专题08多选压轴题之立体几何-2020-2021学年江苏高一下学期期末数学试题汇编

专题08多选压轴题之立体几何1．（2021春•江苏期末）正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点．则A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行 C．平面截正方体所得的截面面积为 D．点和点到平面的距离相等【答案】【详解】解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系则，0，，，2，，，2，，，0，，，0，，，0，，，2，，对于，，0，，，2，，，直线与直线不垂直，故错误；对于，，2，，，2，，，2，，设平面的法向量，，，则，取，得，1，，，平面，直线与平面平行，故正确；对于，连接，，，分别是，的中点，面截正方体所得的截面为梯形，，，，梯形的高为．面截正方体所得的截面面积为：，故正确；对于，由知平面的法向量，1，，点到平面的距离，点到平面的距离，点和点到平面的距离相等，故正确．故选：．2．（2021春•苏州期末）如图，在棱长为4的正方体中，，分别是，的中点，则A．平面 B．二面角的正切值为 C．三棱锥的内切球半径为 D．过直线与平面平行的平面截该正方体所得截面的面积为18【答案】【详解】解：对于，如图1所示，连接，，则，由平面，得平面，所以；设交于点，连接，以矩形的底边为轴，为轴建立平面直角坐标系，如图2所示：则，，，，，所以，，，则，所以与不垂直，即与不垂直，所以与平面不垂直，选项错误；对于，是二面角的平面角，计算，所以二面角的正切值为，选项正确；对于，设三棱锥的内切球半径为，则，解答，所以三棱锥的内切球半径为，选项正确；对于，如图3所示取的中点，的中点，连接、、，则四边形是过直线与平面平行的截面，且四边形是等腰梯形，计算梯形的面积为，所以选项正确．故选：．3．（2021春•海陵区校级期末）如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是A．圆锥的侧面积为 B．三棱锥体积的最大值为 C．的取值范围是 D．若，为线段上的动点，则的最小值为【答案】【详解】解：对于，圆锥的底面半径与高均为2，则母线长圆锥的侧面积，故正确；对于，当点为弧的中点时，底面三角形面积最大为，此时三棱锥体积的最大值为，故正确；对于，当与趋于重合时，趋于，当与趋于重合时，趋于，的取值范围是，故错误；对于，若，以为轴把平面旋转至与平面重合，连接，交于，则，在中，，由余弦定理可得：，即的最小值为，故正确．故选：．4．（2021春•扬州期末）已知长方体中，，，是线段上的一动点，则下列说法正确的有A．当与重合时，三棱锥的外接球的表面积为 B．三棱锥的体积不变 C．直线与平面所成角不变 D．的最小值为3【答案】【详解】解：对于，当点与重合时，三棱锥即为三棱锥，又因为三棱锥与长方体有相同的外接球，所以外接球的直径，故外接球的表面积为，故选项正确；因为，又平面，平面，所以平面，由等体积法可得，，所以三棱锥的体积不变，故选项正确；对于，因为平面，所以点到平面的距离不变，但的长度由的长增加到的长度，即的长度是变化的，所以直线与平面所成的角是变化的，故选项错误；对于，把矩形和△放置在同一平面内，如图所示，其中，，，则，连接交于点，当点，，三点共线时，最小，则，故，所以，由余弦定理可得，，所以，即的最小值为3，故选项正确．故选：．5．（2021春•盐城期末）如图，在菱形中，，，将沿对角线翻折到位置，则在翻折的过程中，下列说法正确的A．存在某个位置，使得 B．存在某个位置，使得 C．存在某个位置，使得，，，四点落在半径为的球面上 D．存在某个位置，使得点到平面的距离为【答案】【详解】解：对于，因为平面四边形的对角线，所以将沿对角线翻折到位置，则在翻折的过程中，一定垂直一个位置，使得，所以正确；对于，当点在平面内的投影为的重心点时，有平面，，，又，、平面，平面，平面，，即选项正确；对于，由对称性可知四面体的外接球的球心，在底面三角形的中心的中垂线上，底面三角形的外接圆半径为：，因为，所以一定存在四面体的外接球，取得半径为：．对于，点到的距离为，点到的距离为，若到平面的距离为，则平面平面．平面平面，则有平面，即，与是等边三角形矛盾．故选：．6．（2021春•无锡期末）设正方体的棱长为4，为线段的中点，为线段上的一个动点，则A．存在点，使 B．直线与平面所成角为定值 C．平面截正方体的截面可能是五边形 D．