专题05-2023年福建高考数学满分限时题集

专题05大题限时练五1．在等差数列中，已知，公差，其前项和满足．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求的表达式．【答案】（1）；（2）【详解】（1）根据题意，当时，，又，则，解得，所以等差数列的公差，所以；（2）由（1）可知，则；所以，两式相减得，则，所以．2．的内角，，的对边分别为，，．已知．（1）求；（2）若，为的中点，，求的面积．【答案】（1）；（2）【详解】（1）在中，由正弦定理得，整理得，又，所以，又因为，所以．（2）因为，由余弦定理得，即，①在中，由余弦定理得，即，②又，③联立①②③，解得，所以．3．如图，在直三棱柱中，点为的中点，点在上，且．（1）证明：平面平面；（2）若，，且三棱锥的体积为，求与平面所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）在直三棱柱中，平面，，点为的中点，且，，，，，平面，平面，平面平面；（2），为正三角形，设，则，由（1）可得，平面，依题意得，故点到平面的距离为，，，三棱锥的体积为，，，以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，0，，，，，，1，，，，，，0，，，2，，，，，设平面的一个法向量为，，，则，即令，得，0，，，．与平面所成角的正弦值为．4．冬季两项是第24届北京冬奥会的比赛项目之一，它把越野滑雪和射击两种特点不同的竞赛项目结合在一起．其中男子个人赛的规则如下：①共滑行5圈（每圈，前4圈每滑行1圈射击一次，每次5发子弹；②射击姿势及顺序为：第1圈滑行后卧射，第2圈滑行后立射，第3圈滑行后卧射，第4圈滑行后立射，第5圈滑行直达终点；③如果选手有发子弹未命中目标，将被罚时分钟；④最终用时为滑雪用时、射击用时和被罚时间之和，最终用时少者获胜．已知甲、乙两人参加比赛，甲滑雪每圈比乙慢36秒，甲、乙两人每发子弹命中目标的概率分别为和．假设甲、乙两人的射击用时相同，且每发子弹是否命中目标互不影响．（1）若在前三次射击中，甲、乙两人的被罚时间相同，求甲胜乙的概率；（2）若仅从最终用时考虑，甲、乙两位选手哪个水平更高？说明理由．【答案】见解析【详解】（1）设第四圈甲命中发，乙命中了发，在前三次射击中，甲、乙两人的被罚时间相同，甲胜乙需要满足：，化为．，，，．，时，；，时，；，时，．甲胜乙的概率．（2）设甲射击命中目标的次数为，乙射击命中目标的次数为，则，发，发，甲平均罚时为4分钟，乙平均罚时为5分钟，又甲滑雪每圈比乙慢36秒，甲滑雪用时比乙多了秒分钟，，乙的水平更高．5．在平面直角坐标系中，已知点，，是线段的中点，是平面内的一动点，且满足，记点的运动轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）过点的直线与曲线交于，两点，若的面积是的面积的3倍，求直线的方程．【答案】（1）；（2）【详解】（1）令，由题意知：，又，所以，整理得：．故曲线的方程为．（2）由知：在曲线内部，要使的面积是的面积的3倍，即，当直线斜率为0时，直线为，此时、的面积均为0，不满足题设；令直线为，代入曲线中，整理得：，所以，，则，所以，得：，则，又，整理得：，即，所以直线为，即．6．已知函数，，．（1）当时，讨论的单调性；（2）若，，求．【答案】（1）在，上为增函数，在，上为减函数；（2）【详解】（1），若时，则，当，时，恒成立，且仅当时等号成立，故此时在，为减函数，无增区间；当时，若，则；若，则，，则，故在，上为减函数，在，上为增函数，在，上为减函数．当时，若，则，，则，故在，上为增函数，在，上为减函数．（2）时，，即为，因为任意，时，恒成立，故在，上恒成立，而，，若，在，因为为不间断函数，所以存在，使得，，总有，故在，上为减函数，故，，，这与题设矛盾；若，在，因为为不间断函数，所以存在，使得，总有，故在上为减函数，故，，这与题设矛盾．故，此时，当时，，当时，，设，则，因