643第2课时正弦定理精讲

6.4.3第2课时正弦定理(精讲）目录一、必备知识分层透析二、重点题型分类研究题型1:已知两角及任意一边解三角形题型2：已知两边和其中一边的对角解三角形题型3：判断三角形解的个数题型4：判断三角形的形状题型5：利用正弦定理求范围或最值题型6：正弦定理的综合应用题型7：综合运用正弦定理、余弦定理解三角形题型8：与三角形面积有关的问题三、高考（模拟）题体验一、必备知识分层透析知识点1：正弦定理（1）正弦定理的描述①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.②符号语言：在中，若角、及所对边的边长分别为，及，则有（2）正弦定理的推广及常用变形公式在中，若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则①②；；；③④⑤，，（可实现边到角的转化）⑥，，（可实现角到边的转化）知识点2：解决几何问题的常见公式三角形面积的计算公式：①；②；③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）；④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径).二、重点题型分类研究题型1:已知两角及任意一边解三角形典型例题例题1．（2022秋·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）在中，，则中最小的边长为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题意，，故中最小的边长为.由正弦定理，故.故选：B例题2．（2022春·福建福州·高三校联考期中）在中，内角所对应的边分别是.若，则______.【答案】【详解】解：因为，所以，在中由正弦定理，即，所以.故答案为：例题3．（2022秋·上海普陀·高一校考期末）中，角、、所对的边分别为、、，已知.(1)求边、的长度；(2)求的面积及其外接圆半径.【答案】(1)(2)；4【详解】（1）因为，所以在中，，由正弦定理得：，也即，所以；（2）由三角形的面积公式可得：的面积，由正弦定理可得：外接圆半径.同类题型演练1．（2022·上海闵行·统考一模）在中，已知边，角，，则边______．【答案】【详解】因为在中，，，，所以由正弦定理得，即，解得，所以.故答案为：.2．（2022秋·上海崇明·高一上海市崇明中学校考期中）在中，若，，，则______．【答案】【详解】解：在，可得，又由正弦定理得，所以．故答案为：.3．（2022春·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考期中）在中，为的中点，若，，，则______．【答案】【详解】由得在中，利用正弦定理得,在中利用余弦定理得故答案为：.4．（2022春·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，，，则__________．【答案】【详解】解：在中，由正弦定理得，，．故答案为：．题型2：已知两边和其中一边的对角解三角形典型例题例题1．（2022·高一课时练习）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（

）．A． B． C． D．【答案】B【详解】解：因为，，，由正弦定理得.故选：B.例题2．（2022春·陕西渭南·高三渭南市瑞泉中学校考阶段练习）在中，已知，，，则角A等于（

）A．45° B．135°C．45°或135° D．60°或120°【答案】A【详解】由正弦定理得，，∵，∴，∴角A等于45°.故选：A例题3．（2022·高一课时练习）在中，角，，的对边分别为，，，，则的面积为_________．【答案】或【详解】解：由得，因为，，所以，所以或，当时，；当时，，故答案为：或例题4．（2022秋·山西吕梁·高一统考期末）在中，角，，所对的边为，，，若，则的面积为_____________．【答案】或【详解】解：由正弦定理：，因为所以或．当时，，，的面积，当时，，的面积，所以的面积为或．故答案为：或．同类题型演练1．（多选）（2022春·河北保定·高三校考阶段练习）在中，已知，则=（

）A． B． C． D．【答案】AC【详解】由正弦定理，可得，又由且，所以或．故选：AC．2．（2022春·辽宁营口·高二校联考开学考试）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，则（

）A．外接圆的半径为 B．外接圆的半径为3C． D．【答案】AC【详解】因为，A为三角形内角，所以.设外接圆的半径为R，则，所以外接圆的半径为.由.得.因为，所以.因为，所以，所以，则.故选：AC.3．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第一二二中学校校考期末）在中，，则________________．【答案】【详解】由于，由正弦定理可得，，即所以，故答案为：4．（2022秋·甘肃定西·高二校考期中）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a＝1，b＝，B＝60°，则△ABC的面积为___________.【答案】【详解】,由正弦定理可得：，,.故答案为：.题型3：判断三角形解的个数典型例题例题1．（2022秋·江苏扬州·高一统考期末）在中，角，，所对的边分别为，，，下列各组条件中，使得恰有一个解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】A.因为，由正弦定理得