当点与点重合时，平面截正方体的截面面积为【答案】【详解】解：对于，如图1，以原点，以、、所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系，则，0，，，4，，，0，，，4，，其中，，，符合题意，故正确；对于，如图1，令在平面所的射影为，连接，则直线与平面所成角，因为为定值，是变化的，故直线与平面所成角不为定值，故错；对于，当为的中点时，平面截正方体的截面为五边形，故正确；对于，当点与点重合时，平面截正方体的截面为边长为的菱形，如图3，，，所以截面的面积为，故正确．故选：．7．（2021春•徐州期末）在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，则A． B．直线与平面所成的角的正弦值为 C．平面截该正方体所得的截面面积为 D．点到平面的距离为【答案】【详解】解：对于，因为直线与直线不垂直，且，所以直线与直线不垂直，故错误；对于，因为平面，则为所求线面角的平面角，，，，，，故正确；对于，截面为，，，高为，，故正确；对于，设到平面的距离为，，则，，，，利用余弦定理可得，，，则，故正确．故选：．8．（2021春•连云港期末）在正三棱柱中，，点，，分别为，，的中点，则下列说法正确的是A．直线与直线为异面直线 B．平面平面 C．三棱柱外接球的表面积为 D．直线与平面所成角的正弦值为【答案】【详解】解：对于，，直线与直线共面，故错；对于，面平面，平面平面，故正确；对于，三棱柱外接球的球心是上下底面中心连线的中点，故球半径，故球的表面积为．故正确；对于，因为平面平面，过作，即可得平面，直线与平面所成角，其正弦值为，故正确．故选：．9．（2021春•南京期末）已知菱形的边长为2，，现将沿折起形成四面体．设，则下列选项正确的是A．当时，二面角的大小为 B．当时，平面平面 C．无论为何值，直线与都不垂直 D．存在两个不同的值，使得四面体的体积为【答案】【详解】解：对于、选项，取中点，连接，，则，，，为二面角所成的平面角．当时，为等边三角形，所以，所以正确．当时，，所以，即平面平面，所以正确．对于选项，当时，四面体为正四面体，与垂直，所以错误．对于选项，翻折过程中，点的轨迹为半圆弧，当平面平面时，四面体的体积最大，为，因为，所以在翻折的过程中，存在两个点，使得四面体的体积为，即存在两个，所以正确．故选：．10．（2021春•宿迁期末）已知边长为的菱形中，，将沿翻折，下列说法正确的是A．在翻折的过程中，直线，所成角的范围是 B．在翻折的过程中，三棱锥体积最大值为 C．在翻折过程中，三棱锥表面积最大时，其内切球表面积为 D．在翻折的过程中，点在面上的投影为，为棱上的一个动点，的最小值为【答案】【详解】解：对于：由题意可得和为等边三角形，当在翻折的过程中三棱锥为正四面体时，直线，所成角为，故错误；对于：三棱锥的体积为底面积乘高，的面积确定，故高最大时体积最大，当与底面垂直时，三棱锥高最大，体积最大，此时，，故正确；对于：三棱锥表面积，的面积为确定值，故和面积最大时，三棱锥表面积最大，在翻折过程中，，范围从到，当角度为时，和面积最大，即时，三棱锥表面积最大，此时，，根据三棱锥内切球公式，，所以，内切球表面积为，故正确；对于：在翻折过程中，的最小值为异面直线与所成的最小距离，当接近于时异面直线的距离接近于零，故错误．故选：．11．（2021春•润州区校级期末）在南方不少地区，经常看到人们头戴一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作的斗笠，用来遮阳或避雨，随着旅游和文化交流活动的开展，斗笠也逐渐成为一种时尚旅游产品．有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，根据人的体型、高矮等制作成大小不一的型号供人选择使用，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆直径长）两个指标进行衡量，现有一个“灯罩斗笠”，帽坡长40厘米，帽底宽厘米，关于此斗笠，下面说法正确的是A．斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为 B．若此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一个球上则该球的表面积为平方厘米 C．过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为平方厘米 D．将此斗笠放在平面上，在此斗笠与平面围成的空间内放置一球，则该球的最大半径为厘米【答案】【详解】解：对于，所以，即，所以，故正确；对于：设外接球球心为，半径为，所以，在中，由勾股定理可得，解得，所以该球的表面积，故正确；对于：设，截面三角形面积，故不正确；对于：设球心为，截面主视图如下，设内切圆的半径为，各边长分别为，，所以，解得，故正确．