631平面向量的基本定理(专项检测)-2021-2022学年高一下学期数学精讲检测(人教A版2019)

平面向量的基本定理专项检测卷(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列说法中，正确说法的个数是（）①在△ABC中，，可以作为基底；②能够表示一个平面内所有向量的基底是唯一的；③零向量不能作为基底．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】平面中两个不共线的向量可以构成基底，据此可判断各说法的正误.【详解】平面中两个不共线的向量可以构成基底，故①正确，③正确.平面中不共线的向量有很多对，它们都可以作为基底向量，故②错误.故选：C.2.已知是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据题意可得：两个向量满足平面的一组基底，需这两个向量不共线，由此逐一判断可得选项．【详解】对于A：零向量与任意向量均共线，所以此两个向量不可以作为基底；对于B：因为，所以，所以此两个向量不可以作为基底；对于C：设，即，则，所以无解，所以此两个向量不共线，可以作为一组基底；对于D：设，所以，所以此两个向量不可以作为基底；故选：C．3.如图，已知，，任意点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，则向量

A． B． C． D．【答案】D【分析】由对应性得是相应线段的中点，由中位线定理结合向量的线性运算可得．【详解】解：∵，，任意点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，∴是的中位线，∴.故选：D.4.已知点是所在平面内一点，满足，则与的面积之比为A． B． C．3 D．【答案】C【分析】延长交于，利用三点共线可设，再利用三点共线可设，利用题设条件可计算的值，从而可计算所求面积之比.【详解】如图，延长交于，则，因为三点共线，所以即，所以，则，故且，又，故，所以，所以，所以，故选C.5.如图，在中，，，和相交于点，则向量等于（）A．B．C． D．【答案】B【分析】过点分别作交于点，作交于点，由平行线得出三角形相似，得出线段成比例，结合，，证出和，最后由平面向量基本定理和向量的加法法则，即可得和表示.解：过点分别作交于点，作交于点，已知，，，则和，则：且，即：且，所以，则：，所以，解得：，同理，和，则：且，即：且，所以，则：，即，所以，即，得：，解得：，四边形是平行四边形，由向量加法法则，得，所以.故选：B.6.已知平面向量满足，与的夹角为，记，则的取值范围为A． B． C． D．【答案】C【分析】根据条件，t+(1t)=1，可知：若起点相同，则其终点共线，采取数形结合法进行解决.【详解】如图，，，则，则，因为，其中t+(1t)=1，于是与共起点，且终点共线，即在直线AB上，于是时（即）最小，最小值为1，无最大值.故选：C.过的中线的中点作直线分别交､于､两点，若，则A．4 B． C．3 D．1【答案】A【分析】由为的中点得到，设，结合，得到，再由，得到，然后利用与不共线求得m，n即可.解：由为的中点可知，，，设，则，，，，，与不共线，，解得，故选：.8.在中，点是上一点，是的中点，与的交点为有下列四个命题：甲：乙：丙：丁：如果只有一个假命题，则该命题为（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【分析】假设甲为假，则丙为真，利用面积的关系得到，利用向量的加减法得到，矛盾，判断出甲正确；甲为真，推导出，得到丙真；过Q作QN//AB交CP于N，由是的中点，利用平行线分线段成比例定理得到边长的关系，证明出，即可得到和，可判断出乙正确；由，得到，可判断出不成立，故丁不正确.【详解】假设甲为假，其余为真，所以丙为真.由丙：知，.因为,而,所以，这与甲为假矛盾，所以甲为真；同理，甲：为真时，即，所以，所以，所以，即丙为真.甲：为真时，有.过Q作QN//AB交CP于N，由是的中点，得到,.而，所以,所以.因为QN//AB，所以,又，所以，所以，因为，，所以，故乙正确；由得到，故丁错误.故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列有关向量命题，不正确的是（）A．若是平面向量的一组基底，则也是平面向量的一组基底B．已知点，，则方向上的单位向量为C．若，则存在唯一的实数，使得D．若，，则的取值范围【答案】AC【分析】根据向量的相关概念和性质，逐项分析计算即可得解.【详解】对A，，故和平行，故不是基底，A错误；对B，由单位向量，故B正确；对C，若，，则不成立，故C错误；对D，当方向相反时，当方向相同时，故D正确.故选：AC10.四边形中，，，，，，则下列表示错误的是（）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用向量的线性运算将,用基底和表示，与选项比较即可得正确选项.【详解】对于选项A：，故选项A不正确；故选项B正确；，故选项C不正确，，故选项D正确；故选：AC.11.如图，在中，是的中点，是上的一点，且，若，其中，，则（）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根据向量的线性运算法则及平面向量的基本定理，可得，，又，根据题意，化简计算，可得m，n的值，逐一分析选项，即可得答案.