2024-2025学年新教材高中数学第九章解三角形9.1.1正弦定理学案新人教B版必修第四册

PAGE9.1.1正弦定理必备学问·自主学习1.三角形的面积公式若记△ABC的面积为S,则S=QUOTEabsinC=QUOTEacsinB=QUOTEbcsinA.

2.正弦定理文字语言在一个三角形中,各边的长和它所对角的正弦的比相等.符号语言QUOTE=QUOTE=QUOTE(1)正弦定理常见的变形式:①sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c;②QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=2R;③a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;④sinA=QUOTE,sinB=QUOTE,sinC=QUOTE.(2)利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题:①已知两角和随意一边,求其他两边和第三个角;②已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,从而求出其他的边和角.正弦定理的主要功能是什么?提示:实现三角形中边角关系的转化.3.解三角形我们把三角形的3个角与3条边都称为三角形的元素.已知三角形的若干元素,求其他元素,一般称为解三角形.若已知三角形的两边及其中一边所对的角,三角形的解是否唯一?提示:不肯定唯一,也可能不存在.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)正弦定理适用于随意三角形 ()(2)在△ABC中,等式bsinA=asinB总能成立 ()(3)在△ABC中,已知a,b,A,则此三角形有唯一解 ()提示:(1)√.正弦定理适用于随意三角形.(2)√.由正弦定理知QUOTE=QUOTE,即bsinA=asinB.(3)×.在△ABC中,已知a,b,A,此三角形的解有可能是无解、一解、两解的状况,详细状况由a,b,A的值来定.2.在△ABC中,已知A=30°,B=60°,a=10,则b等于 ()A.5QUOTE B.10QUOTE C.QUOTE D.5QUOTE【解析】选B.由正弦定理得b=QUOTE=QUOTE=10QUOTE.3.(教材二次开发:例题改编)在△ABC中,a=2QUOTE,b=2QUOTE,B=45°,则A等于 ()A.30°或150° B.60°C.60°或120° D.30°【解析】选C.依据正弦定理QUOTE=QUOTE,可得QUOTE=QUOTE,解得sinA=QUOTE,故可得A为60°或120°;又a>b,则A>B,明显两个结果都满意题意.4.在△ABC中,AB=4QUOTE,B=QUOTE,点D在边BC上,∠ADC=QUOTE,CD=2,则AD=;△ACD的面积为.

