盟2024-2025学年高一上学期11月期中考试 数学 含解析

2024-2025学年度第一学期高一年级期中先锋联盟数学调研考试时间120分满分150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，，则（）A B. C. D.2.已知命题，，则是（）A.， B.，C.， D.，3.下列函数与表示同一函数的是（）A. B.C. D.4.函数，则函数的单调递减区间为（）A. B.C.和 D.5.设，若关于不等式的解集是区间0,2的子集，则的取值范围是（）A. B. C. D.6.设函数的最大值为，最小值为，则（）A.2 B.4 C.6 D.87.已知，若恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知函数，其中，下列结论正确的是（）A.存在实数，使得函数为减函数B.存在实数，使得函数为偶函数C.当时，方程有三个实根D.当时，若方程有两个实根，则二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，，，则下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，，则 D.若，则10.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则以下说法中正确的是（）A.B若，则C.若，则函数在区间上有最大值6D.若，则函数在上单调递增11.对，表示不超过的最大整数，如，，我们把，叫做取整函数，也称为高斯函数.以下关于“高斯函数”的命题，其中是真命题的有（）A.若，则B.对，有成立C.不等式的解集为D.若函数，则三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.写出同时满足以下条件的一个函数的解析式为______.①定义域为，②在上是增函数，③函数是偶函数.13.已知幂函数经过点，则______.14.已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是______.四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合，集合.（1）分别求，.（2）已知关于不等式解集为，且，求，的值.16.已知集合，.（1）若命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围；（2）若命题，是假命题，求实数的取值范围.17.已知函数定义域在−1,1上的奇函数，且.（1）求，的值；（2）判断函数y=fx（3）求使得成立的实数的取值范围.18.新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展必然.某汽车企业为了响应国家号召，2024年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本3000万元，每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完.（1）求出2024年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售量售价-成本）；（2）2024年产量为多少百辆时，企业所获利润最大?并求出最大利润.19.小明同学通过课外阅读了解到一元三次函数的图象均存在对称中心，而函数的图象关于成中心对称的充要条件是是奇函数.若函数.（1）若，，，①求函数的图象的对称中心.②我们知道：设区间，当，若都有，则在上是增函数，并且在关于对称的区间上有相同的单调性.请依据以上知识，求出的单调递增区间.（2）若函数是奇函数，解关于的不等式.2024-2025学年度第一学期高一年级期中先锋联盟数学调研考试时间120分满分150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意，根据集合的交集概念可得答案.【详解】因为集合，，则.故选：A.2.已知命题，，则是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解.【详解】，的否定为：，.故选：D3.下列函数与表示同一函数的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】定义域与对应法则均相同为同一函数，对四个选项一一判断，得到答案.【详解】A选项，的定义域为，的定义域为R，定义域不同，故两函数不是同一函数，A错误；B选项，，定义域为R，故与定义域和对应法则均相同，B正确；C选项，，与的对应法则不同，C错误；D选项，的定义域为，故与的定义域不同，故两函数不是同一函数，D错误.故选：B4.函数，则函数的单调递减区间为（）A. B.C.和 D.【答案】C【解析】【分析】分，两种情况讨论，并根据解析式直接判断即可．【详解】函数的定义域为，当时，fx=当时，，在0,1单调递减，在单调递增，故的单调减区间为和0,1.故选：C.5.设，若关于的不等式的解集是区间0,2的子集，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式结合真子集的概念即可得解.【详解】不等式可化为，其解集是区间0,2的子集，所以，且，所以..故选：B.6.设函数的最大值为，最小值为，则（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】构造奇函数，即可求解.【详解】，设，,则为奇函数，设的最大值为，则最小值为，则,,所以.故选：B.7.已知，若恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由基本不等式结合一元二次不等式求解即可.【详解】由，，，得，当且仅当即时取等号.依题意，，解得，故选：A8.已知函数，其中，下列结论正确的是（）A.存在实数，使得函数为减函数B.存在实数，使得函数为偶函数C.当时，方程有三个实根D.当时，若方程有两个实根，则【答案】D【解析】【分析】对于A，借助图形即可判断，对于B，由，，可判断，对于C，通过可判断，对于D，由y=fx，有两个交点，即可判断.【详解】选项A.当时，在上单调递增；当时，，当时，，函数在上很明显不单调，故A错误.选项B.，，且不能同时取等，所以，不是偶函数，故B错误.选项C.当时，方程有两个实根，故C错误.选项D.若方程有两个实根，即y=fx，有两个交点，此时直线与y=fx在的部分相切，（如上图）即，由，故，故D正确.故选：D二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，，，则下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，，则 D.若，则【答案】AC【解析】【分析】利用不等式的性质判断各项的正误即可.