《运筹学》-周晶 习题解答

PAGEPAGE10习题参考答案第一章1.1()x*,0T4。(2)x*x*1x*

0，其中x*

,3T,x*

,2T，最优目标函数值为16。1.2()令4，得：max

A B A Bz31422355412232xxx2x2xx14s.t.

1 2 3 4 4 52x3xxxxx2 1 2 3 4 4 6x,x,x,x,x,x,x01 2 3 4 4 5 6(2)令zz，3，得：max

z122331247s.t.

xxxxx21 2 3 3 5x,x,x,x,x,x01 2 3 3 4 51.3()x*,,0T

(2)

x*1.,,0T454

1021.4(1)最解为x* ,,0，最优标函数为

；(2)无可行解。77 71.5(1)据表，此时基变量为x5,x4,x3，易知：b0,c1,d0，a112110；(2)非基变量x1x20，由此求得：x31,x46,x52，目标函数值为3；(3)根据检验数可知，该基本可行解是最优解。1 1

3 1 0 11.6B1

b1

2 ，b a a a

2 2b a a a 1 2 21 22 23

1 2

2 21 22 23

2 1 0解得：a9,a

1,a4,a

5,a a2,b8,b

2 5；112

12 13 21

2 22 23 1 2由最终单纯形表的检验数计算得：c17,c24,c38。方案1方案2方案3方案4方案5方案6方案7方案8需要量2.9m120101001002.1m002211302001.5m31203104100余料01.4设xj为按第j种方案下料的原材料根数，建立线性规划模型如下：8min

zi1x12x2x4x61002x2xxx3x

200s.t.

3 4 5 6 73x1x22x33x5x64x8100i,i,8按方案1裁20根，按方案3裁20根，按方案4裁80根，总共需120根圆钢。xijQiPjmax

z2x11x12x133x21x22x232.3x31x32x331.7x11x21x311.5x12x22x321.2x13x23x33x11x21x311500xxx100012 22 32x13x23x332000x110.15x11x12x13x0.25xxxs.t.12 11 12 13x0.20xxx21

21 22 23x220.10x21x22x23x310.25x31x32x33x330.40x31x32x33ix0,i1,,8i为从正点i开始上班的人数i2,2223min

23z i0x0x23x22x21x19x18x17x162xxxxxxxx2 1 0 23 22 20 19 18 17 x2x0x23x21x202 xxxxxxxx2 3 2 1 0 22 21 20 19 x4x2x23x22x21x202 x4x2x23x22x212 xxxxxxxx8 6 5 4 3 1 0 23 22 x7x6x4x2x238 xxxxxxxx8 8 7 6 5 3 2 1 0 x7x6x4x28 xxxxxxxx4 10 9 8 7 5 4 3 2 x6x44s.t. xxxxxxxx3 12 11 10 9 7 6 5 4 xxxxxxxx3 13 12 11 10 8 7 6 5 x7x63 xxxxxxxx3 15 14 13 12 10 9 8 7x16x15x14x13x11x10x9x86xxxxxxxx6 17 16 15 14 12 11 10 9x18x17x16x15x13x12x11x105x19x18x17x16x14x13x12x115xxxxxxxx520 19 18 17 15 14 13 12x21x20x19x18x16x15x14x135xxxxxxxx322 21 20 19 17 16 15 14x23x22x21x20x18x17x16x153i,i,,23解：设第ijxij，标号1=冬，2=春，3=夏，4=秋。目标总利润=卖出价-买进价-库存成本，具体的线性规划模型如下：max

z15x1130x1255x1345x1410x2235x235x3325x245x345x44 1 170xx

x270x

x370x10000x11100

12 23 34 13 24 14xx14012 22x13x23x33200xxxx160s.t.14 24 34 44xxx2012 13 14x13x14x23x2420x14x24x3420x0ij第二章(1)min

w5y12y22y22

(2)min

w5y16y212y32y16y210y32s.t.

2y3y4

y5y9y2 1 2 y1,y20

1 2 3s.t. 3yy6y51 2 3 3y5y2 1 2

w108y26y3

,y2,30m nm nxwiibjvj y2y3

i1

j11 2 s.t.uvc yy2

i j ij 1 3

i1,,m;j1,,ns.t.3y12y2y34 yyy1 1 2 31,y2,3无约束(1)

minzbTyATycs.t.

y0(2)原问题b被b替换后对应的对偶问题变为：minzbTyATycs.t.

y0显然，可行域没有变化，故y*仍是新问题的对偶问题的可行解。又x是新问题的可行解，由弱对偶性有：cTxbTy*。

minz6y17y2y13y232yy4s.t.

3y

1 24y1 1 2 1,y20该对偶问题无可行解，因此原问题无最优解。又x,0T是原问题的可行解，所以2.4该线性规划的对偶问题为：maxw2y13y2 y23 yy4s.t.