【解析】因为∠ADC=QUOTE,所以∠ADB=QUOTE,在△ABD中,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,AD=QUOTE=QUOTE=4QUOTE.在△ACD中,S△ACD=QUOTEAD×DCsin∠CDA=QUOTE×4QUOTE×2×QUOTE=2QUOTE.答案:4QUOTE2QUOTE关键实力·合作学习类型一利用正弦定理解三角形(数学运算)【典例】(1)在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,求A,b,c.(2)在△ABC中,c=QUOTE,C=60°,a=2,求A,B,b.【思路导引】(1)先求角A,再利用正弦定理求解.(2)利用正弦定理求角A,再求B和b.【解析】(1)A=180°-(B+C)=180°-(60°+75°)=45°,由正弦定理QUOTE=QUOTE,得b=QUOTE=QUOTE=4QUOTE,由QUOTE=QUOTE,得c=QUOTE=QUOTE=QUOTE=4QUOTE.(2)因为QUOTE=QUOTE,所以sinA=QUOTE=QUOTE.所以A=45°或A=135°.又因为c>a,所以C>A.所以A=45°.所以B=75°,b=QUOTE=QUOTE=QUOTE+1.1.已知三角形随意两角和一边解三角形的基本思路(1)由三角形的内角和定理求出第三个角.(2)由正弦定理公式的变形,求另外的两条边.2.已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一边所对角的正弦值.(2)假如已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能推断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角唯一.(3)假如已知的角为小边所对的角时,则不能推断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求两个角,要分类探讨.1.(2024·天津高一检测)在△ABC中,若b=QUOTE,c=3,B=30°,则sinC= ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.1【解析】选B.依据正弦定理QUOTE=QUOTE,解得sinC=QUOTE.2.(2024·遂宁高一检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,b=3QUOTE,B=QUOTE,tanA=QUOTE,则a的值是 ()A.10QUOTE B.2QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.由已知tanA=QUOTE=QUOTE,又sin2A+cos2A=1,且A为锐角得sinA=QUOTE,由正弦定理QUOTE=QUOTE得,a=QUOTE·sinA=QUOTE×QUOTE=2QUOTE.类型二三角形的面积问题(数学运算)【典例】三角形的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos(A-C)+cosB=1,a=2c.(1)求C角的大小;(2)若a=QUOTE,求△ABC的面积.【思路导引】(1)化简cos(A-C)+cosB=1,结合正弦定理求出角C.(2)利用(1)的结果求出A和B,用三角形的面积公式计算.【解析】(1)因为A+B+C=180°,所以cos(A+C)=-cosB,因为cos(A-C)+cosB=1,所以cos(A-C)-cos(A+C)=1,绽开得:cosAcosC+sinAsinC-(cosAcosC-sinAsinC)=1,所以2sinAsinC=1.因为a=2c,依据正弦定理得:sinA=2sinC,代入上式可得:4sin2C=1,所以sinC=QUOTE,所以C=30°.(2)由(1)sinA=2sinC=1,所以A=90°.因为a=QUOTE,C=30°,所以c=QUOTE,B=60°.所以S△ABC=QUOTEacsinB=QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.三角形面积问题的求解方法对于面积公式S=QUOTEabsinC=QUOTEacsinB=QUOTEbcsinA,一般是已知哪一个角就运用哪一个公式.1.(2024·金华高一检测)在△ABC中,AB=QUOTE,AC=1,B=QUOTE,则△ABC的面积是 ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTE或QUOTE D.QUOTE或QUOTE【解析】选C.QUOTE=QUOTE,所以sinC=QUOTE=QUOTE,C=QUOTE或QUOTEπ.(1)当C=QUOTE时,A=π-(B+C)=QUOTE,所以S△ABC=QUOTEAB·AC·sinA=QUOTE;(2)当C=QUOTEπ时,A=π-(B+C)=QUOTE,所以S△ABC=QUOTEAB·AC·sinA=QUOTE.2.(2024·佛山高一检测)在△ABC中,已知b=5,A=60°,S△ABC=5QUOTE,则c等于 ()A.4B.16C.21D.QUOTE【解析】选A.因为b=5,A=60°,S△ABC=5QUOTE,所以S△ABC=QUOTEbcsinA,所以QUOTE×5×sin60°c=5QUOTE,解得c=4.类型三正弦定理的综合应用(逻辑推理)角度1推断三角形的形态

【典例】在△ABC中,已知QUOTE=QUOTE,且sin2A+sin2B=sin2C.求证:△ABC为等腰直角三角形.【思路导引】利用正弦定理,把条件中的角转化为边,再利用勾股定理的逆定理推断.【证明】因为QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,又因为QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,所以a2=b2,即a=b,设QUOTE=QUOTE=QUOTE=k(k≠0),则sinA=QUOTE,sinB=QUOTE,sinC=QUOTE,又因为sin2A+sin2B=sin2C,所以QUOTE+QUOTE=QUOTE,即a2+b2=c2,所以△ABC为等腰直角三角形.把本例的条件改为:acosQUOTE=bcosQUOTE,试推断△ABC的形态.【解析】【法一化角为边】因为acosQUOTE=bcosQUOTE,所以asinA=bsinB.由正弦定理可得:a·QUOTE=b·QUOTE,所以a2=b2,所以a=b,所以△ABC为等腰三角形.【法二化边为角】因为acosQUOTE=bcosQUOTE,所以asinA=bsinB.由正弦定理可得:2Rsin2A=2Rsin2所以A=B.(A+B=π不合题意舍去)故△ABC为等腰三角形.利用正弦定理推断三角形的形态的两条途径(1)化角为边.将题目中的全部条件,利用正弦定理化角为边,再依据多项式的有关学问(分解因式、配方等)得到边的关系,如a=b,a2+b2=c2等,进而确定三角形的形态.利用的公式为:sinA=QUOTE,sinB=QUOTE,sinC=QUOTE.(2)化边为角.将题目中全部的条件,利用正弦定理化边为角,再依据三角函数的有关学问得到三个内角的关系,进而确定三角形的形态.利用的公式为:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.角度2最值或范围问题