【详解】A：因为，则，所以，A正确；B：因为，取，，则，，所以，B错误；C：因为，则，又，所以，C正确；D：因为，则，所以，D错误.故选：AC10.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则以下说法中正确的是（）A.B.若，则C.若，则函数在区间上有最大值6D.若，则函数在上单调递增【答案】BD【解析】【分析】利用奇函数的性质判断AB，利用基本不等式判断C，利用单调性的定义判断D即可.【详解】选项A.函数是定义在上的奇函数，故，A说法错误；选项B.由已知得，解得，B说法正确；选项C.若且，则，，当且仅当，即时，等号成立，取到最小值6，C说法错误；选项D.若，则当时，有，所以对，且，有，所以在上单调递增，又因为是奇函数，且当时，，所以在上单调递增，且，又有，故在R上单调递增，D说法正确；故选：BD11.对，表示不超过的最大整数，如，，我们把，叫做取整函数，也称为高斯函数.以下关于“高斯函数”的命题，其中是真命题的有（）A.若，则B.对，有成立C.不等式的解集为D.若函数，则【答案】BCD【解析】【分析】根据高斯函数的性质可判断A的正误，根据x的性质结合一元二次不等式的解法可判断C的正误，结合二次函数的性质可判断D的正误，设，可判断该函数的周期为1并可证明时，据此可判断B的正误.【详解】对于A，当时，则，故A错误对于B，设，则，故为周期函数且周期为1，下面考虑时的值，当时，对确定的，，，，，而，故此时，综上，时，故时，，所以，故B正确；对于C，由得或，所以不等式的解集为，故C正确对于D.函数，因为x是整数，所以，即函数，故D正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：与高斯函数有关的不等式，需先求出高斯函数满足的不等式，再根据高斯函数的性质得到自变量的性质，而与高斯函数有关的恒等式的证明，需构建新函数，利用其周期性缩小讨论的范围.三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.写出同时满足以下条件一个函数的解析式为______.①定义域为，②在上是增函数，③函数是偶函数.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据条件三可得函数的对称轴，结合二次函数的性质，可得答案.【详解】由函数为偶函数，且函数的图象向右平移个单位可得函数fx的图象，则函数fx的对称轴为直线x=1由题意可得函数.故答案为：答案不唯一13.已知幂函数经过点，则______.【答案】【解析】【分析】设，由求出的值，可得出函数的解析式，代值计算可得出的值.详解】设幂函数，则，可得，即，所以，，则，，所以.故答案为：.14.已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】由题意可得在上连续，且在上单调递增，可得对任意，恒成立，由函数的单调性，解不等式组，即可得到所求范围．【详解】，所以,因为在上单调递增，在上单调递增，且连续，所以在上单调递增，所以不等式，所以对任意，恒成立，所以，解得，故答案为：四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合，集合.（1）分别求，.（2）已知关于的不等式解集为，且，求，的值.【答案】（1），（2），.【解析】【分析】（1）解出集合，根据补集以及并集的运算，即可求出答案；（2）根据一元二次不等式的解集，得到的符号及一元二次方程的根，利用韦达定理即可求出答案.【小问1详解】由已知得，，所以，.【小问2详解】由题意知且和是方程的两个根，，即，，因为，，.16.已知集合，.（1）若命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围；（2）若命题，是假命题，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知得，分和求解即可；（2）利用分类讨论的方法求解.【小问1详解】由题可知因为p是q的充分不必要条件，所以，①当时，，即，成立，②当时，，解得，经验证等号成立，所以，综上，的取值范围为.【小问2详解】解法一：由（1）知，因为命题，是假命题所以命题，是真命题，所以，又因为，所以，解得.实数的取值范围为.解法二：由（1）知，因为“命题，”是假命题所以命题，是真命题，所以，如图1，所以如图2，此时k无解，如图3，此时k无解.，如图4，所以，综上，实数的取值范围为.17.已知函数的定义域在−1,1上的奇函数，且.（1）求，的值；（2）判断函数y=fx（3）求使得成立的实数的取值范围.【答案】（1），（2）函数在上是减函数，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质以及已知点建立方程，利用奇函数的定义验证，可得答案；（2）根据函数单调性定义，结合作差法，可得答案；（3）根据函数单调性，整理化简不等式，可得答案.【小问1详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以得，解得，所以由题意，定义域在关于原点对称，且任意，都有，所以是奇函数，满足题意，故，；【小问2详解】函数在上是减函数.设，，，，，，，所以，，所以，所以在上是减函数.【小问3详解】因为是定义在上的奇函数，所以由（2）知在上是减函数.所以，解得，解得.故的取值范围.18.新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展必然.某汽车企业为了响应国家号召，2024年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本3000万元，每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完.（1）求出2024年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售量售价-成本）；（2）2024年产量为多少百辆时，企业所获利润最大?并求出最大利润.【答案】（1）（2）年产量45百辆时利润最大，最大利润为13640万元.【解析】【分析】（1）根据题目给定的函数解析式，利用给定公式，可得答案；（2）根据二次函数以及基本不等式，可得分段函数的最值可得答案.【小问1详解】每辆车售价9万元，年产量（百辆）时销售收入为900x万元，总成本为，【小问2详解】由（1）当时，，所以时，（万元）当时，当且仅当即时取等号即（百辆）时，因为万元，所以年产量45百辆时利润最大，最大利润为13640万元.19.小明同学通过课外阅读了解到一元三次函数的图象均存在对称中心，而函数的图象关于成中心对称的充要条件是是奇函数.若函数.（1）若，，，①求函数的图象的对称中心.②我们知道：设区间，当，若都有，则在上是增函数，并且在关于对称区间上有相同的单调性.请依据以上知识，求出的单调递增区间.（2）若函数是奇函数，解关于的不等式.【答案】（1）①的对称中心为，②的递增区间是，