2024-2025学年高中数学第三章变化率与导数3.4导数的四则运算法则学案含解析北师大版选修1-1

PAGE4导数的四则运算法则授课提示：对应学生用书第37页一、导数的加法与减法法则两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差)，即[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)，[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)．二、导数的乘法与除法法则若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f′(x)和g′(x)，则[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，[eq\f(fx,gx)]′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,g2x)(g(x)≠0)．特殊地，当g(x)＝k时，有[kf(x)]′＝kf′(x)．[想一想]1．导数的和(差)公式对三个或三个以上函数导数的运算还成立吗？提示：两个函数和(差)的求导法则可以推广到有限个函数的状况，即[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f1′(x)±f2′(x)±…±fn′(x)．2．导数运算法则成立的条件是什么？提示：要求两个函数必需都可导且商式中要求分母不为零．[练一练]3．函数f(x)＝x(x2＋1)的导数为()A．x2＋1 B．3x2C．3x2＋1 D．3x2＋x解析：∵f(x)＝x3＋x，∴f′(x)＝(x3＋x)′＝(x3)′＋x′＝3x2＋1.答案：C4．设f(x)＝x2ex，则f′(x)＝()A．x2ex＋2x B．2xexC．(2x＋x2)ex D．(x＋x2)ex解析：f′(x)＝(x2ex)′＝(x2)′ex＋(ex)′x2＝2xex＋x2ex＝(2x＋x2)ex.答案：C授课提示：对应学生用书第37页探究一干脆利用法则求导数[典例1]求下列函数的导数：(1)y＝x4－3x2－5x＋6；(2)y＝xtanx；(3)y＝eq\f(x4,2＋logax).[解析](1)y′＝(x4－3x2－5x＋6)′＝(x4)′－(3x2)′－(5x)′＋6′＝4x3－6x－5.(2)y′＝(x·tanx)′＝x·(tanx)′＋x′·tanx＝eq\f(x,cos2x)＋tanx.(3)y′＝eq\f(4x32＋logax－\f(x4,xlna),2＋logax2)＝eq\f(8x3＋4x3logax－\f(x3,lna),2＋logax2)＝eq\f(x38＋4logax－\f(1,lna),2＋logax2).理解和驾驭求导法则和公式的结构特征是敏捷进行求导运算的前提条件，若运算过程中出现失误，其缘由是不能正确理解求导法则，特殊是商的求导法则．另外，在求导过程中对符号推断不清，也是导致出错的缘由之一．1．求下列函数的导数：(1)y＝eq\f(1,5)x5－eq\f(4,3)x3＋3x＋eq\r(2)；(2)y＝(3x5－4x3)(4x5＋3x3)；(3)y＝3eq\r(3,x4)＋4eq\r(x3).解析：(1)y′＝(eq\f(1,5)x5－eq\f(4,3)x3＋3x＋eq\r(2))′＝(eq\f(1,5)x5)′－(eq\f(4,3)x3)′＋(3x)′＋(eq\r(2))′＝x4－4x2＋3.(2)∵y＝12x10－7x8－12x6，∴y′＝120x9－56x7－72x5.(3)y′＝(3eq\r(3,x4)＋4eq\r(x3))′＝(3)′＋(4)′＝3×eq\f(4,3)＋4×eq\f(3,2)＝4＋6＝4eq\r(3,x)＋6eq\r(x).2．(1)已知f(x)＝eq\f(lnx,x)，则f′(x)＝()A.eq\f(1,x2) B.eq\f(1,x)－1C．1－lnx D.eq\f(1－lnx,x2)解析：f′(x)＝eq\f(lnx′·x－lnx·x′,x2)＝eq\f(\f(1,x)·x－lnx,x2)＝eq\f(1－lnx,x2)，所以选D.答案：D(2)已知函数f(x)＝eq\f(sinxcosx,x＋100)，求f′(π)．解析：f′(x)＝eq\f(sinxcosx′x＋100－x＋100′sinxcosx,x＋1002)＝eq\f(cos2x－sin2xx＋100－sinxcosx,x＋1002)＝eq\f(xcos2x＋100cos2x－\f(1,2)sin2x,x＋1002)，所以f′(π)＝eq\f(πcos2π＋100cos2π－\f(1,2)sin2π,π＋1002)＝eq\f(π＋100,π＋1002)＝eq\f(1,π＋100).探究二先变形再求导[典例2]求下列函数的导数：(1)y＝eq\f(\r(x5)＋\r(x7)＋\r(x9),\r(x))；(2)y＝x－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)；(3)y＝eq\f(1＋\r(x),1－\r(x))＋eq\f(1－\r(x),1＋\r(x))；(4)y＝eq\f(cos2x,sinx＋cosx).[解析](1)∵y＝eq\f(\r(x5)＋\r(x7)＋\r(x9),\r(x))＝x2＋x3＋x4，∴y′＝(x2＋x3＋x4)′＝(x2)′＋(x3)′＋(x4)′＝2x＋3x2＋4x3.