【典例】在锐角△ABC中,角A,B,C分别对应边a,b,c,且a=2bsinA,求cosA+sinC的取值范围.【思路导引】利用正弦定理,把cosA+sinC转化为一个角的函数,利用三角函数的性质求解.【解析】在锐角△ABC中,依据正弦定理,a=2RsinA,b=2RsinB,其中R为外接圆半径.因为a=2bsinA,所以2RsinA=4RsinBsinA,所以sinB=QUOTE.因为△ABC为锐角三角形,所以B=QUOTE.令y=cosA+sinC=cosA+sin[π-(B+A)]=cosA+sinQUOTE=cosA+sinQUOTEcosA+cosQUOTEsinA=QUOTEcosA+QUOTEsinA=QUOTE=QUOTEsinQUOTE.由锐角△ABC知,QUOTE-B<A<QUOTE,所以QUOTE<A<QUOTE.所以QUOTE<A+QUOTE<QUOTE,所以QUOTE<sinQUOTE<QUOTE,所以QUOTE<QUOTEsinQUOTE<QUOTE,即QUOTE<y<QUOTE.所以cosA+sinC的取值范围是QUOTE.三角综合问题的求解策略利用正弦定理求三角函数式的最值或范围的关键是依据已知条件,敏捷运用正弦定理及三角基本关系式,对边角关系进行相互转化,借助三角恒等变换解决问题.1.(2024·雅安高一检测)设在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形态为 ()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不确定【解析】选B.因为bcosC+ccosB=asinA,所以由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sin2A,sinQUOTE=sin2A⇒sinA=sin2A所以sinA=1,A=QUOTE,所以△ABC是直角三角形.2.(2024·大连高一检测)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,tanA=QUOTE,则QUOTE的取值范围是 ()A.(2QUOTE,+∞) B.(2QUOTE,4)C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.因为tanA=QUOTE=QUOTE,所以cos2A+cosCcosA=sin2A+sinAsinC,cos2A-sin2A=-(cosAcosC-sinAsinC),cos2A=-cos(A+C),cos2A=cosB,所以在锐角△ABC中,2A=B,因为A+B+C=π,可得3A+C=π,C∈QUOTE,所以A=QUOTE∈QUOTE,可得sinA∈QUOTE,因为a=2,所以QUOTE=QUOTE∈(2QUOTE,4).【补偿训练】(2024·合肥高一检测)在△ABC中,角A,B,C对应的边是a,b,c且满意b(1+cosC)=2acosC+ccosA,则该三角形为 ()A.等腰三角形 B.等腰或直角三角形C.等腰直角三角形 D.直角三角形【解析】选B.由题b(1+cosC)=2acosC+ccosA,依据正弦定理得sinB(1+cosC)=2sinAcosC+sinCcosA,sinB+sinBcosC=sinAcosC+sinAcosC+sinCcosA,sinB+sinBcosC=sinAcosC+sinQUOTE,A+C=π-B,sinBcosC=sinAcosC,sinB=sinA或cosC=0,所以A=B或C=QUOTE,所以三角形为等腰三角形或直角三角形.备选类型三角形解的个数及有关问题(逻辑推理)【典例】(2024·重庆高一检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,c=QUOTE,acosC=csinA,若当a=x0时的△ABC有两解,则x0的取值范围是 ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE【思路导引】利用正弦定理边角互化思想求得C=QUOTE,依据△ABC有两解可得出asinC<c<a,进而可求得x0的取值范围.【解析】选C.因为acosC=csinA,由正弦定理边角互化思想得sinAcosC=sinAsinC,因为0<A<π,所以sinA>0,得sinC=cosC,则tanC=1,因为0<C<π,所以C=QUOTE.因为c=QUOTE,且△ABC有两解,所以asinC<c<a,即QUOTEx0<QUOTE<x0,解得QUOTE<x0<2.因此x0的取值范围是QUOTE.三角形解的个数的推断已知三角形的两角和随意一边,求另两边和另一角,此时有唯一解,三角形被唯一确定.已知两边和其中一边的对角,求其他的边和角,此时可能出现一解、两解或无解的状况,三角形不能被唯一确定,现以已知a,b和A解三角形为例说明.图形关系式解的个数A为锐角①a=bsinA;②a≥b一解bsinA<a<b两解a<bsinA无解已知下列各三角形中的两边及其一边的对角,推断三角形是否有解,有解的作出解答.(1)a=10,b=20,A=80°.(2)a=2QUOTE,b=6,A=30°.【解析】(1)a=10,b=20,a<b,A=80°<90°,探讨如下:因为bsinA=20sin80°>20sin60°=10QUOTE,所以a<bsinA,所以本题无解.(2)a=2QUOTE,b=6,a<b,A=30°<90°,因为bsinA=6sin30°=3,a>bsinA,所以bsinA<a<b,所以三角形有两解.由正弦定理得sinB=QUOTE=QUOTE=QUOTE,又因为0°<B<180°,所以B1=60°,B2=120°.当B1=60°时,C1=90°,c1=QUOTE=QUOTE=4QUOTE;当B2=120°时,C2=30°,c2=QUOTE=QUOTE=2QUOTE.所以B1=60°时,C1=90°,c1=4QUOTE;B2=120°时,C2=30°,c2=2QUOTE.课堂检测·素养达标1.在△ABC中,下列式子与QUOTE的值相等的是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE.2.在△ABC中,A=30°,a=3,b=2,则这个三角形有 ()A.一解 B.两解 C.无解 D.无法确定【解析】选A.因为b<a,A=30°,所以B<30°,故三角形有一解.3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=2,c=2QUOTE,且C=QUOTE,则△ABC的面积为.