，则，无解；B.因为，由正弦定理得

，则，又，则，有两解，故错误；C.因为，则，所以无解，故错误；D.因为，由正弦定理得

，则，又，且，所以，故有一解，故正确.故选：D例题2．（多选）（2022春·河北张家口·高三校联考期中）在中，内角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【详解】对于A，因为，所以，所以只有一解；故A错误；对于B，因为，所以由正弦定理得，因为，即，所以，所以有两解（，或），故B正确；对于C，因为，所以由正弦定理得，即，因为，所以有两解（，或，），故C正确；对于D，因为，所以由正弦定理得，由于，故，所以只有一解，故D错误；故选：BC例题3．（多选）（2022秋·辽宁朝阳·高一建平县实验中学校联考阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，则下列对三角形解的个数的判断正确的是（

）A．，，，有两解B．，，，有一解C．，，，无解D．，，，有两解【答案】BC【详解】由正弦定理得，所以对选项A，，则，只有一解，故A错；对选项B，，又，则只有一解，故B正确；对选项C，，则无解，故C正确；对选项D，，则无解，故D错；故选：BC.例题4．（多选）（2022秋·广东梅州·高一校联考阶段练习）在中，内角所对的边分别为.根据下列条件解三角形，其中有两解的是（

）A．B．C．D．【答案】BC【详解】对于A,当时，,该三角形唯一确定；对于B，当时，由正弦定理可得，由于，故,故可能为大于的锐角，也可能为小于的钝角，故此时三角形有两解，对于C，，由正弦定理可得，由于，故,故可能为大于的锐角，也可能为小于的钝角，故此时三角形有两解，对于D，，由正弦定理可得，由于，故,故此时三角形的解唯一确定，故选：BC同类题型演练1．（2022秋·安徽合肥·高一合肥市第八中学校考期中）在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】D【详解】，，，由正弦定理得：，又为三角形的内角，，故只有一解，故A错误；，，，由正弦定理得：，所以无解，故B错误；，，，，又为钝角，为锐角，故只有一解，故C错误；，，，由正弦定理得：，，，即，则满足题意的有两解，故D正确.故选：D2．（多选）（2022·全国·高一假期作业）在中，内角所对的边分别为，下列各组条件中使得有两个解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】CD【详解】A项：因为，所以.由正弦定理可得，，无解，A错误；B项：因为，所以.由正弦定理可得，，只有一个解，B错误；C项：因为，由正弦定理可得，.又，所以，此时有两个解，即有两个解，C正确；D项：因为，由正弦定理可得，.又，所以，此时有两个解，即有两个解，D正确.故选：CD.3．（多选）（2022春·湖北武汉·高三武汉市第一中学校考阶段练习）设的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，S和R分别为的面积和外接圆半径．若，则选项中能使有两解的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【详解】对于A，由，，由于且，因此有两个解；对于B，由，则由正弦定理得，且，因此只能是锐角，故只有一组解；对于C，由，得，故只有一解；对于D，由得，所以或，由于，所以，由选项A可知有两解.故选：AD4．（多选）（2022·高一单元测试）在中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【详解】解：对于A，因为，所以由正弦定理可得，无解；对于B，，所以由正弦定理可得，且，有一解；对于C，因为，所以由正弦定理可得，解得，此时，有一解；对于D，因为，所以由正弦定理可得，且，所以B有两个解，不符合题意．故选：BC题型4：判断三角形的形状典型例题例题1．（2022春·宁夏·高三六盘山高级中学校考阶段练习）在中，内角、、的对边分别为，，，且，则的形状是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【详解】解：在中，，由正弦定理得，又，，即，，在中，，，又，．是直角三角形．故选：B．例题2．（2022春·陕西汉中·高二校考阶段练习）在中，角，、所对的边分别为，，，若，则为（

）A．钝角三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．等边三角形【答案】A【详解】解：由，得，所以，即，所以，因为在三角形中，所以所以为钝角，所以为钝角三角形.故选：A．例题3．（2022秋·甘肃武威·高一统考期末）在中，若，则该三角形的形状是（

）A．等边三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【详解】由题意，故，所以，，故，故该三角形的形状是等腰三角形.故选：C同类题型演练1．（2022秋·重庆巴南·高一重庆市实验中学期末）在中，角，，所对的边分别是，，，已知，则的形状是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】A【详解】解：，由正弦定理可知，，因为，所以，所以，即所以，所以，，因为、、是三角形内角，所以．所以是等腰三角形．故选：A．2．（2022春·内蒙古呼和浩特·高二呼和浩特市第六中学校考阶段练习）在中，若，则是（

）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形【答案】A【详解】解：因为，所以所以，即，因为，所以，因为，所以，因为，所以，即是直角三角形.故选：A3．（2022·全国·高三专题练习）在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，则是（