(2)先运用三角公式进行化简，得y＝x－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＝x－eq\f(1,2)sinx，∴y′＝(x－eq\f(1,2)sinx)′＝(x)′－eq\f(1,2)(sinx)′＝1－eq\f(1,2)cosx.(3)y＝eq\f(1＋\r(x)2,1－x)＋eq\f(1－\r(x)2,1－x)＝eq\f(21＋x,1－x)＝eq\f(4,1－x)－2，∴y′＝(eq\f(4,1－x)－2)′＝eq\f(4′1－x－41－x′,1－x2)＝eq\f(4,1－x2).(4)∵f(x)＝eq\f(cos2x,sinx＋cosx)＝eq\f(cos2x－sin2x,sinx＋cosx)＝cosx－sinx，∴f′(x)＝－sinx－cosx.较为困难的求导运算，一般综合了和、差、积、商的几种运算，要留意：(1)先将函数式化简；(2)留意公式法则的层次性．3．求下列函数的导数．(1)y＝(x2＋1)2；(2)y＝eq\f(ex＋1,ex－1).解析：(1)y＝(x2＋1)2＝x4＋2x2＋1，所以y′＝4x3＋4x.(2)解法一eq\f(ex＋1,ex－1)＝1＋eq\f(2,ex－1)，所以y′＝1′＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,ex－1)))′＝eq\f(2′ex－1－2ex－1′,ex－12)＝－eq\f(2ex,ex－12).解法二y′＝eq\f(ex＋1′ex－1－ex＋1ex－1′,ex－12)＝eq\f(exex－1－ex＋1ex,ex－12)＝eq\f(－2ex,ex－12).4．求下列函数的导数：(1)y＝eq\f(1,1－\r(x))＋eq\f(1,1＋\r(x))；(2)y＝sin4eq\f(x,4)＋cos4eq\f(x,4).解析：(1)y＝eq\f(2,1－x)，∴y′＝(eq\f(2,1－x))′＝eq\f(2,1－x2).(2)∵y＝(sin2eq\f(x,4)＋cos2eq\f(x,4))2－2sin2eq\f(x,4)cos2eq\f(x,4)＝1－eq\f(1,2)sin2eq\f(x,2)＝eq\f(3,4)＋eq\f(1,4)cosx，∴y′＝－eq\f(1,4)sinx.探究三导数运算法则的敏捷应用eq\x(\a\al(导数运算法则,的敏捷应用))—eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(正用运算法则),—\x(逆用运算法则),—\x(活用运算法则),—\x(综合应用)))5．求下列函数的导数：(1)y＝ex＋log3x；(2)y＝eq\f(xm＋\r(n,x),x)(n≠0)．解析：(1)y′＝(ex＋log3x)′＝ex＋eq\f(1,xln3).(2)∵y＝xm－1＋，∴y′＝(xm－1＋)′＝(m－1)xm－2＋eq\f(1－n,n)·.6．已知f′(x)是一次函数，且对于随意x∈R，x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1，求f(x解析：由f′(x)为一次函数，可知f(x)是二次函数，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.把f(x)，f′(x)代入方程，得x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1，即(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0.要使对随意x∈R方程都成立，则需a＝b，b＝2c，c＝1，解得a＝2，b＝2，c＝1，所以f(x)＝2x2＋2x＋1.7．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a，b，c的值．解析：∵y＝ax2＋bx＋c，∴y′＝2ax＋b，∵在点(2，－1)处的切线为y＝x－3，∴4a＋b＝1.①又抛物线过点(1,1)和点(2，－1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝1，②,4a＋2b＋c＝－1，③))解由①②③组成的方程组可得a＝3，b＝－11，c＝9.8．已知函数f(x)＝k(x－1)ex＋x2.(1)求导函数f′(x)；(2)当k＝－eq\f(1,e)时，求函数f(x)的图像在点(1,1)处的切线方程．解析：(1)f′(x)＝kex＋k(x－1)ex＋2x＝kxex＋2x.(2)∵k＝－eq\f(1,e)，∴所求切线的斜率为f′(1)＝－eq\f(1,e)×e＋2＝1，∴函数f(x)的图像在点(1,1)处的切线方程为x－y＝0.求两曲线的公切线的方法[典例]已知曲线C1：y＝x2与C2：y＝－(x－2)2，直线l与C1，C2都相切，求直线l的方程．[解析]设l与C1相切于点P(x1，xeq\o\al(2,1))，与C2相切于点Q(x2，－(x2－2)2)．对于C1：y′＝2x，则与C1相切于点P的切线方程为y－xeq\o\al(2,1)＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－xeq\o\al(2,1).①对于C2：y′＝－2(x－2)，则与C2相切于点Q的切线方程为y＋(x2－2)2＝－2(x2－2)