【解析】由正弦定理QUOTE=QUOTE⇒sinB=QUOTE=QUOTE,又c>b,且B∈(0,π),所以B=QUOTE,所以A=QUOTE,所以S=QUOTEbcsinA=QUOTE×2×2QUOTEsinQUOTE=QUOTE×2×2QUOTE×QUOTE=QUOTE+1.答案:QUOTE+14.(教材二次开发:练习改编)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若bsinA=asinC,c=1,则b=,△ABC面积的最大值为.

【解析】因为bsinA=asinC,所以由正弦定理可得ba=ac,所以b=c=1;所以S△ABC=QUOTEbcsinA=QUOTEsinA≤QUOTE,当sinA=1,即A=90°时三角形面积最大.答案:1QUOTE课时素养评价一正弦定理(15分钟30分)1.(2024·遂宁高一检测)在△ABC中,a=20,A=45°,B=75°,则边c的长为 ()A.10QUOTEB.10QUOTEC.15QUOTED.15QUOTE【解析】选B.由已知C=180°-A-B=180°-45°-75°=60°,由正弦定理QUOTE=QUOTE得c=QUOTE·sinC=QUOTE×QUOTE=10QUOTE.【补偿训练】已知△ABC的面积为4,且2sinAsinB=sinC,则AB的长为 ()A.4B.2QUOTEC.2D.QUOTE【解析】选A.因为2sinAsinB=sinC,由正弦定理得2BC·sinB=AB,又QUOTEBC·AB·sinB=4,所以AB2=16,得AB=4.2.在△ABC中,若QUOTE=QUOTE,则C的值为 ()A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】选B.由正弦定理得QUOTE=QUOTE=QUOTE,则cosC=sinC,即C=45°.3.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若a=1,b=QUOTE,B=60°,则△ABC的面积为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.1 D.QUOTE【解析】选B.因为a=1,b=QUOTE,B=60°,所以由正弦定理可得:sinA=QUOTE=QUOTE=QUOTE,因为a<b,A<60°,所以A=30°,C=180°-A-B=90°,所以S△ABC=QUOTEab=QUOTE×1×QUOTE=QUOTE.4.在△ABC中,若QUOTEa=2bsinA,则B= ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE或QUOTE D.QUOTE或QUOTE【解析】选C.由正弦定理得QUOTE×2RsinA=2×2RsinBsinA,所以sinB=QUOTE.又因为B∈(0,π),所以B=QUOTE或QUOTE.5.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=QUOTE,c=3,则A=.

【解析】由正弦定理得sinB=QUOTE=QUOTE=QUOTE,结合b<c得B=45°,则A=180°-B-C=75°.答案:75°6.在△ABC中,若(sinA+sinB)(sinA-sinB)=sin2C,则△ABC的形态是【解析】由已知得sin2A-sin2B=sin2C,依据正弦定理知sinA=QUOTE,sinB=QUOTE,sinC=QUOTE,所以QUOTE-QUOTE=QUOTE,即a2-b2=c2,故b2+c2=a2.所以△ABC是直角三角形.答案:直角三角形(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cosB等于 ()A.-QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.QUOTE【解析】选D.由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以sinB=QUOTE=QUOTE=QUOTE.因为a>b,所以A>B,又因为A=60°,所以B为锐角.所以cosB=QUOTE=QUOTE=QUOTE.2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,则cosC等于 ()A.QUOTE B.-QUOTE C.±QUOTE D.QUOTE【解析】选A.方法一:因为在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,所以8sinB=5sinC=5sin2B=10sinBcosB,所以cosB=QUOTE,又因为B为三角形内角,所以sinB=QUOTE=QUOTE.所以sinC=sin2B=2×QUOTE×QUOTE=QUOTE.