专题16-2022年北京高考数学满分限时题集

专题16大题限时练161．已知中，点是边的中点，，______．从①，②，这二个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的面积【答案】见解析【详解】选择①：（Ⅰ）因为在中，，所以，可得．所以．（Ⅱ）在中，由正弦定理，得，所以．选择②（Ⅰ）在中，由正弦定理，得，因，所以，所以，所以．（Ⅱ）．2．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为正三角形，且侧面底面，为的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）【详解】（Ⅰ）证明：连接，与交于，在中，，分别为，的中点，，平面，平面，平面．（Ⅱ）取的中点，为正三角形，是的中点，．又面底面，是正方形，平面．过作平行于与交于．以为原点，分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，则，0，，，0，，，0，，，，设平面的法向量为，，，则，令．则，得，0，．设直线与平面所成角的正弦值为，，即直线与平面所成角的正弦值．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，设平面的法向量为，，，则，令．则，．．由题知，二面角为锐二面角，二面角的余弦值为．3．某电商平台联合厂家共同推出“分期购”服务，付款方式分为四个档次：1期、2期、3期和4期．记随机变量、分别表示顾客购买型和型的分期付款期数，根据以往销售数据统计，和的分布列如表所示：12340.10.40.40.112340.40.10.10.4（Ⅰ）若某位顾客购买型和各一部，求这位顾客两种都选择分4期付款的概率；（Ⅱ）电商平台销售一部型，若顾客选择分1期付款，则电商平台获得的利润为300元；若顾客选择分2期付款，则电商平台获得的利润为350元；若顾客选择分3期付款，则电商平台获得的利润为400元；若顾客选择分4期付款，则电商平台获得的利润为450元．记电商平台销售两部型所获得的利润为（单位：元），求的分布列；（Ⅲ）比较与的大小．（只需写出结论）【答案】见解析【详解】（Ⅰ）某位顾客购买型和是相互独立事件，这位顾客两种都选择分4期付款的概率为；（Ⅱ）的可能取值为：600，650，700，750，800，850，900，，，，，，，．则的分布列为6006507007508008509000.160.080.090.340.090.080.16（Ⅲ）．4．已知函数．（Ⅰ）若曲线在点，（1）处的切线倾斜角为，求的值；（Ⅱ）若在上单调递增，求的最大值；（Ⅲ）请直接写出的零点个数．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）2；（Ⅲ）见解析【详解】（Ⅰ）因为函数，则，则（1），因为曲线在点，（1）处的切线倾斜角为，所以，解得；（Ⅱ）设，则，令，解得，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，所以的最小值为（1），则的最小值为，因为在上单调递增，所以在上恒成立，故，解得，所以的最大值为2；（Ⅲ）当时，只有1个零点；当时，有3个零点．5．已知椭圆焦距为2，一条连接椭圆的两个顶点的直线斜率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点且不与轴重合的直线与椭圆相交于，两点，试问轴上是否存在点，使得直线，斜率之积恒为定值？若存在，求出该定值及点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析【详解】（Ⅰ）由题意易知：，解得：，，椭圆方程为：．（Ⅱ）由（Ⅰ）知糊圆右焦点坐标为，设直线，，，，，，由，得；显然△，且，，此时，由上式知：无论取何值，当，即时，是一个与无关的定值，当时，；当时，综上，存在定点，当定点为时，直线，斜率之积，当定点为时，直线，斜率之积．6．已知无穷数列，若存在常数，满足：①对于中的任意两项，，在中都存在一项，使得；②对于中的任意一项，在中都存在两项，，使得；则称数列为数列，称为该数列的特征值．（Ⅰ）数列，，，，，其中，判断是否为数列，若是数列，求出该数列的特征值，若不是，请说明理由；（Ⅱ）数列是特征值为3的数列，且，判断是否存在，满足，，并请说明理由；（Ⅲ）数列单调，且是特征值为2的数列，求证：数列为等差数列．【答案】见解析【详解】（Ⅰ）是数列，由②可知或，即或，若，由①可知在数列中，因此或，即，若，则，满足条件，而当时，亦有，综上，；（Ⅱ）不存在，满足，，下证明之：先用数学归纳法证明：当，，有，当时，成立，假设当时命题成立，则当时，，由归纳假设，，因此，有，即当时命题也成立，证毕，若，，，显然，令，则，矛盾，因此，不存在，满足，；（Ⅲ）证明：因为单调，有，令，则数列是单调递增且特征值为2的数列，有，，下证，，当，1时