2024-2025学年高中数学第一章立体几何初步1.5.1平行关系的判定课时分层作业含解析北师大版必修2

PAGE课时分层作业六平行关系的判定一、选择题(每小题5分，共30分)1.下列说法中，错误的是 ()A.平行于同始终线的两个平面平行B.平行于同一平面的两个平面平行C.一个平面与两个平行平面相交，交线平行D.一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交【解析】选A.平行于同始终线的两个平面有可能相交.正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ABCD与A1ABB1都与C1D1平行，但平面ABCD与A1ABB1相交.2.如图所示，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是 ()A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定【解析】选A.因为E1和F1分别是A1B1和D1C1的中点，所以A1D1∥E1F1，又A1D1⊄平面BCF1E1，E1F1⊂平面BCF1E1，所以A1D1∥平面BCF1E1.又E1和E分别是A1B1和AB的中点，所以A1E1BE，所以四边形A1EBE1是平行四边形，所以A1E∥BE1，又A1E⊄平面BCF1E1，BE1⊂平面BCF1E1，所以A1E∥平面BCF1E1，又A1E⊂平面EFD1A1，A1D1⊂平面EFD1A1，A1E∩A1D1=A1，所以平面EFD1A1∥平面BCF1E1.3.如图是正方体的平面绽开图，则在这个正方体中，下列推断正确的是 ()A.平面BME∥平面ACN B.AF∥CNC.BM∥平面EFD D.BE与AN相交【解析】选A.由平面绽开图作出如图所示的正方体.易知AN∥BM，AC∥EM，且AN∩AC=A，所以平面ACN∥平面BEM.4.如图，在四面体ABCD中，若M，N，P分别为线段AB，BC，CD的中点，则直线BD与平面MNP的位置关系为 ()A.平行B.可能相交C.相交或BD平面MNPD.以上都不对【解析】选A.因为N，P分别为线段BC，CD的中点，所以NP∥BD，又BD平面MPN，NP平面MPN，所以BD∥平面MNP.5.如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB=AF∶FD=1∶4，H，G分别为BC，CD的中点，则 ()A.BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是平行四边形B.EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C.HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形D.EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形【解析】选B.由题意，知EF∥BD，且EF=QUOTEBD，HG∥BD，且HG=QUOTEBD，所以EF∥HG，且EF≠HG，所以四边形EFGH是梯形.又由题意知EF∥平面BCD，EH与平面ADC不平行，故选B.6.如图，下列正三棱柱ABC-A1B1C1中，若M，N，P分别为其所在棱的中点，则不能得出AB∥平面MNP的是 ()【解析】选C.在选项A、B中，易知AB∥A1B1∥MN，所以AB∥平面MNP；在选项D中，易知AB∥PN，所以AB∥平面MNP.故选C.二、填空题(每小题5分，共10分)7.如图，在五面体FE-ABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是_________.

【解析】因为M，N分别是BF，BC的中点，所以MN∥CF.又因为四边形CDEF为矩形，所以CF∥DE，所以MN∥DE.又MN平面ADE，DE平面ADE，所以MN∥平面ADE.答案：平行8.已知l，m是两条直线，α是平面，若要得到“l∥α”，则须要在条件“mα，l∥m”中另外添加的一个条件是_________.

【解析】依据直线与平面平行的判定定理，知须要添加的一个条件是“l⊈α”.答案：l⊈α【补偿训练】如图所示，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若QUOTE=QUOTE，则MN与平面BDC的位置关系是_________.

