72空间几何中的垂直（提升）

7.2空间几何中的垂直（提升）一、单选题1．（2021·浙江高三专题练习）已知是不同的直线，是不同的平面，以下命题正确的是（）A．若∥，，则∥；B．若，∥，则；C．若∥，则∥；D．若，∥，∥，则．【答案】C【解析】对于选项A：反例如图，故A错误；对于选项B：反例如图，故B错误；对于选项C：因为，且，所以，又，所以，故C正确；对于选项D：反例如图，故D错误.故选：C.2．（2021·全国高三（理））如图，在圆柱中，正三棱柱的所有顶点分别在圆柱的上、下底面的圆周上，为上一点，，为的中点，则下列关系正确的是（）①平面；②平面；③平面；④平面．A．①② B．①③ C．②③ D．③④【答案】B【解析】对于①，为的重心，，，又，，又平面，平面，平面，①正确；对于②，由①知：，又，与相交，又平面，与平面相交，②错误；对于③，为等边三角形，为中点，；由①知：，；平面，平面，；又，平面，平面，③正确；对于④，由①知：，又为等边三角形，，异面直线与所成角为，即与不垂直，平面不成立，④错误.故选：B.3（2021·全国（文））如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为等边三角形，O为AC1与A1C的交点，D为AB的中点，则下列结论：①DO平面ABC1；②DO平面A1BC1；③DC⊥平面ABB1A1；④DC⊥平面ABC1.其中所有正确结论的序号为（）A．①② B．①③ C．②③ D．②④【答案】C【解析】因为O为AC1与A1C的交点，且四边形为矩形，所以为的中点，又因为D为AB的中点，所以，因为平面，所以平面显然不成立，故①错误；因为平面，平面，所以平面，故②正确；又因为为等边三角形，为中点，所以，又因为平面，平面，所以，又，所以平面，故③正确；假设平面，则，又显然，，所以平面，所以，显然不成立，所以假设不成立，故④错误；故选：C.4．（2021·浙江高三）已知直线，平面，则（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】B【解析】在长方体ABCDEFGH中，如图示：对于A：若，则,取平面ABCD为，即直线AB为l，CD为m，则，但是，所以不成立，故A不正确；对于B：因为，作平面，使得，且，由线面平行的性质可得：.因为，所以，又，所以.故B正确；对于C：若，则，取平面ABCD为，平面ADHE为，直线EH为l，此时满足“”，但是，所以不满足，故C不正确；对于D：若，则，取平面ABCD为，平面ADHE为，直线BC为l，直线EH为m，此时满足“，”但是相交，不满足.故D错误.故选：B一个命题错误，举一个反例就可以了；要证明一个结论正确，需要严格的证明.二、多选题5．（2021·湖南长郡中学高三月考）如图所示，在矩形中，，E为上一动点，现将沿折起至，在平面内作，G为垂足．设，则下列说法正确的是（）A．若平面，则B．若平面，则C．若平面平面，且，则D．若平面平面，且，则【答案】AC【解析】对于A，若平面，则，在中，，则，是三角形的高，则所以A正确；对于B，若平面，则有，则，在中，，即，解得，所以B错误；对于C，若平面平面，作，垂足为H，因为平面平面，所以平面，从而，又，所以平面，从而，因为，所以在等腰直角三角形中，，所以在等腰直角三角形中，，所以C正确；对于D，若平面平面，平面平面，又，故平面，所以，作，垂足为H，从而有平面，从而，从而有C，H，G三点共线，则，又，故，又，所以，故，因为，所以，所以D错误.故选：AC．6．（2021·广东广州市·执信中学高三月考）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（）A． B．C． D．【答案】BC【解析】设正方体的棱长为，对于A，如图（1）所示，连接，则，故（或其补角）为异面直线所成的角，在直角三角形，，，故，故不成立，故A错误.对于B，如图（2）所示，取的中点为，连接，，则，，由正方体可得平面，而平面，故，而，故平面，又平面，，而，所以平面，而平面，故，故B正确.对于C，如图（3），连接，则，由B的判断可得，故，故C正确.对于D，如图（4），取的中点，的中点，连接，则，因为，故，故，所以或其补角为异面直线所成的角，因为正方体的棱长为2，故，，，，故不是直角，故不垂直，故D错误.故选：BC.三、填空题7．（2021·浙江高三专题练习）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且，现有下列结论：①；②平面与平面的交线平行于直线；③异面直线，所成的角为定值；④三棱锥的体积为定值，其中错误结论的是___________．【答案】③【解析】解：对于①，平面，平面，，故①正确；对于②，，在，，平面，平面，平面，在平面ABCD内作，∵，则,则共面，平面,则平面与平面的交线为,即平面与平面的交线平行于直线；故②正确；对于③，当点在处，为的中点时，由可知异面直线，所成的角是；当在上底面的中心时，在的位置，异面直线，所成的角是，两个角不相等，从而异面直线，所成的角不为定值，故③错误；对于④，到平面的距离是定值，是定值，以为顶点的四面体的体积为定值，故④正确．故选：③．8．（2021·全国（理））在正方体中，是底面正方形的中心，和分别是棱和的中点，现有下面四个结论：①直线平面；②直线平面；③直线平面；④直线与平面相交.则其中正确结论的序号是___________.【答案】②③【解析】如图，结合题意绘出图像，设正方体的棱长为，①：如图，连接、、，若平面，则，，因为结合图像易知，，，，所以，与不垂直，①错误；②：如图，作中点，连接、、，因为是中点，是的中点，是底面正方形的中心，所以，且，则四边形是平行四边形，，因为平面,平面,所以平面，②正确；③：如图，连接、、、、，结合图像易知，平面与平面是同一平面，因为多面体是正方体，所以易知，，因为，所以平面，即平面，③正确；④：如图，连接、、、，因为是底面正方形的中心，是棱的中点，所以，因为平面，平面，所以直线平面，即直线与平面不相交，④错误，故答案为：②③.