1 2y1y225yy5 1 23y12y29 1,y20求解对偶问题，得：y*1,y*3，最优目标函数值w*11。代入上述约束条件，可知1 2第3个和第4个约束条件未达到上限，因此x*x*0。由y*0,y*0，得原问题两3 4 1 2个不等式约束条件在最优解时取到等号，并且最优时原问题与对偶问题目标函数值相等，于是2 5 x*3x*22 51 2 5 x*x*2x*1 2 53x*4x*9x*111 2 5求解，得：x*1x*,x*23x*,x*0。所以原问题有无穷多个最优解，令x*0，1 5 2 5 5 5可得一个最优解为,,,,0T。2.5()x*163,0T

(2)

x*,,0T3 0 02.6(1)问题B相当于对问题A左乘了矩阵P0130，因此由yTcTB1，得： 3 0 130 0ˆTcTB1cTB1P1yTP1，即ˆTyT0 3 0。展开得：ˆ

B1yy，B Bˆ23y2，ˆ33；()

1 0 1

131 32.7原问题的最优解为x*,,0T。1)最优解变为x*,T；()最优基不变，最优解变为x*,0T；()x*,0T。2.8()原问题的最优解x*,,2T，对偶问题的最优解y*,0T。ccB1Pc

2,08c

1601 1 B

1 16occB1A4,1,c,0,0c,08 3 1 1 0B 3 32 2 0 11 =48c3,13c3,0,c3,0048c30 1即13c30，得：c32，在此范围内最优解不发生改变。c0 3如果改变，则

1 8B1b1 0 1 8 即b10b80

，得：0b18，在此范围内不影响最优基。 1如果b2改变，则

B1b1 02 11 b 2即20即2b

0，得：b22，在此范围内不影响最优基。 2第三章mnm+n-1个；该m+n-1解：（1）（2）:m+n-1个,//0/行。解：S=100产地 B1B2B3B4产量/件A10.870.70.650.7420A20.560.970.84M30A30.780.750.760.950虚拟A4000010销量/件50203010110m nm ninzijiji1j1n xn

a,i1,...,3 j m

ij is.t.

xijbj,j1,...,4i1xij0,i1,...,3;j1,...,4.//m n解：（1）m ninzijiji1j1n xn

a,i1,...,m j m

ij is.t.

xijbj,j1,...,ni1xij0,i1,...,m;j1,...,n.m n（2m nxiibjvji1 juivjcij,i1,...,m;j1,...,ns.t.

ui0,i1,...,mvj0,j1,...,n.m n令piui0m nxiibjvji1 jvjpicij,i1,...,m;j1,...,ns.t.

pi0,i1,...,mvj0,j1,...,n.（3）对偶变量pi和vj分别为产地和销地的产品价格，对偶问题表示产品在销地的价格与产地的价格差不能高于运价，否则消费者会直接在产地购买。解：（1）Vogel1123b1=9b2=10b3=11A⑤5②1Ma1=122⑤10B24①1a2=143③11C367a3=44④对偶变量发求检验数：123b1=5b2=1b3=4A51Ma1=0××M-4B241a2=-3×6×C367a3=4×75是最优解，目标值为49。（2）B5b5=S-D=10。VogelB1B2B3B4B5b1=20b2=20b3=30b4=25b5=10A1102390a1=2525①A2②5101540a2=302010⑥A315④514150a3=20200⑤A42015⑧13⑦8③0a4=305⑧1510用对偶变量法求检验数。B1B2B3B4B4v1=-1v2=-6v3=3v4=-2v5=-10A1102390u1=0118×1110A25101540u2=6×1012×4A315514150u3=115××6-1A420151380u4=101111×××检验数并不满足非负，然后转换基，发现该解也是最优解。目标值为500。解：S=8000件;D=120003=400028200023销地产地销地1销地2销地3销地4产量（件）产地104000010005000产地220000010003000需求量（件）2000500030002000解：（1）=310吨。（2）供需平衡与运价表销地产地甲1甲2乙丙1丙2产量（吨）鸡西煤矿1515182222400鹤岗煤矿2121251616450虚拟产地3M0MM030需求量（吨）29030250270408802 3（32 3inzijiji1j13 x3

a,i1,2 j m

ij is.t.bjminxijbjmax,j1,2,3 i1 0,ij2,3.（4）鸡西煤矿给甲公司150吨，乙公司250吨；鹤岗煤矿给甲公司140吨，丙公司310吨。总调运费用为14650元。解：（1）设cijpj；pjjcii3 4ci为产地i到销地j3 4xzijiji13 x3

j1a,i1,2,3 j

ij is.t.bjminxijbjmax,j1,,4 i1 0,i2,j4.（2）最优目标值为31060千元；A1分别向B2、B4运10、30千箱；A2分别向B1、B4运40、30千箱；A3向B2运60千箱。解：（1）S=14D=12（2）总运输费用为419千元。农基地A1向中转地T2运1车皮；农基地A2向中转地T1运6车皮；中转地T1向城市B1、B2运2、4车皮；中转地T2向城市B3、B4运3、3车皮。解：（1）aiiminz

所有弧

cijxijij ji iij ji i

x

a,i1,,7s.t.输出弧 输入弧 0（2）最小运输费用为1049千元。运输方案为：城市2向城市5运9台；城市3向城市1运9台；城市4向城市2运4台；城市5向城市3、6分别运6、5台；城市7向城市4运7台。（3）28解罚系数M销售生产第一年第二年第三年虚拟需求供应量第一年正常50053056002加班55058061002第二年正常M55058003加班M60063002第三年正常MM60003加班MM65003需求量345315经计算，最优生产计划方案，如表所示，最小总成本为6840万元。销售生产第一年第二年第三年虚拟需求供应量第一年正常112加班22第二年正常33加班22第三年正常33加班33需求量345315解：（1）xij是从北方城市i到南方城市jciji到南方城市j的线路上不转机的人数。maxz所有可行弧

cijxij6 1j16s.t.