【详解】在平行四边形中，，，因为是中点，所以，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以，解得，所以，，，故选：ABC．12.如图，是线段的三等分点，，下列以O为起点的向量中，终点落在四边形（含边界）内的向量是（）A． B． C． D．【答案】AD【分析】由题设，结合平面向量的基本定理确定、、、与、的线性关系，进而判断终点落在四边形（含边界）内的条件，即可知各选项的正误.【详解】由题设，，，又，∴，，又，，∴，，∴对于，1、，时，终点落在上，2、，时，终点落在上，3、，，时，终点落在上，4、，，时，终点落在上，综上，：，且、时终点落在（含边界）内，故只有A、D符号要求.故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13.已知向量，不共线，且平面向量，，若，则______.【答案】1【分析】由，可得，从而可求出的值【详解】因为，向量，不共线，所以，即，解得.故答案为：114.在△ABC中，点D满足，若，则__________【答案】【分析】把作为基底，然后利用向量加减法法则和平面向量基本定理把用基底表示出来，从而可求出的值，进而可得答案解：因为，所以,，因为，所以，所以，故答案为：15.如图，将直角三角板和直角三角板拼在一起，其中直角三角板的斜边与直角三角板的角所对的直角边重合，若，则_______，_______．【答案】【分析】由其他线段用表示，再用向量的运算法则、向量线性运算的几何意义、平面向量基本定理求出所求.【详解】如图所示，过点B作交的延长线于点E，过点A作于点F，，，得，则．设，则，．由，得，解得，故．答案：16.如图，直角梯形中，，若为三条边上的一个动点，且，则下列结论中正确的是__________.（把正确结论的序号都填上）①满足的点有且只有1个；②满足的点有且只有1个；③能使取最大值的点有且只有1个；④能使取最大值的点有无数个.【答案】③④【分析】分类讨论，求出当在边上，在边上，在边上时，的取值范围以及的范围，然后根据所求判断正误.解：当在边上时，如图，取中点O，连接OC，则设，，，，当在边上时，，，当在边上时，设，，，，，，①当时，，此时点就是点；或，此时点在上，故错误；②当时，有或，这样的点有两个，故错误；③的最大值为，此时，这样的点有且只有1个，故正确；④的最大值为，当在边上时，恒有，这样的点有无数个，故正确.故答案为：③④.四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）如图，的对角线AC和BD交于点O，设，，试用基底，表示和．【答案】，.【分析】利用平面向量的加法、减法运算的三角形法则，及相反向量、相等向量的定义可直接求得结果.【详解】解：∵的对角线AC和BD交于点O，，∴，∴，故，.18.（12分）如图，中，点D是的中点，点E是的中点，设.（1）用，表示向量；（2）若点F在上，且，求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由于点D是的中点，点E是的中点，所以，，而，从而可求得结果，（2）设，从而可得，再用，表示，然后结合，可求得的值，从而可求得的值【详解】（1）因为，点D是的中点，所以，因为点E是的中点，所以.（2）设，所以.又，所以，所以，所以.19.（12分）如图，三点不共线，，，设，.（1）试用表示向量；（2）设线段的中点分别为，试证明三点共线.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）由，，三点共线，可得到一个向量等式，由，，三点共线可得到另一个等式，两者结合即可解决（1）；（2）欲证三点共线，可先证明两向量共线得到．解：（1），，三点共线，，①同理，，，三点共线，可得，②比较①，②，得解得，，．（2），，，，，，，，三点共线．20.（12分）如图，已知的面积为14，D、分别为边AB、BC上的点，且，AE与CD交于P．设存在和使，，，．（1）求及；（2）用，表示；（3）求的面积．【答案】（1），；（2）；（3）4．【分析】（1）用，作为基底表示出向量，，根据向量相等得到方程组，即可解得；（2）根据向量加法运算法则，计算可得；（3）先由，又，再根据可得．【详解】（1），，，，，，，，，，又，，解得．（2）由（1）知，，．（3），，，又，．21.（12分）如图，在直角梯形中，为上靠近B的三等分点，交于为线段上的一个动点．（1）用和表示；（2）求；（3）设，求的取值范围．【答案】(1)；(2)3；(3).【分析】(1)根据给定条件及几何图形，利用平面向量的线性运算求解而得；(2)选定一组基向量，将由这一组基向量的唯一表示出而得解；(3)由动点P设出，结合平面向量基本定理，建立为x的函数求解.【详解】(1)依题意，，，；(2)因交于D，由(1)知，由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，则，，；(3)由已知，因P是线段BC上动点，则令，，又不共线，则有，，在上递增，所以，故的取值范围是.22.（12分）在中，过重心的直线与边交于，与边交于，点不与重合.设面