又因为cosB>cos45°,所以B<45°,C=2B<90°,cosC=QUOTE=QUOTE.方法二:因为8b=5c,所以8sinB=5sinC,即sinB=QUOTEsinC,因为C=2B,所以cosC=cos2B=1-2sin2B=1-2QUOTE,即25cos2C-32cosC+7=0.解得cosC=QUOTE或cosC=1(舍去).【补偿训练】(2024·宁乡高一检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2QUOTE,c=3,B=2C,则cos2C的值为 ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】选B.由正弦定理可得QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=2cosC=QUOTE⇒cosC=QUOTE,所以cos2C=2cos2C-1=2×QUOTE-1=QUOTE.3.(2024·潍坊高一检测)在△ABC中,角A,B的对边分别是a,b,且A=60°,b=2,a=x,若解此三角形有两解,则x的取值范围是 ()A.x>QUOTEB.0<x<2C.QUOTE<x<2 D.QUOTE<x≤2【解析】选C.由正弦定理得sinB=QUOTE=QUOTE,因为A=60°,所以0°<B<120°,要使此三角形有两解,则60°<B<120°,且B≠90°,即QUOTE<sinB<1,所以QUOTE<QUOTE<1,解得QUOTE<x<2.4.(2024·南昌高一检测)在△ABC中,内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若acosC+ccosA=2bcosB,且cos2B+2sinAsinC=1,则a-2b+c= ()A.QUOTEB.QUOTEC.2D.0【解析】选D.因为acosC+ccosA=2bcosB,所以由正弦定理可得sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB,即sinQUOTE=sinB=2sinBcosB,因为sinB≠0,所以cosB=QUOTE,B=QUOTE.因为cos2B+2sinAsinC=1,所以2sinAsinC=1-cos2B=2sin2B=QUOTE,sinAsinC=QUOTE,cosQUOTE=cosAcosC-sinAsinC=-cosB=-QUOTE,所以cosAcosC=QUOTE,cosQUOTE=cosAcosC+sinAsinC=QUOTE+QUOTE=1,A-C=0,A=C,又因为A+C=π-B=QUOTE,所以A=C=B=QUOTE⇒a=b=c,所以a-2b+c=0.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.(2024·如东高一检测)在△ABC中,依据下列条件解三角形,其中有一解的是 ()A.b=7,c=3,C=30°B.b=5,c=4,B=45°C.a=6,b=3QUOTE,B=60° D.a=20,b=30,A=30°【解析】选BC.A.b=7,c=3,C=30°,QUOTE=QUOTE,故sinB=QUOTE,无解.B.b=5,c=4,B=45°,QUOTE=QUOTE,故sinC=QUOTE,c<b,故C<B,有一解.C.a=6,b=3QUOTE,B=60°,QUOTE=QUOTE,故sinA=1,有一解.D.a=20,b=30,A=30°,QUOTE=QUOTE,故sinB=QUOTE,b>a,故B>A,有两解.6.(2024·涟水高一检测)已知△ABC的面积为QUOTE,且b=2,c=QUOTE,则A= ()A.30°B.60°C.150°D.120°【解析】选BD.因为S=QUOTEbcsinA=QUOTE,所以QUOTE×2×QUOTEsinA=QUOTE,所以sinA=QUOTE,因为0°<A<180°,所以A=60°或120°.【补偿训练】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin2C=tanAQUOTE,则下列结论中错误的是 ()A.△ABC可能是直角三角形B.角B可能是钝角C.必有A=2BD.可能有a=2b【解析】选BC.依题意得2sinCcosC=QUOTE(2-QUOTE=QUOTE·cosC·(1-2cosC),整理得cosC·[2(sinAcosC+cosAsinC)-sinA]=0,即cosC·(2sinB-sinA)=0,所以cosC=0或sinA=2sinB.因此当cosC=0时,△ABC是直角三角形,故A选项正确;而当sinA=2sinB时,由正弦定理可得a=2b,因此选项D正确;选项C错误;无论是cosC=0还是sinA=2sinB,均可得角B为锐角,故B错误.三、填空题(每小题5分,共10分)7.在△ABC中,A=60°,B=45°,a+b=12,则a=.