xij1i1xij0,1最优的解决方案中，有110人不需要转机。对应的航班目的地安排为：A1到B1；A2到B2；A3到B3；A4到B4；A5到B5；A6到B6。（2）只要将约束改为：5 1j16i1

xij1xij0,13.16解：（1）该目标规划的满意解为1 1 2 2 3 3X(6,1)T,d8,d0,d0,d0,d0,d01 1 2 2 3 31 1 2 2 3 3（2）该目标规划的满意解为X(3,3)T,d0,d0,d0,d4,d0,d01 1 2 2 3 31 1 2 2 3 3（3）该目标规划的满意解为X(10,0)T,d0,d0,d6,d0,d16,d01 1 2 2 3 31 1 2 2（4）该目标规划的满意解为X(2,2)T,d8,d0,d8,d01 1 2 21 1 2 23.17解：（1）该目标规划的满意解为X(10,20,10)T,d0,d0,d0,d01 1 2 23 3d0,d03 31 1 2 2 3 3（2）该目标规划的满意解为X(50,50)T,d0,d10,d20,d0,d0,d01 1 2 2 3 34 4d0,d04 41 1 2 2 3 3（3）该目标规划的满意解为X(70,50)T,d0,d40,d0,d0,d0,d01 1 2 2 3 34 4d60,d04 41 1 2 2 3 3（4）该目标规划的满意解为X(60,45)T,d0,d25,d0,d0,d0,d01 1 2 2 3 34 4d0,d154 41 1 2 2 3（5）该目标规划的满意解为X(9000,7000)T,d0,d0,d0,d0,d01 1 2 2 33 4 4d5000,d0,d30003 4 41 1（6）该目标规划的满意解为X(35.56,6.67,48.06,0)T,d0,d12.281 12 2 3 3 4 4 5 5d0,d18.06,d0,d0,d0,d0,d0,d02 2 3 3 4 4 5 5解：（1）ABxAxB11 22 33minzPdPd11 22 3320(xx)dd400 A B 1 1403xdd8 A 2 2 3 3504xBdd83 3x,x,d,d0;k=1,2,3A B k k1 1 2 2 3 3其满意解为：X(10.67,9.33)T,d0,d0,d0,d0,d0,d4.671 1 2 2 3 3（2）12 23 31minzPdPd12 23 3120(xx)dd400 A B 1 1403xdd8 A 2 2 3 3504xBdd83 3x,x,d,d0;k=1,2,3A B k k1 1 2 2 3 3其满意解为：X(10.67,10.50)T,d0,d23.33,d0,d0,d0,d01 1 2 2 3 3(iBC;j甲，乙，丙)ji等级11 2 3 4 5 6 27 38minP(dddddd)Pd11 2 3 4 5 6 27 38x 0.1(x x x)dd0C甲 A甲 B甲 C甲 1 1x 0.5(x x x)dd0A甲 A甲 B甲 C甲 2 2x 0.7(x x x)dd0C乙 A乙 B乙 C乙 3 3x 0.2(x x x)dd0A乙 A乙 B乙 C乙 4 4x 0.5(x x x )dd0C丙 A丙 B丙 C丙 5 5x 0.1(x x x )dd0A丙

A丙 B丙 C丙 6 65.5(x x x)5(x x x)4.8(x x x ) A甲 B甲 C甲 A乙 B乙 C乙 A丙 B丙 C丙6(x x x )4.5(x x x )3(x x x )ddz A甲 A乙 A丙

B甲 B乙 B丙

C甲 C乙 C丙 7 7x x x dd2000A甲 B甲 C甲 8 8ij k kx,d,d;i,B,C;j;k=1,2,...,8ij k k其中，上式中的z由下列模型求出：maxz5.5(xA甲xB甲xC甲)5(xA乙xB乙xC乙)4.8(xA丙xB丙xC丙)6(xA甲xA乙xA丙)4.5(xB甲xB乙xB丙)3(xC甲xC乙xC丙)xC甲0.1(xA甲xB甲xC甲)0x 0.5(x x x)0A甲 A甲 B甲 C甲x 0.7(x x x)0C乙 A乙 B乙 C乙xA乙0.2(xA乙xB乙xC乙)0x 0.5(x x x )0C丙 A丙 B丙 C丙x 0.1(x x x )0A丙 A丙 B丙 C丙xA甲xB甲xC甲2000x0;iA,B,C;j甲，乙，丙ij第四章解：（1）X3.52.5)T,Z15.5，对应的整X2)TZ13，故不能用凑整的办法得到最优整数解。（2）X3.252.5)T,Z14.75XZ14解：（1）X06)TZ6（2）该整数规划的最优解为X(3,1)T，最优值为Z7（3）该整数规划的最优解为X(3,1)T，最优值为Z4（4）该整数规划的最优解为X(2,3)T，最优值为Z17（5）该整数规划的最优解为X(5,5)T，最优值为Z40（6）该整数规划的最优解为X(51,0)T，最优值为Z51解：（1）XZ2（2）该整数规划的最优解为X(4,3)T，最优值为Z55（3）该整数规划的最优解为X(2,1)T，最优值为Z13（4）该整数规划的最优解为X(2,3)T，最优值为Z34（5）该整数规划的最优解为X(1,2)T，最优值为Z1（6）该整数规划的最优解为X(2,1,1)T，最优值为Z10解：（1）X00)TZ3（2）该整数规划的最优解为X(1,1,1)T，最优值为Z9（3）该整数规划的最优解为X(0,1,1,0)T，最优值为Z18（4）该整数规划的最优解为X(1,0,1,1)T，最优值为Z3（5）该整数规划的最优解为X(1,0,1)T，最优值为Z8（6）该整数规划的最优解为X(1,0,0)T，最优值为Z4nnmaxzxii1s.ts.ti1

dixiD0xa且为整数;i=1,2,..,n i ix2maxzx1+x23x12x210s.tx12x25x,x,x12

0且为整数Ajxj1xj0maxz36x1+40x2+50x3+22x4+20x5+30x6+25x7+48x8+58x9+61x10j10xjj1

10x1x2x32xx14 5s.tx6x71xxx28 9 10100x1+120x2+150x3+80x4+70x5+90x6+80x7+140x8+160x9+180x10720xj xjf1f2f3，f1=0则表示不生产小号锅炉；若f2=1，则表示生产中号锅炉，f2=0f3=0则表示不选择,x2则表示小号锅炉、中号锅炉和大号锅炉的生产量，则可建maxz4f1x1+5f2x2+6f3x3100f1150f2200f32f1x14f2x28f3x35002fx3fx4fx300s.t

