第14讲立体几何初步(九种求外接球与内切球模型)-2021-2022学年高一数学下学期考点分类培优讲义(2019)(原卷版)

第14讲九种求外接球与内切球模型【必备知识】模型一:墙角模型墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型,用构造法(构造长方体)解决.外接球的直径等于长方体的体对角线长.使用范围:3组或3条棱两两垂直;或可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合推导过程:长方体的体对角线就是外接球的直径公式:找三条两两垂直的线段,直接用公式,即2R,求出.【典例剖析】1．四面体的每个顶点都在球的球面上，两两垂直，且，，，则球的表面积为（

）A． B． C． D．2．在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为线段AB，BC的中点，连接DE，DF，EF，将ADE，CDF，BEF分别沿DE，DF，EF折起，使三点重合，得到三棱锥ODEF，则该三棱锥外接球的表面积为（

）A．3 B． C．6 D．243．已知P，A，B，C为球O的球面上的四个点，若平面，，，，则球O的表面积为（

）A． B． C． D．4．如图，在矩形中，，E为中点，把和分别沿折起，使点B与点C重合于点P，若三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（

）A． B． C． D．5．将一个边长为的正三角形沿其中线折成一个直二面角，则所得三棱锥的外接球的体积为_________.模型二:对棱相等模型使用范围:对棱相等的三棱锥推导过程:通过对棱相等,可以将其补全为长方体,补全的长方体体对角线为外接球直径,设长方体的长宽高为别为【典例剖析】1．如图，在中，，D，E，F分别为三边中点，将分别沿向上折起，使A，B，C重合为点P，则三棱锥的外接球表面积为（

）A． B． C． D．2．在△ABC中，，将△ABC绕BC旋转至△BCD的位置，使得，如图所示，则三棱锥外接球的体积为_____________．3．已知三棱锥的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且，，则该三棱锥的外接球的表面积为______．4．已知四面体ABCD的棱长满足AB＝AC＝BD＝CD＝2，BC＝AD＝1，现将四面体ABCD放入一个轴截面为等边三角形的圆锥中，使得四面体ABCD可以在圆锥中任意转动，则圆锥侧面积的最小值为________．5．在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积是______．模型三:汉堡模型适用范围:有一条侧棱垂直于底面的柱体推导过程:如图,直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱,棱柱的上下底面可以是任意三角形).第一步:确定球心的位置,是的外心,则平面.第二步:算出小圆的半径也是圆柱的高).第三步:勾股定理:,求出.公式:【典例剖析】1．已知某圆柱的高为，体积为，则该圆柱外接球的表面积为（

）A． B． C． D．2．已知三棱柱的各个侧面均垂直于底面，底面为正三角形，侧棱长与底面边长之比为3：2，顶点都在一个球面上，若三棱柱的侧面积为162，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．3．已知三棱柱的6个顶点都在球的表面上，，，则球的表面积是（

）A． B． C． D．4．直三棱柱所有顶点都在球的表面上，且，，，则球的表面积为________．5．在四面体中，，，且，，异面直线，所成角为，则该四面体外接球的表面积为______.模型四:垂面模型适用范围:有一条棱垂直于底面的椎体推导过程:第一步:将画在小圆面上,为小圆直径的一个端点,作小圆的直径,连接,则必过球心.第二步:为的外心,所以平面,算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法:利用正弦定理.第三步:利用勾股定理求三棱锥的外接球半径:(1);(2).公式:【典例剖析】1．已知三棱锥，其中平面，，，则该三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．2．已知四面体的每个顶点都在球的球面上，平面，，是正三角形，是等腰三角形，则球的体积为（

）A． B．C． D．3．已知四棱锥的五个顶点在球O的球面上，底面，，，，，且四边形的面积为，则球O的表面积为___________.模型五:斗笠模型使用范围:正棱雉或顶点的投影在底面的外心上推导过程:取底面的外心,连接顶点与外心,该线为空间几何体的高,在上取一点作为球心0,根据勾股定理公式:【典例剖析】1.已知一个圆锥的母线长为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的外接球的体积为（

