2024-2025学年高中数学第一章三角函数5.1正弦函数的图像课时作业含解析北师大版必修4

PAGE第一章三角函数[课时作业][A组基础巩固]1．有下列说法：①作正弦函数的图像时，单位圆的半径长与x轴的单位长度必需一样；②y＝sinx，x∈[0,2π]的图像关于点P(π，0)对称；③y＝sinx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5π,2)))的图像关于直线x＝eq\f(3π,2)成轴对称图形；④正弦函数y＝sinx的图像不超出直线y＝－1和y＝1所夹的区域．其中，正确说法的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：作出正弦函数y＝sinx的图像，可知①②③④均正确．答案：D2．函数y＝－sinx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(3π,2)))的简图是()答案：D3．方程|sinx|＝eq\f(1,2)的根中，在[0,2]内的有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：如图所示，在区间[0，π]内|sinx|＝eq\f(1,2)的两个根为eq\f(π,6)和eq\f(5π,6)，又因为2<eq\f(5π,6)，所以在区间[0,2]内|sinx|＝eq\f(1,2)只有一个根eq\f(π,6).答案：A4．在[0,2π]内，不等式sinx＜－eq\f(\r(3),2)的解集是()A．(0，π) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(4π,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)，\f(5π,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)，2π))解析：画出y＝sinx，x∈[0,2π]的图像如下：因为sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))＝－eq\f(\r(3),2)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(π,3)))＝－eq\f(\r(3),2).即在[0,2π]内，满意sinx＝－eq\f(\r(3),2)的是x＝eq\f(4π,3)或x＝eq\f(5π,3).由图可知不等式sinx＜－eq\f(\r(3),2)的解集是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)，\f(5π,3))).答案：C5．方程x＋sinx＝0的根有()A．0个 B．1个C．2个 D．多数个解析：设f(x)＝－x，g(x)＝sinx，在同始终角坐标系中画出f(x)和g(x)的图像，如图所示．由图知f(x)和g(x)的图像仅有一个交点，则方程x＋sinx＝0仅有一个根．答案：B6．已知f(sinx)＝x且x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝_________________.解析：因为x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以sinx＝eq\f(1,2)时，x＝eq\f(π,6)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,6)))＝eq\f(π,6).答案：eq\f(π,6)7．由正弦函数y＝sinx的图像可知，若sinx＜0，则自变量x的取值范围是________．解析：在[－π，π]上，sinx＜0的解集是{x|－π＜x＜0}，∴sinx＜0的解集为{x|2kπ－π＜x＜2kπ，k∈Z}．答案：2kπ－π＜x＜2kπ，k∈Z8．假如直线y＝a与函数y＝sinx，x∈[0，eq\f(3,2)π]的图像有且只有一个交点，则a的取值范围是________．解析：画出y＝sinx，x∈[0，eq\f(3,2)π]的图像，如图直线y＝a与该图像只有一个交点时，a＝sineq\f(π,2)或sineq\f(3π,2)≤a＜sinπ，即a＝1或－1≤a＜0.答案：－1≤a＜0或a＝19．画出下列函数的简图，并指出其与函数y＝sinx图像的关系．(1)y＝|sinx|；(2)y＝sin|x|.解析：(1)列表：x－eq\f(π,2)－eq\f(π,4)0eq\f(π,4)eq\f(π,2)eq\f(3π,4)πeq\f(5π,4)eq\f(3π,2)2πy＝sinx－1－eq\f(\r(2),2)0eq\f(\r(2),2)1eq\f(\r(2),2)0－eq\f(\r(2),2)－10y＝|sinx|1eq\f(\r(2),2)0eq\f(\r(2),2)1eq\f(\r(2),2)0eq\f(\r(2),2)10描点、连线成图，如图．与y＝sinx图像的关系：函数y＝|sinx|的图像可以看作是把y＝sinx图像中x轴及上方的部分不变，把x轴下方的图像沿x轴翻折上去而得到．(2)列表：x－2π－eq\f(3,2)π－π－eq\f(π,2)0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy＝|x|2πeq\f(3,2)ππeq\f(π,2)0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy＝sin|x|0－101010－10描点、连线成图，如图．与y＝sinx图像的关系：y轴右侧部分与y＝sinx(x＞0)图像完全相同，y轴左侧部分是把y＝sinx图像在y轴右侧的部分沿y轴翻折得到，即函数y＝sin|x|的图像关于y轴对称，是一个偶函数．10．求方程sinx＝lg(x＋6)根的个数．解析：构造两个函数f(x)＝sinx，g(x)＝lg(x＋6)．在同一坐标系下画出两个函数的图像，图像交点的横坐标就是方程的根．由图知，两图像有三个交点，故方程有三个实根．[B组实力提升]1．与图中曲线对应的函数是()A．y＝|sinx| B．y＝sin|x|C．y＝－sin|x| D．y＝－|sinx|解析：∵|sinx|≥0，－|sinx|≤0，∴选项A，D不成立；对于选项B，当x≥0时，y＝sin|x|＝sinx，明显不成立；故C成立．答案：C2．方程2x＝sinx的实数解有()A．0个 B．1个C．2个 D．无穷多个解析：由图像可知y＝sinx为周期函数，∴其交点的个数有无穷多个．答案：D3．若sinx＝a－1有意义，则a的取值范围是________．解析：因为－1≤sinx≤1，所以－1≤a－1≤1.即0≤a≤2.答案：[0,2]4．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx，x≥0，,x＋2，x＜0，))则不等式f(x)＞eq\f(1,2)的解集是_______．解析：在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和函数y＝eq\f(1,2)的图像，如图所示．当f(x)＞eq\f(1,2)时，函数f(x)的图像位于函数y＝eq\f(1,2)的图像的上方，此时－eq\f(3,2)＜x＜0或eq\f(π,6)＋2kπ＜x＜eq\f(5π,6)＋2kπ(k∈N)．答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)＜x＜0或\f(π,6)＋2kπ＜x＜\f(5π,6)＋2kπ，(k∈N)))5．方程sinx＝eq\f(1－a,2)在x∈[eq\f(π,3)，π]上有两个实数解，求a的取值范围．答案：(－1,1－eq\r(3))6．用“五点法”作出函数y＝1－2sinx，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：(1)视察函数图像，写出满意下列条件的x的区间．①y＞1；②y＜1.(2)若直线y＝a与y＝1－2sinx，x∈[－π，π]的图像有两个交点，求a的取值范围．解析：列表如下：x－π－eq\f(π,2)0eq\f(π,2)πsinx0－10101－2sin