11 22 33fx2fx3fx

10011 22 33x,x,x0;f,f,f

0或1123 12 3表示第ij，则表示将第i个工人jxij=0，则表示不将第ij项工作，其中i为jA、B、CDminz15x甲A+18x甲B+21x甲C+24x甲D+19x乙A+23x乙B+22x乙C+18x乙D+26x丙A+17x丙B+16x丙C+19x丙D+19x丁A+21x丁B+23x丁C+17x丁DD

x;

x

x

丁jx=丁jDDD甲j乙j；丙j；jA jA jA jDDD甲j乙j；丙j； i甲

i甲

i甲

i甲x0或1,i甲,乙,丙,丁；jA,B,C,Dij解：设表示第i年初第j个项目可投入的投资额度，其中i25;jA,B,C,D。fk表示项目C对于投资额的选择，若f1=1，则表示选择2万的投资额，f1=02f2=14f2=0则表示不46f3=06f4=18f4=08maxz1.15x4A+1.28x3B+1.40x2C+1.06x5Dx1Ax1D10,x1A4;1.06x1Dx2Ax2Cx2D,x2C2f14f26f38f4;1.15x1.06x x x x,3x 1A

2D 3A 3B 3D 3Bs.t1.15x2A1.06x3Dx4Ax4D1.15x 1.06x x 3A

4D 5Df1f2f3f4=1ij，i1,2,3,4,5;j,B,C,;1,f2,f3,f41第五章略。(1)(2)(3)(4)略。5.41)fx16x13x2250x*xx

443,517。3x

14x

31

12215 215 1 2 3 14(2)2fx16 3，该Hessian3 14 极小点，也是全局极小点。(),T和,0THessian12x112x26 12x112x2612x12x6 12x 1 2 1 分别代入两个稳定点，得：6 6和6 66 12 612 ,0T(2)是下降方向。kakbkbkakkkfkfk10110.3820.6180.8280.921200.6180.6180.2360.3820.8450.82830.2360.6180.3820.3820.4720.8280.84740.2360.4720.2360.2360.3820.82810.828450.2360.3820.146k50.2360.3820.2x*0.2360.3820.309。25.8极小点x*,2T。xK-TAxλ0λ,xb,λTxb0将λAx代入互补条件，可得：xTAxb0，即x与xb关于A共轭。Hessian矩阵

A3 1，b2 01 1 00 0 0 0 0取初始点x2,4T，则gAxb12,6T0，搜索方向dg12,6T0 0 0 0 0gTg 5步长00 ，新的迭点0 00dTAd 170 0

2638Tx00d0 , 612T

1717gTg 1检验梯度g1b , 0，所以数11

，从而新的搜索方向为：gg001717 0 T 289gg00 90 210T d1g10d0289,289 第二次迭代：gTg 17步长11

，新的迭代点1 11dTAd 101 1

xx

d

T2 1 112 2检验梯度gx,0T，所以x2 2x1K-Tx2是K-T点。fx2x3x4x22xxx2gxx

x，1 2 1 12 2g2x4x2g3x3

1 1 2fx22x2，gx1，g

x1，g

x132x

2x

1 1

2 1

3 0 1 2 代入K-T条件，得：

28x12x2w1w2w30 32x2xww0 1 2 1 2 x20 w4xx02 1 2 30 ,0 x20 4xx0K-Tx

1,x

1 23x105ww

w0。16 2 3

1 2 3(1)min

x,x2x21xx

221 22 1 2对给定的，由无约束优化问题的一阶最优性条件，得：2112202xxx20求解这个方程组，得：

2 1 2xx当时，x*1,x*1。

1 2 11 2(2)利用二次损失函数做罚函数：0, ifgx01x1xx

42,ifgx02 1 2x,x32x

22x1 2由此，得：x,213, ifgx0x 2x3xx4,ifgx01 1 1 2x,222, ifgx0x 2x2xx4,ifgx0gx0时，

2 2 1 221312402x2xx40 2 1 2解得：x

6，x

4。当时，x*5,x*3gx*0，满122

222

12 22足约束条件。(1)Bx,1x3x 6 1

x1 x令其一阶导数为零，得：

Bx,1x

1 22 0 x 2

x2 1 1Bx, 2 1 2x x求解，得：

2 2当0，x*1,x*0。

x11

2,x21 2(2)构建对数障碍函数：Bx,x1x2lnlnx2lnx2令其一阶导数为零，得：Bx,1 0 x x 1xx 1 1 1 2Bx, 1 0 x x 1xx 2 2 1 2易见x1x2，代入上面的第一个等式，可得：1 12x231x1 1