【解析】因为QUOTE=QUOTE，所以MN∥BD.又因为MN⊈平面BDC，BD平面BDC，所以MN∥平面BDC.答案：平行三、解答题(每小题10分，共20分)9.有一块木料如图所示，已知棱BC平行于面A′C′，要经过木料表面A′B′C′D′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？所画的线和平面AC有什么关系？【解析】因为BC∥平面A′B′C′D′，平面BC′经过BC和平面A′B′C′D′交于B′C′，所以BC∥B′C′，经过点P，在平面A′C′上画线段EF∥B′C′，则EF∥BC，所以EF与BC确定平面BCFE.连接BE和CF，则BE，EF，CF就是所要画的线.因为EF∥BC，依据线面平行的判定定理，则EF∥平面AC.BE，CF明显都和平面AC相交.10.如图，四棱锥P-ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，CD⊥AD，F，E分别是PA，AD的中点，求证：平面PCD∥平面FEB.【证明】连接BD，在△ABD中，∠BAD=60°，AB=AD，所以△ABD是等边三角形，E为AD的中点，所以BE⊥AD，又CD⊥AD，所以在四边形ABCD中，BE∥CD.又CD⊈平面FEB，BE平面FEB，所以CD∥平面FEB.在△APD中，EF∥PD，同理可得PD∥平面FEB.又CD∩PD=D，所以平面PCD∥平面FEB.【补偿训练】如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分别为棱AB，CC1，AA1，C1D1的中点，求证：平面CEM∥平面BFN.【证明】因为E，F，M，N分别为其所在棱的中点，如图，连接CD1，易知FN∥CD1.同理，ME∥A1B.易证四边形A1BCD1为平行四边形，所以ME∥NF.连接MD1，同理可得MD1∥BF.又BF，NF为平面BFN中两相交直线，ME，MD1为平面CEM中两相交直线，故平面CEM∥平面BFN.一、选择题(每小题5分，共25分)1.已知下列叙述：①一条直线和另一条直线平行，那么它就和经过另一条直线的任何平面平行；②一条直线平行于一个平面，则这条直线与这个平面内全部直线都没有公共点，因此这条直线与这个平面内的全部直线都平行；③若直线l与平面α不平行，则l与α内任始终线都不平行；④与一平面内多数条直线都平行的直线必与此平面平行.其中正确的个数是 ()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选A.一条直线和另一条直线平行，那么它就在经过这两条直线的平面内，①错；一条直线平行于一个平面，这个平面内的直线可能与它异面，②错；在③④中，直线有可能在平面内.2.在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB=CF∶FB=1∶3，则直线AC和平面DEF的关系是 ()A.平行 B.相交C.在平面内 D.平行或相交【解析】选A.如图所示，在平面ABC内，因为AE∶EB=CF∶FB=1∶3，所以AC∥EF.又因为AC平面DEF，EF平面DEF，所以AC∥平面DEF.3.如图，在四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则 ()A.MN∥PD B.MN∥PAC.MN∥AD D.以上均有可能【解析】选B.因为MN∥平面PAD，MN平面PAC，平面PAD∩平面PAC=PA，所以MN∥PA.4.下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是 ()A.①③ B.①④ C.②③ D.②④【解析】选B.①中，如图，易知NP∥AA′，MN∥A′B，所以平面MNP∥平面AA′B，可得出AB∥平面MNP.④中，NP∥AB，能得出AB∥平面MNP.在②③中不能判定AB∥平面MNP.5.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E是AB的中点，点F在BC上，则BF等于多少时，EF∥平面A1C1D ()A.1 B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.当点F是BC的中点时，即BF=QUOTEBC=QUOTE时，有EF∥平面A1C1D，因为EF∥AC，AC∥A1C1，所以EF∥A1C1，又因为EF⊈平面A1C1D，A1C1平面A1C1D，所以EF∥平面A1C1D.二、填空题(每小题5分，共20分)6.若直线a∩直线b=A，a∥平面α，则b与α的位置关系是_________.

【解析】因为a∥α，所以a与平面α没有公共点，若bα，则A∈α，又A∈a，此种状况不行能，所以b∥α或b与α相交.答案：b∥α或b与α相交【补偿训练】已知直线a∥平面α，平面α∥平面β，则a与β的位置关系为_________.

【解析】若aβ，则明显满意题目条件.若a⊈β，过直线a作平面γ，γ∩α=b，γ∩β=c，于是由直线a∥平面α得a∥b，由平面α∥平面β得b∥c，所以a∥c，又a⊈β，cβ，所以a∥β.答案：aβ或a∥β7.在四面体A-BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是__________________.

【解析】如图，取CD的中点E.连接AE，BE，由于M，N分别是△ACD，△BCD的重心，所以AE，BE分别过M，N，则EM∶MA=1∶2，EN∶BN=1∶2，所以MN∥AB，因为AB平面ABD，MN⊈平面ABD，所以MN∥平面ABD，同理可得，MN∥平面ABC.答案：平面ABD和平面ABC8.已知A，B两点是平面α外两点，则过A，B与α平行的平面有_________个.

【解析】当A，B两点在平面α异侧时，不存在这样的平面.当A，B两点在平面α同侧时，若直线AB∥平面α，则存在一个平面与平面α平行，否则不存在.答案：0或19.如图是正方体的平面绽开图.在这个正方体中，①BM∥平面ADNE；②CN∥平面ABFE；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.以上四个命题中，正确命题的序号是_________.

【解析】以ABCD为下底面还原正方体，如图：则易判定四个命题都是正确的.答案：①②③④三、解答题(每小题10分，共20分)10.如图，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，AB=2，AF=1，M是线段EF的中点.求证：AM∥平面BDE.【解题指南】留意到AC与BD相互平分，且EF∥AC，因而可考虑构造平行四边形.【证明】设AC与BD的交点为O，连接OE，因为O，M分别是AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形，所以四边形AOEM是平行四边形.所以AM∥OE.又因为OE平面BDE，AM⊈平面BDE，所以AM∥平面BDE.【补偿训练】已知正方形ABCD，如图1，E，F分别是AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图2所示.求证：BF∥平面ADE.【证明】因为E，F分别为AB，CD的中点，所以EB=FD.又因为EB∥FD，所以四边形EBFD为平行四边形，所以BF∥ED.因为DE平面ADE，而BF⊈平面ADE，所以BF∥平面ADE.11.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面.(2)平面EFA1∥平面BCHG.【证明】(1)因为G，H分别是