故选：．12．（2021春•泰州期末）在棱长为1的正方体中，为线段上的动点，则下列结论正确的有A． B．三棱锥的体积为定值 C．存在点使得 D．直线平面【答案】【详解】解：对于，平面，则，，则，而，平面，而平面，，故正确；对于，，平面，平面，平面，则到平面的距离为定值，为定值，故正确；对于，，两平行线与间的距离为1，则平面内以为直径的圆与无交点，故为锐角，错误；对于，，，四边形为平行四边形，可得，同理可证，而，平面平面，而平面，直线，故正确．故选：．13．（2021春•南通期末）已知圆台上、下底面的圆心分别为，，半径为2，4，圆台的母线与下底面所成角的正切值为3，为上一点，则A．圆台的母线长为6 B．当圆锥圆锥的体积相等时， C．圆台的体积为 D．当圆台，上、下底面的圆周都在同一个球面上时，该球的表面积为【答案】【详解】解：圆台上、下底面的圆心分别为，，半径为2，4，圆台的母线与下底面所成角的正切值为3，为上一点，，母线，与圆台的母线长为6矛盾，所以错误；，，正确；，正确；设球心到上底面的距离为，则，解得，，，正确；故选：．14．（2021春•鼓楼区校级期末）如图，在棱长为2的正方体中，为线段上一动点（包括端点），则以下结论正确的是A．三棱锥的体积为定值 B．当点为中点时，直线与平面所成角的正弦值为 C．当点与重合时，三棱锥的外接球的体积为 D．过点平行于平面的平面被正方体截得的多边形的面积为【答案】【详解】解：对于到面的距离，，故正确；对于：设到平面的距离，，又，所以，解得，当为的中点时，也为中点，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为，故正确；对于：由长方体几何特征可得平面，所以，所以三棱锥的外接球的球心为的中点，所以半径为，所以三棱锥的外接球的体积为，故正确；对于：过点平行于平面的平面被正方体截得的多边形为，所以，故正确．故选：．15．（2021春•湖南期末）点是正方体中侧面正方形内的一个动点，则下面结论正确的是A．满足的点的轨迹为线段 B．点存在无数个位置满足直线平面 C．在线段上存在点，使异面直线与所成的角是 D．若正方体的棱长为1，三棱锥的体积的最大值为【答案】【详解】解：对于：如图，正方体中，平面，平面，所以，因为，所以平面，所以当点在线段上时，有，所以点的轨迹为线段，所以正确；对于：在正方体中，因为，平面，平面，所以平面，同理平面，而，所以平面平面，所以当点在上是，均有平面，所以点存在无数个位置满足直线平面，所以正确；对于：异面直线与所成的角为，当在线段上运动时，点取的中点时，最小，所以正切值为，所以不存在点，使异面直线与所成的角为，所以错误；对于：由正方体的性质得，平面，若正方体的棱长为1，则点与重合时，三棱锥的体积取得最大，其值为，所以正确．故选：．16．（2021春•淮安期末）如图，点是棱长为1的正方体的侧面上的一个动点，则下列结论正确的是A．二面角的大小为 B．存在点，使得异面直线与所成的角为 C．点存在无数个位置满足 D．点存在无数个位置满足面【答案】【详解】解：：这个二面角的大小即为的二面角大小，由于平面底面平面，故所求二面角大小为；，为异面直线与所成角，当在线段，移动时，取中点，最小，正弦值为，错误；：当在上时，满足条件．，，，平面，平面，，正确；，平面，平面平面，，平面，平面平面平面平面，当在时，平面平面，正确．故选：．17．（2021春•南京期末）已知在三棱锥中，，，两两互相垂直，，，，点为三棱锥的外接球的球心，点为的外接圆的圆心，下列说法正确的是（）A．三棱锥的体积为 B．直线与平面所成角的正切值为 C．球的表面积为 D．【答案】【详解】解：对于，，，，平面，，故正确；对于，，，，平面，为与平面所成角，而，故正确；对于，由于，，两两垂直，故三棱锥的外接球也是棱长分别为3，4，5的长方体的外接球，设外接球半径为，则，，外接球的表面积为，故正确；对于，若点为的外接圆的圆心，则平面，又平面，，故错误．故选：．18．（2021春•扬中市校级期末）如图，以等腰直角的斜边上的高为折痕，把和折成相互垂直的两个平面，下列结论正确的是A． B． C．若，则三棱锥内切球的半径为 D．二面角的平面角的正切值为【答案】【详解】解：设等腰直角的腰为，则斜边，对于选项，由题意知，，又平面平面，平面平面，平面，平面，，即选项正确；对于选项，由选项知，平面，平面，，又，，，是等边三角形，，即选项正确；对于选项，设三棱锥内切球的球心为，半径为，，，，，，，即选项正确；对于选项，取的中点，连接，，等腰，等边，，，