0求解，得：当0，x*x*1。

x1x21121 22

Bx,1x2x2nxx

1令其一阶导数为零，得：

2 1 2 1 2Bx,x

0 x 1xx1 1 1 2 Bx, x

0

2xx1 2 1 21 1易见x1x21 1求解，得：

2x2x

0x2

1118当0，x*x*1。拉格朗日乘子的估计为：1 22当0，*1。2

211x111第六章CM11M22M32,CM11M22M33。280A1B0万元，C360312间）（32间，1间或（411。100908154台机最优解为x*7,x*11，目标函数最优值Z*273。12 24 86.6(1)

X*(1,1,4,1)T,X*(2,1,2,1)T,X*(1,1,2,2)T;Z*4(2)X(0,7)T,Z*491 2 3(3)x*2,x*1,x*31 2 31 2 3(4)x*0,x*20,x*1 2 31 2 3 46.7x*5，x*0，x*6，x*0，其相应的最小总成本为20.51 2 3 46.8（1（）13。6.9E1=1，E2=1，E3=36.10顺序为2,3,7,5,1,6,4。235646（。AC10.06。500500600最优决策为：上半年进货262s23半年再进货262s3

个单位的货，这时将获得期望利润931。3第七章APB，RCT，S，D12131213243122 2232 1 4 626 2 54(a)

(b)

(c)7.3题，略7.4题，1235722/小时题，1）可行流从后往前，注意中间点平衡，例如下左图，可行流流量为402）标号法，如下右图，找到最大流4025(20)

10(10)10 31 20(10)

20(15)(s,(s,5) 10(10) 320(15)25(20)120(10) 5(5)S15(5)30(20)2(s,10)15(15)410(10) (1,5)(2,10)20(15)5T25 20 S 15(5)1530 2

410(10) T10

(0,∞)30(20)

1515(15) 5

2020(15)3）12T4T5525(25)25(25)25(20)110(10)20(15)20(10)320(15)5(5)S15(15)15(5)2410(10) 25(25)T30(20)30(30)15(15)20(15)567.8题(a)流量fs1=4,fs2=3,f13=3,f14=1,f24=2,f43=1,f3t=5,f4t=1,总费用=45(b)流量fs1=6,fs2=16,f21=8,f1t=14,f23=8,f3t=8总费用=96(a)fxa=5,fxc=6,fab=5,fcb=3,fcd=3,fby=8,fdy=3,=103(b)流量fxa=4,fxb=5,fay=4,fbc=5,fcy=5,总费用=63DC、FIDD终AB、DG、EKAA终CLAA终题，1）略，2）20B-D-H-I7.13题，前三步略，关键路线(a):1-4-5-8-9，(b):1-3-5-7-1122222 C 511113001A2GD F53141461B412HI11515763 E 4664 B 1010E 1818G00 44A

6 3C1015

8 6 5F1717H

2323J

28281 4 2 5 4 2 7 6 8 5 9 D 1313I9 5 4第八章8.1解：）1,2,3,4,5其中11000,21500,32000,42500,53000A12345其中a11000,a21500,a32000,a42500,a53000则面包问题的决策矩阵为需求量i12345进货量aja1400400400400400a2275600600600600a3150475800800800a42535067510001000a5-10022555087512002）不同决策准则下的最有订货量如下表所示需求量i12345悲观准则乐观准则折衷准则0.8等可能准则进货量aja1400400400400400400400400400a2275600600600600275600525535a3150475800800800150800670605a42535067510001000251000805610a5-1002255508751200-1001200940550该决策矩阵的后悔值矩阵为需求量i12345xRi,aji进货量aja10200400600800800a21250200400600600a32501250200400400a43752501250200200a55003752501250375由上述计算可知，悲观准则下最优订货量为a1，即订购1000；乐观准则与折衷准则（0.8）下最优订货量为，即订购3000；等可能准则与最小机会损失准则下最优订货量为a42500。解：1）00P(被拒绝00P(被拒绝)=0.6P(晴天)=0.70P(雨天)=P(被接受)=0.4P(晴天)=0.7P(雨天)=0.31-211投标期望效用的收益计算公式为E(aj)uijp(i)，则投标的效用为（方案a1表示i投饮料，方案a2表示投汉堡）E(a1)0.720.320.8E(a2)0.710.311maxE(aj)E(a2)1，因此若投标就应该选择投汉堡。投标与不投标的期望效用为（方案b1表示不投标，方案b2表示投标）E(b1)0E(b2)0.600.410.4所以公司应该参加投标，并且投汉堡。2）该问题的决策树如下图所示0P(晴天)=0.700P(晴天)=0.70P(被拒绝)=0.6P(雨天)=0.300.8P(晴天)=0.7投热饮0.52P(被接受)=0.4P(雨天)=0.31.3P(晴天)=0.7P(雨天)=0.31-21211投标的效用为（方案a1表示投饮料公司供应冷饮，方案a2表示投饮料公司供应热饮，方案a3表示投汉堡）E(a1)0.720.320.8E(a2)0.710.321.3E(a3)0.710.311maxE(aj)E(a2)1，因此若投标就应该选择投饮料并且公司供应热饮。投标与不投标的期望效用为（方案b1表示不投标，方案b2表示投标）E(b1)0E(b2)0.600.41.30.52因此公司应该投标，投饮料，中标之后公司供应热饮。解：1）1p(1)0.52p(2)0.33p(3)0.2a（钻井）-201002503则钻井产生的期望收益为E(a)200.51000.32500.2703根据公式p(IIj)p(i)p(Iji)计算各种勘探结果出现的概率i1p(I1)0.50.60.30.30.20.10.41p(I2)0.50.30.30.40.20.40.35p(I3)0.50.10.30.30.20.50.24