【解析】因为QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,所以QUOTEb=QUOTEa,①又因为a+b=12,②由①②可知a=12(3-QUOTE).答案:12(3-QUOTE)【补偿训练】在△ABC中,若A=120°,AB=5,BC=7,则sinB=.

【解析】由正弦定理得QUOTE=QUOTE,即sinC=QUOTE=QUOTE=QUOTE.可知C为锐角,所以cosC=QUOTE=QUOTE.所以sinB=sin(180°-120°-C)=sin(60°-C)=sin60°·cosC-cos60°·sinC=QUOTE.答案:QUOTE8.(2024·会宁高一检测)在△ABC中,A=60°,a=6QUOTE,b=12,S△ABC=18QUOTE,则QUOTE=,c=.

【解析】由正弦定理,QUOTE=QUOTE=QUOTE,可得QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=12,由于a=6QUOTE,b=12,S△ABC=18QUOTE,则S△ABC=QUOTEabsinC=QUOTE×6QUOTE×12×sinC=18QUOTE,即有sinC=QUOTE,再由正弦定理,QUOTE=QUOTE=QUOTE,可得c=QUOTE=QUOTE=6.答案:126四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A-C=90°,a+c=QUOTEb,求C.【解析】由A-C=90°,得A为钝角且sinA=cosC,利用正弦定理,a+c=QUOTEb可变形为sinA+sinC=QUOTEsinB,又因为sinA=cosC,所以sinA