）A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形【答案】A【详解】由，得，所以由余弦定理得，因为，所以，因为，所以由正弦定理得，因为，所以，因为，所以，所以,所以为等腰直角三角形，故选：A题型5：利用正弦定理求范围或最值典型例题例题1．（2022春·浙江·高二期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】为锐角三角形，故,故进而由正弦定理可得故选：A例题2．（2022春·山东青岛·高三统考开学考试）记的内角的对边分别为，已知.(1)求；(2)若为锐角三角形，求的取值范围.【答案】(1)(2)（1）因为,所以由正弦定理得：,即,因为，所以，因为，故，所以，进而,（2）由（1）知,因为为锐角三角形，所以且,所以,由正弦定理得：,因为，所以,所以.例题3．（2022秋·湖北武汉·高一校考期中）已知分别为三个内角的对边，，且，(1)求；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)(2)(1)由题意得：，由正弦定理得：，因为，所以，因为，所以，所以，即，因为，所以，所以，(2)因为，所以由正弦定理得：，，因为，所以，所以，的取值范围是同类题型演练1．（2022春·江苏·高三校联考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知B为锐角，且．(1)求B；(2)求的最大值．【答案】(1)(2)．【详解】（1）因为，所以．在中，由正弦定理，得，所以．因为，所以，所以．又因为B为锐角，所以．（2）因为，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值是．2．（2022秋·山西长治·高一山西省长治市第二中学校校考期末）的内角的对边分别为.的面积为，且.(1)求角；(2)求的最大值.【答案】(1)；(2).(1)，，，，；(2)由正弦定理得：，，，，，所以的最大值为.3．（2022秋·内蒙古呼伦贝尔·高一校考期末）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若（2b﹣a）cosC＝ccosA．(1)求角C的大小；(2)若c＝3，求△ABC的周长取值范围．【答案】(1)(2)（6，9]（1）由于（2b﹣a）cosC＝ccosA，由正弦定理得（2sinB﹣sinA）cosC＝sinCcosA，即2sinBcosC＝sinAcosC+sinCcosA，即2sinBcosC＝sin（A+C），可得：2sinBcosC＝sinB，因为sinB≠0，所以，因为，所以．（2）因为，由正弦定理可得，于是，＝＝，因为△ABC中，，所以，，所以，可得：，所以△ABC周长的取值范围为：（6，9]．题型6：正弦定理的综合应用典型例题例题1．（2022春·内蒙古呼和浩特·高三呼市二中阶段练习）记的内角，，的对边分别为，，，若，则的面积为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】，由正弦定理，得，又，所以，所以，则，所以，所以的面积为.故选：A.例题2．（2022·浙江杭州·模拟预测）在中，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：因为，，，则故选：B.例题3．（2022春·广东佛山·高三佛山一中校考阶段练习）在锐角三角形中，已知，，分别是角，，的对边，且，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，又为锐角三角形，，，且，即，，即，，．故选:C．例题4．（2022春·陕西咸阳·高三校考开学考试）已知的内角，，所对的边分别为，，，若，且，则______．【答案】【详解】由得，即，又，故，由得，所以，即，化简得整理得，因为所以，即．故答案为：.同类题型演练1．（2022·四川·高三统考对口高考）的内角的对边分别为．已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为在ABC中，，所以，所以，因为，所以由正弦定理得，所以，所以,因为，所以，又因所以故选：．2．（2022·全国·高一假期作业）在中，三个内角的对边分别是．若，，，则等于（