I)

p(i)p(Iji)计算后验率p( I)ji j p(I) i jjp(iIj)构造较差I1构造一般I2构造较好I3无油10.7320.4280.208油少20.2190.3430.375油多30.0490.2290.417计算在各种勘探结果下钻井的期望收益：E(aI1)0.732(20)0.2191000.04925019.51E(aI2)0.428(20)0.3431000.22925082.99E(aI3)0.208(20)0.3751000.417250137.59根据后验概率（即勘探结果）进行决策，总期望为E19.510.4182.990.35137.590.2470.0672不进行勘探直接钻井的期望收益为70万元，进行勘探之后钻井，期望收益增加到70.0672万元，也就是勘探的信息价值为70.0672-70=0.0672万元，小于勘探费用10万元，因此应不进行勘探直接钻井。2）由上述计算可知，勘探之后钻井期望收益比为70.0672，扣除勘探费用10万元，利润为70.0672-10=60.0672，比不钻井期望收益高，因此勘探之后要钻井。

P(好P(好)=0.85P(好)=0.7P(不好)=0.15532.5P(好)=0.1528.25P(不好)=0.3P(不好)=0.9195P(好)=0.85P(好)=0.7P(不好)=0.15485P(好)=0.1424.5P(不好)=0.3P(不好)=0.930*5120*530*5如图所示：

410

100*580*5100*580*5方案一：528.25=（532.5+100）*0.7+（195+30*3）*0.3方案一的最终收益为E1528.25300228.25方案二：424.5=（485+60*3-200）*0.7+（410+40*3-200）*0.3方案二的最终收益为E2424.5200224.5E1E2，所以企业应该选择方案一。解：1）Y1y2李雷决策的层次结构图如下所示

A1H,2P,3M

，属性集名气地点名气地点李雷选择哪所学校HMHMP方案层

yymin首先对决策矩阵规范化，令zij

ij jj jymaxyminj j

,j1,2，对地点和名气两个属性进行规范化处理，得到的规范化决策矩阵为 0 1 Z0.326 1 0 利用层次分析法来设定各属性的加权系数。根据李雷自身的要求，得到下列的比较矩阵1 14 4 1 比较矩阵的最大特征值x=2，规范化的特征向量vx0.,0.8T，两个属性之间1 1有传递性，因此通过一致性检验。E(a10.8E(a20.2876E(a30.2E(a1最大，所以为最优H大学。2）该决策的层次结构图为选择同一所学校目标层选择同一所学校名气地点李雷选择哪所学校名气地点李雷选择哪所学校名气地点韩梅梅选择哪所学校准则层HMPHMPHMP由题可知，李雷和韩梅梅对于选择同一所学校的比较矩阵为B1

1 1.51.5 1 比较矩阵的最大特征值x=2，规范化的特征向量vx0.,0.4T对于韩梅梅而言，地点与名气的比较矩阵为1 13 3 1 比较矩阵的最大特征值x=2，规范化的特征向量vx0.2,0.75T2 21 2pvx,vx1 2vpvx0.2,0.78T（Ha2P大M）E(a1)0.780.781.56E(a1)0.220.3260.780.2780.220.43750.780.33330.645E(a3)0.220.220.44E(a1)最大，方案a1为最优方案，所以两人应选择去H大学。解：1）矩阵A的最大特征值为max3.025vx0.199,0.116,0.6834T

，对应的规范化特征向量为矩阵AI的最大特征值为

max3.0858

，对应的规范化向量为IIvx0.368,0.081,0.55TII矩阵AE的最大特征值为

max3.7262

,对应的规范化向量为EEvx0.289,0.379,0.3313TEE矩阵AR的最大特征值为

max3.2174

,对应的规范化向量为RRvx0.2,0.327,0.4126TRR经过公式CRCI,CImaxn计算得RI n13.0253矩阵A的CI 0.0125,CR0.022,CR0.1313.08583矩阵AJ的CI的CI矩阵AR的CI

313.72623313.2174331

0.0429,CR0.074,CR0.10.3631,CR0.626,CR0.10.1087,CR0.1874,CR0.1所以矩阵A和矩阵AJ通过一致性检验，矩阵AE和矩阵AR没有通过一致性检验。2）3项指标对招聘的权重为vx0.199,0.116,0.6834TI33项指标的权重分别为vx0.368,0.081,0.55TIvx0.289,0.379,0.3313T，vx0.2,0.327,0.4126TE RI E R因此pvx,vx,vx表示333I E Rwpvx0.28,0.28,0.43T由权重向量可知wS0.285,wJ0.284,wM0.431，wM最大，即候选人Maisa在此次招聘中占的权重最高，所以公司应该聘用Maisa。解 ：1） 因 为 收 益 的 取 值 区 间 为 10,20 ， 即x*20,x010,U(20)1,U(10)0由题中的等价条件可求出U(0)0.5U(20)0.5U(10)0.5U(8)0.5U(20)0.5U(0)0.75U(6)0.5U(0)0.5U(10)0.252）由上述求出的几个效用值画出效用曲线，如下图所示0-20-100102030由图可知，该效用曲线上凸，即该效用曲线为保守型效用曲线。8.7解：1）首先将决策矩阵规范化，费用和距离越小越好，所以采用z

yijyy2iji1得到的规范化决策矩阵为0.544 0.257 0.453 0.206 0.399 0.309 U0.326 0.515 0.399 0.386 0.272 0.618 令费用与距离的权重分别为1,2，则有各加油站的期望效用为E(a1)0.54410.2572E(a2)0.45310.2062E(a3)0.3092E(a4)0.5152E(a5)0.3862E(a6)0.61822）由题可知，10.667,20.333，构造规范化的决策矩阵0.544 0.257u(a) u(a) u(a) 0.453 0.2061 1 2

n 1 Uu1(a2) u2(a2) un(a2)0.399 0.309 0.326 0.515 u1(am)

u2(am)

un(am)