四、解答题9．（2021·河北沧州市·高三月考）如图，在四棱锥，，，平面，，证明：【答案】证明见解析【解析】证明：因为平面，平面，所以.又因为，，所以平面.因为平面，所以.又因为，所以.连接.因为，所以，，得，又，所以，即.因为平面，平面，所以，又，所以平面，因为平面，所以.10．（2021·江西省靖安中学高三月考（文））如图，在多面体中，两两垂直，四边形是边长为的正方形，，且，.证明：平面【答案】证明见解【解析】证明：连接，因为且，所以四边形是平行四边形，可得，因为两两垂直，，所以，又，，所以平面，，，可得，所以四边形是菱形，可得，所以，又在正方形中，，又因为，所以平面；11．（2021·全国高一单元测试）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，AC1和BD1相交于点O，E为CC1的中点（Ⅰ）求证：OE∥平面ABCD；（Ⅱ）若平面BDD1B1⊥平面ABCD，求证：D1E＝BE．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.【解析】（Ⅰ）如图，连接AC．因为AB∥C1D1，AB＝C1D1，所以AC1，BD1相互平分，所以O为BD1和AC1的中点．又因为E为CC1的中点，所以OE为△ACC1的中位线，所以OE∥AC．又因为OE⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以OE∥平面ABCD．（Ⅱ）因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD．因为平面BDD1B1⊥平面ABCD，平面BDD1B1∩平面ABCD＝BD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥平面BDD1B1．因为BD1⊂平面BDD1B1，所以AC⊥BD1．又因OE∥AC，所以OE⊥BD1．因为OB＝OD1，所以D1E＝BE．13．（2021·江苏南京市）如图，在直三棱柱中，与相交于点，为的中点，（1）求证：平面；（2）若，，求证：平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）如图，连接，∵三棱柱是直三棱柱，，四边形为矩形，∴为的中点，为的中点，在△中，由中位线性质得，又平面，平面，∴平面.（2）如图，连接.由题得，因为，所以.因为平面，所以平面，因为平面，所以，因为，所以，因为平面，所以平面.14．（2021·江苏专题练习）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，．（1）证明：平面；（2）线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，．【解析】（1）证明：平面平面，平面平面，，平面，平面，，在直角梯形中，，，，，，即，又，平面，平面．（2）以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，0，，，0，，，1，，，4，，，0，，，1，，，4，，设，，，则，0，，1，，设平面的法向量为，，，则，即，令，则，，，1，，与平面所成角的正弦值为，，，化简得，解得，故线段上存在点满足题意，且．15．（2021·吉林白城市）已知正四棱柱中，，．（1）求证：；（2）在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.【解析】（1）因为四棱柱是正四棱柱，所以平面，，因为平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以；（2）如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，，，设为线段上一点，，，因为，，，所以，则，，，，，设平面的法向量，，则，即，令，则，设平面的法向量为，，，则，即，令，则，若平面平面，则，即，解得，故存在点，当时，平面平面．16．（2021·黑龙江哈尔滨市）如图，已知多面体中，，，均垂直于平面.，，，.（I）证明：平面；（II）求多面体的体积.【答案】（I）证明见解析；（II）.【解析】证明：由得，所以所以.由，得到.又因为，，由余弦定理得.由得，所以所以又，所以平面.（II）如图连接，将多面体分割成三棱锥和四棱锥，点到平面的距离等于点到平面，即点到AC的距离，即.,，所以多面体的体积的体积为=.17．（2021·全国课时练习）由四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示．四边形为正方形，为与的交点，为的中点，平面．（1）证明：平面；（2）设是的中点，证明：平面平面．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】证明：（1）取的中点，连接，由于是四棱柱，所以，因此四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）因为分别为和的中点，所以，所以，又平面，平面，所以，因为，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面．18（2021·全国课时练习）在四面体中，，，且，分别是，的中点．求证：（1）直线平面；（2）平面平面．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）因为，分别是，的中点，所以是的中位线，所以，因为平面，平面，所以直线平面．（2）因为，，所以．因为，是的中点，所以．又，所以平面．因为平面，所以平面平面．19．（2021·全国