）A．4 B． C．6 D．【答案】D【详解】由题意因为，所以，由正弦定理可得，解得，故选：D3．（2022春·陕西渭南·高二渭南市瑞泉中学校考阶段练习）平面四边形ABCD中，，AB=2，则AD长度的取值范围________.【答案】【详解】如图所示，延长，交于E，平行移动CD，当C与D重合于E点时，最长，在中，，，AB=2，由正弦定理可得，即，解得；平行移动CD，到图中AF位置，即当A与D重合时，最短，为0.综上可得，AD长度的取值范围为故答案为：.4．（2022春·上海宝山·高三上海市行知中学校考期中）在锐角中，角所对的边长，的面积为，外接圆半径，则的周长为_______.【答案】【详解】在锐角中，由正弦定理得，则，由三角形面积得，解得，由余弦定理得：，解得，所以的周长为.故答案为：题型7：综合运用正弦定理、余弦定理解三角形典型例题例题1．（2022春·广东佛山·高三佛山一中校考阶段练习）在锐角三角形中，已知，，分别是角，，的对边，且，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，又为锐角三角形，，，且，即，，即，，．故选:C．例题2．（2022秋·上海浦东新·高一上海市川沙中学期中）我国古代数学家秦九韶在《数学九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，、、所对的边长分别为、、，则的面积.根据此公式，若，且，则的面积为__.【答案】【详解】由于，所以，故，即，因为，，故.由余弦定理得，整理得，所以.故答案为：例题3．（2022·河南·模拟预测）已知的内角所对的边分别为，且.(1)求角；(2)若，求周长的最大值.【答案】(1)(2)【详解】（1）由正弦定理得，由余弦定理得，由于，所以.（2）由正弦定理得，，，的周长为，由于，所以,当,即时,所以周长的最大值为.同类题型演练1．（2022秋·浙江·高一期中）已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，，故三角形外接圆直径为，故，因为三角形为锐角三角形，故，故，故，故，故，故选：D2．（2022秋·上海崇明·高一上海市崇明中学校考期中）在中，若，，，则______．【答案】【详解】解：在，可得，又由正弦定理得，所以．故答案为：.3．（2022春·陕西咸阳·高二校考阶段练习）在​中，内角​的对边分别为​，若​，且​的外接圆面积为​，则​的面积为________【答案】【详解】因为，，所以，又因为，所以，，因为​的外接圆面积为​，所以由得，由正弦定理得，，，又因为，所以​.故答案为：.4．（2022秋·上海崇明·高一上海市崇明中学校考期中）在中，角为锐角，且，其中．(1)证明：；(2)求实数的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）由正弦定理和，得，所以；（2）因为角为锐角，所以，所以，所以，则，即，所以，所以或，所以实数的取值范围．5．（2022·浙江·模拟预测）锐角中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，．(1)求B的大小；(2)若，求b的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）由正弦定理，，故.又为锐角三角形，故，故，即，解得.（2）由正弦定理，即，又，故.由正弦定理可得.因为，且为锐角三角形，故,且，可得.故，即，故，即b的取值范围为题型8：与三角形面积有关的问题典型例题例题1．（2022春·山西运城·高三统考期中）在中，角的对边分别为，已知，点为边上一点，且，则的值为（

）A．5 B．1 C．1或5 D．4【答案】A【详解】,得,,所以，,，因为，所以是等边三角形，所以,得，又,设，中，利用余弦定理，，解得：或（舍）所以.故选：A例题2．（2022春·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考开学考试）在等腰中，，若边上的中线的长为3，则的面积的最大值是（

）A．6 B．12 C．18 D．24【答案】A【详解】设，，由于，在和中应用余弦定理可得：，整理可得：，结合勾股定理可得的面积：，当且仅当时等号成立．则面积的最大值为6．故选：A.例题3．（2022秋·山东菏泽·高一统考期末）在中，角,､对边分别为，､，且，当，时，的面积是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】对于，用正弦定理得：.因为，且,所以.由余弦定理得：,解得：（舍去）.所以的面积是.故选：C例题4．（2022·全国·高三专题练习）在中，，，所对的边分别为，，，已知，且，则的面积为________．【答案】【详解】因为，所以由余弦定理得，又，所以.因为，所以结合正弦定理可得，所以.故.故答案为：.例题5．（2022春·内蒙古兴安盟·高二阶段练习）在中，内角对应的边分别为，已知．(1)求；(2)若，求的值及的面积．【答案】(1)(2)【详解】（1）在中，由正弦定理得，因为，代入化简得，因为，所以，所以，又因为，所以.（2）在中，由余弦定理得，代入数据解得.三角形面积为同类题型演练1．（2022·高一课时练习）在中，内角所对的边分别为，且，则的面积为（

）A． B．2 C．3 D．【答案】A【详解】解：由正弦定理得，∵，∴，∵，∴，∴，由正弦定理得，∴，由余弦定理得，解得，∴，∴．故选：A．2．（2022春·云南曲靖·高二校考开学考试）在中，角的对边分别为，且，则的面积为（）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C【详解】因为，由正弦定理，因为，所以，因为，所以，根据余弦定理得，得或，所以或，故选：C.3．（2022春·陕西咸阳·高二校考阶段练习）在​中，内角​的对边分别为​，若​，且​的外接圆面积为​，则​的面积为________【答案】【详解】因为，，所以，又因为，所以，，因为​的外接圆面积为​，所以由得，由正弦定理得，，，又因为，所以​.故答案为：.4．（2022秋·北京昌平·高一校考期中）在中，角所对的边分别为，且，则面积的最大值为___________.【答案】##【详解】因为，所以由余弦定理得，因为，