0.399 0.386 0.272 0.618 构造加权规范化决策矩阵

0.363 0.086u(a) u(a)

u(a) 0.302 0.069111 22 1

nn 1 U(a2) 2u2(a2) nun(a2)0.266 0.103 0.217 0.171 1u1(am)

2u2(am)

nun(am)

0.266 0.129 寻找正理想解和负理想解，由于费用和距离都是成本型属性，所以A+=0.069，A=0.363,0.206 dd计算各案到理想理想的离di、di，以及di a1a2a3a4a5a6di0.5780.1210.0920.1080.0880.137di410.150.1240.182Ci0.1720.5540.6050.5810.5850.571由于贴近值C3C5C4C6C2C1，所以方案的优先顺序为a3a5a4a6a2a1，所以方案a3为最优方案。8.8A123456属性集Y1,y2,3,y4y

yminzijymaxy

ij jj jymaxyminj j

，尽可能使zij策矩阵

j ijj jymaxyminj j

，进行规范化处理后得到下列的规范化决0.5059 0.8 0.6667 0.16 1 1 1 0 0.8768 0.7333 0.6667 0.0533Z0.1824 0.4333 0.6667 0.32 0.2824 0.1 0 0.76 0 0 0 1 利用层次分析法来设定各属性的加权系数。由于所考虑的四个属性的影响（即四个目标）的重要性相同，所以通过一致性检验，即比较矩阵为1111 111 B1111 111 比较矩的最特征为 4，vmax(0.25,0.25,0.25,0.25)T最后计算加权值E(a1)0.250.50590.250.80.250.66670.250.160.53315E(a2)0.2510.2510.2510.2500.75E(a3)0.250.87680.250.73330.250.66670.250.05330.5825E(a4)0.250.18240.250.43330.250.66670.250.320.4006E(a5)0.250.28240.250.10.2500.250.760.2856E(a6)0.2500.2500.2500.2510.25E(a222第九章答：在一定的规则下，同时或先后，一次或多次，从各自允许选择的行为或策略中进行选择并加以实施，各自取得相应结果的过程。一个完整的博弈应包含博弈方、策略空间、博弈的次序和得益(函数)博弈论就是系统研究可以用上述方法定义的各种博弈问题，寻求在各博弈方具有充分或者有限理性、能力的条件下，合理的策略选择和合理选择策略时博弈的结果，并分析这些结果的经济意义、效率意义的理论和方法。答：策略(空间)，即博弈方选择的内容，可以是方向、取舍选择，也可以是连续的数得益或得益函数，即博弈方行为、策略选择的相应后果、结果，必须是数量或者行为逻辑和理性程度，即博弈方是依据个体理性还是集体理性行为，以及理性的程度等。如果设定博弈模型时不专门设定后两个方面，就是隐含假定是完全、完美信息和完全理性的非合作博弈。就是说，信息结构、博弈方的行为逻辑和理性层次等其实也是博弈问题隐含或者需要明确的内容。答：10000平方米，如果其他厂商已经开发了8000平方米，那么你再开发5000平方米就会导致供过于求，销售就会发生困难，但如果其他厂商只开发了不到5000平方米，那么你开发5000平方米就是完全合理的。读者可进一步给出更多例子，并考虑建立这些博弈问题的详细模型并加以讨论。答：“智猪博弈”是一个著名的纳什均衡的例子。假设猪圈里有一头大猪、一头小猪。10个单位的猪食进槽，但是谁按按钮就会首先付出2个单位的成本，若大猪先到槽边，大小猪吃到9∶17∶36∶4。那么，在两头猪都有智慧的前提下，最终结果是小猪选择等待。“智猪博弈”故事给了竞争中的弱者(小猪)以等待为最佳策略的启发，例如小企业在某些时候如果能够注意等待，让其他大的企业首先开发市场，则是一种明智的选择。答：与人单独改变策略都不会得到好处。也就是说，如果在一个策略组合上，当所有其他“囚徒困境”的内在根源是在个体之间存在行为和利益相互制约的博弈结构中，以个体理性和个体选择为基础的分散决策方式，无法有效地协调各方面的利益，并实现整体、个体利益共同的最优。简单地说，“囚徒的困境”问题就是个体理性与集体理性的矛盾引起的。现实中“囚徒困境”的问题很多，例如厂商之间的价格战、恶性的广告竞争，初中等教育中的应试教育等，其实都是“囚徒困境”的表现形式。用“划线法”求解手心手背博弈的纳什均衡为(手心，手心)，而(手背，手背)却不是均衡解，这也是个“囚徒困境”。答：2AB50其他人有多少钱，钱混在一起后也不知道总共有多少钱。现在，由于金钱混到一起，于AB60ABB506050(50，50)(0，0)A60(0，0)(0，0)AB50不多一分也不少一分。否则，如果有一方想多得，二者将一分也得不到，钱全部归律师所有。拓展到N人情况，理性博弈者可以从最简单的二人博弈中发现每个人的最优策略仍然是只能拿到自己本有的金额。否则，一人的多得将会导致所有人都没有，而这是一个最差的结果。按照不多得的策略，至少还可以得到自己应有的那一份。更一般地，假设钱的总数为M，且M为共同知识，则每个人的战略空间为：SixR|0xM