）A． B． C． D．2.在三棱锥中，侧棱，，，则此三棱锥外接球的表面积为_______．3.已知正四面体的棱长为4，则此四面体的外接球的表面积是为________类型六:切瓜模型使用范围:有两个平面互相垂直的棱雉推导过程:分别在两个互相垂直的平面上取外心、过两个外心做两个垂面的垂线,两条垂线的交点即为球心0,取BC的中点为,连接、、、为矩形由勾股可得公式:【典例剖析】1.已知四棱锥中，底面为边长为的正方形，侧面底面，且为等边三角形，则该四棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．2.已知四棱锥的体积是，底面是正方形，是等边三角形，平面平面，则四棱锥的外接球的体积为________.3.已知四面体ABCD中，△ABD和△BDC是等边三角形，二面角A﹣BD﹣C为直二面角.若AB＝，则四面体ABCD外接球的表面积为__________________.4.已知在三棱锥中，平面平面和均是边长为的正三角形，则该三棱锥的外接球体积为___________.模型七:折叠模型使用范围:两个全等三角形或等腰三角形拼在一起,或菱形折叠.推导过程:两个全等的三角形或者等腰拼在一起,或者菱形折叠,设折叠的二面角.如图,作左图的二面角剖面图如右图:和分别为外心,故.公式:【典例剖析】1.已知菱形中,,对角线与的交点为,把菱形沿对角线折起,使得,则折得的几何体的外接球的表面积为()A.B.C.D.2.在三棱雉中,,则三棱雉的外接球的表面积为()A.B.C.D.3.在边长为的菱形中,,沿对角线折成二面角为的四面体,则此四面体的外接球表面积为________.模型八:最值模型最值问题的解法有两种方法:一种是几何法,即在运动变化过䅣中得到最值,从而转化为定值问题求解.另一种是代数方法,即建立目标函数,从而求目标函数的最值.【典例剖析】1．在边长为6的菱形中，，现将沿折起，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．2．在四棱锥中，侧面底面ABCD，且，，底面ABCD是边长为2的正方形，设P为该四棱锥外接球表面上的动点，则三棱锥的最大体积为（

）A． B． C． D．3．已知，，，，都在同一个球面上，平面平面，是边长为2的正方形，，当四棱锥的体积最大时，该球的半径为______．4．，，，四点均在同一球面上，，是边长为的等边三角形，则面积的最大值为__________，四面体体积最大时球的表面积为___________．模型九:内切球模型以三棱雉为例,求其内切球的半径推导过程:等体积法,三棱雉体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱雉的体积之和.第一步:先求出四个表面的面积和整个雉体体积;第二步:设内切球的半径为,球心为,建立等式:第三步:解出.公式:【典例剖析】1．已知点O到直三棱柱各面的距离都相等，球O是直三棱柱的内切球，若球O的表面积为，的周长为4，则三棱锥的体积为（

）A． B． C． D．2．在《九章算术·商功》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图在鳖臑中，平面，，，则鳖臑内切球的表面积为（

）A． B．C． D．4．《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在四棱锥中，底面ABCD，四边形ABCD为矩形，，则四棱锥和三棱锥的内切球半径比为___________.【过关检测】单选题1．如图，在三棱锥中，，，，且直线AB与DC所成角的余弦值为，则该三棱锥的外接球的体积为（

）A． B． C． D．2．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥为阳马，侧棱底面，且，，则该阳马的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．3．设三棱柱的侧棱垂直于底面，，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（

）A． B． C． D．4．如图所示，正方体的棱长为，以其所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，那么该正八面体的内切球表面积为（

）A． B． C． D．5．已知三棱锥中，，，D是的中点，平面ABC，点P，A，B，C在球心为O的球面上，若三棱锥的体积是，则球O的半径为（

）A． B．1 C． D．6．已知三棱锥的棱底面，若，则其外接球的表面积为（

）A． B． C． D．7．在三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，BA=BC，∠PBC=90°，PA=2，若三棱锥P—ABC体积为6，则三棱锥P—ABC外接球的表面积为（

）A．18π B．24π C．36π D．40π8．已知三棱锥所有顶点都在球的球面上，且平面，若，则球的表面积为（

）A． B． C． D．9．在三棱锥中，平面ABC，，与的外接圆圆心分别为，，若三棱锥的外接球的表面积为，设，，则的最大值是（

）A． B． C． D．10．已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为，则其外接球的半径为（

）．A．1 B．2 C．3 D．二、填空题11．四面体ABCD中，平面ABC，，，，∠BAC=90°．若A，B，C，D四点都在同一个球面上，则该球面面积等于______．12．如图，在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为___________.13．在等腰直角三角形ABC中，，D为BC的中点，以AD为折痕进行折叠，使折后的，则过A，B，C，D四点的球的表面积为_____________.14．空间四面体中，，，，直线和所成的角为，则该四面体的外接球的表面积为__.15．已知，，，四点在半径为的球面上，且，，，则三棱锥的体积是__________.16．已知正三棱柱的底面积为，点为的中心，直线和底面所成