u(x)i,

xjMi i

xjM显然，每个参与人iMxj，就能实现收益最大化。这就是说，所ji有使得xjM,xjSj成立的策略组合都是纯策略那什均衡。答：他策略。弱占优策略是指无论其他人采取什么样的策略，这个策略的回报都大于等于其他策略的回报。如果所有人都使用他们的弱占优策略，那么这就是一个弱占优策略均衡。2答：a,1bac2答：根据混合策略纳什均衡的求解方法，该博弈的混合策略纳什均衡为：772161。77答：4)和(42)。33449.11答：该博弈的混合策略纳什均衡为：2,1,33344 答：1)()和(不开发，开发)。这表明，甲乙两个公司中只有一家公司开发是纳什均衡，而两家公司都开发或都不开发不是纳什均衡。此外，该博弈还有一个混合策略纳什均衡，根据混合策略纳什均衡的求解方法，不难算出本博弈的混合策略纳什均衡是两个公司都以(10/11,1/11)的概率分布随机选择开发或不开发。本博弈的两个纯策略纳什均衡前一个对甲有利，后一个对乙有利。混合策略纳什均衡也并不是好的选择，因为结果除了仍然最多是对一方有利的纯策略纳什均衡以外，还可能出现大家不开发浪费了机会，或根据上述分析可知，如果没有其他因素的影响，该博弈的两个博弈方谁都无法保证博弈的结果有利于自己。如果乙公司所在国政府要保护本国公司的利益，那么促使博弈结果有利于本国乙公司的途径就是设法改变上述博弈的利益结构，从而促使有利于本国乙公司的均衡出现。政府改变博弈的得益结构的有效方法是对本国公司的开发活动进行补贴。例如若乙公司所在国政府对乙公司的开发活动提供20单位(百万美元)乙公司开发不开发开发(-10，10)(100，0)甲公司不开发(0，120)(0，0)不难发现乙公司所在国政府对乙公司开发活动的补贴使得开发变成乙公司相对于不开发的严格上策，即使甲公司选择开发，乙公司选择开发也比选择不开发更有利，因此乙公司此时的惟一选择是开发。根据上述得益矩阵，甲公司完全可以判断出乙公司的()，结果是1202020那么政府最终也没有损失甚至还能获利。这正是现代世界各国政府对本国企业的国际答：1)网络市场0.35 0.65开(20，-20)(-10，10)我不开(0，0)(0，0)该博弈的扩展式表示为：市场市场0.35 0.65我我开不开开不开(20,-20) (0,0) (-10,10) (0,0)2)0.35*20+0.65*(-10)=0.5>0，所以选择开。0.3*20+0.7*(-10)=-1<0，所以选择不开。3)0.9*0.35*20+0.65*(-10))=-0.02<0，所以选择不开。4)1.2*0.35*20+0.65*(-10)=0.19>0，所以选择开。9.14答：1)G(21，VG12)G的解为：(3,1)，VG31 2 T89.15答：1)中人I的最优混策略：x*,0, ,08

，局中人II的最优混合策y*

21T ,33

，VG3

3 3 3 8T2)局中人I的最优混合策略为：x* , ，局中人II的最优混合策略为：y*

2T0, ,1111

49，VG 11

1111 11T

13T 59.16答：x*

, 22

，y*

, 44

，VG214

11T

12T9.17答：1)局人I的最优混策略：x* 0, , =0，，

，局中人II3 147 1411 T12 T 14

33的最优合策为：y* , ,0 = ，,0 ，V3 147

33 G 3 41 1T1 2T2)局人I的最优合策略：x*

,

=

,0，

，局中人II的最优34 2 3 3411 T21 T 4混合策为：x* , ,0 = ,

,0 ，V324

33 G 3 9.18答：分析如下。敌人有三个师，布防在甲乙两条通道上。由于必须整师布防，敌A、三个师都驻守甲方向；B、两个师驻守甲方向，一个师驻守乙方向；C、一个师驻守甲方向，两个师驻守乙方向：D、三个师都驻守乙方向。同样，你有两个师的攻城部队，可以有三种部署方案，即：a、集中全部两个师的兵力从甲方向攻击；b、兵分两路，一师从甲方向，另一师从乙方向，同时发起攻击；c、集中全部两个师的兵力从乙方向攻击。如果我们用“+，-”表示我方攻克，用“-，+”表示敌方守住，则可将交战双方的胜负结果表示如下的得益矩阵：敌我(-，+)(-，+)(+，-)(+，-)(+，-)(-，+)(-，+)(+，-)(+，-)(+，-)(-，+)(-，+)a“”A(-，+)；如果“”B取C“敌人”(+，-)“敌人”采取D方案，你攻在敌军的薄弱点上，你就能长驱直入，轻取城池，结果也是(+，-)。AB。如果我军采取策略a，ABbAB会赢，如我军采取策略cABBA好：采取策略A会赢的话(如果我军取a)，采取策略B一定也会赢；采取策略A会输的话(bc)BbCDCD剩下上边那个三行两列的矩阵，六个格子中，(-，+)比(+，-)多，似乎敌方的赢面比较BCbbBC那样的二一布防，一路两个师，另一路一个师，而我军必集中兵力于某一路实施攻击，即a或c那样的攻击策略。这样，你若攻在敌军的薄弱处，你就获胜，你若攻在敌人兵力第十章10.1解：根据题意，150辆/小时，1/15秒，