102事件的相互独立性透课堂-2021-2022学年高一数学满分计划（人教A版2019）

20212022学年高一数学【考题透析】满分计划系列(人教A版2019必修第二册)10.2事件的相互独立性【知识导学】考点一相互独立事件的概念对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立.考点二相互独立事件的性质如果事件A与B相互独立，那么A与eq\x\to(B)，eq\x\to(A)与B，eq\x\to(A)与eq\x\to(B)也都相互独立.【考题透析】透析题组一：事件独立性的判断1．（天津市第一中学20192020学年高一下学期期末数学试题）下列各对事件中，不互为相互独立事件的是（

）A．掷一枚骰子一次，事件“出现偶数点”；事件“出现3点或6点”B．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件“第一次摸到白球”，事件“第二次摸到白球”C．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件“第一次摸到白球”，事件“第二次摸到黑球”D．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件“从甲组中选出1名男生”，事件“从乙组中选出1名女生”2．（2021·浙江·高三专题练习）袋内有大小相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用表示“第一次摸到白球”，用表示“第二次摸到白球”，用表示“第一次摸到黑球”则下列说法正确的是（

）A．与为互斥事件 B．与为对立事件C．与非相互独立事件 D．与为相互独立事件3．（2021·广东·化州市第三中学高一期末）甲乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为，乙中靶的概率为.甲乙各射击一次，则两人都中靶的概率为（

）A． B． C． D．透析题组二：相互独立事件概率的计算4．（2022·江苏·高三专题练习）2020年，各国医疗科研机构都在积极研制“新冠”疫苗，现有A､B两个独立的医疗科研机构，它们能研制出疫苗的概率均为，则至少有一家机构能够研究出“新冠”疫苗的概率为（

）A． B． C． D．5．（2021·宁夏长庆高级中学高二期中（理））一商店有奖促销活动中仅有一等奖、二等奖、鼓励奖三个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.32，中鼓励奖的概率为0.42，则不中奖的概率为（

）A．0.16 B．0.12 C．0.18 D．0.586．（2021·全国·高一课时练习）下列事件中，哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件？（1）1000张有奖销售的奖券中某1张奖券中一等奖与该张奖券中二等奖．（2）甲、乙两人同时购买同一期的双色球彩票各一张，甲中奖与乙中奖．（3）甲组3名男生、2名女生，乙组2名男生、3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”．透析题组三：相互独立事件概率的综合应用7．（2022·全国·高一课时练习）甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为0.7，乙破译密码的概率为0.6.记事件A：甲破译密码，事件B：乙破译密码.（1）求甲、乙二人都破译密码的概率；（2）求恰有一人破译密码的概率.8．（2022·全国·高二）某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为，数学为，英语为，问一次考试中（Ⅰ）三科成绩均未获得第一名的概率是多少？（Ⅱ）恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少9．（2021·江苏常州·高一期末）习近平总书记指出:“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、亲善友爱的社会心态.”在2020年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作用.某心理调查机构为了解市民在疫情期的心理健康状况，随机抽取位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分分）从低到高将心理健康状况分为四个等级:调查评分心理等级有隐患一般良好优秀并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在的市民为人.（1）求的值及频率分布直方图中的值；（2）在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取人，进行心理疏导.据以往数据统计，经过心理疏导后，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的人中，经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为多少?（3）心理调查机构与该市管理部门设定的预案是:以抽取的样本作为参考，若市民心理健康指数平均值不低于则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据你所学的统计知识，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由.(每组数据以区间的中点值代替，心理健康指数=(问卷调查评分/100)【考点同练】一、单选题10．（2021·全国·高一课时练习）在一个随机试验中，彼此互斥的事件，，，发生的概率分别为0.1，0.1，0.4，0.4，则下列说法正确的是（

）A．与是互斥事件，也是对立事件B．与是互斥事件，也是对立事件C．与是互斥事件，但不是对立事件D．与是互斥事件，也是对立事件11．（2021·全国·高一课时练习）已知随机事件和互斥，且，，则A．0.5 B．0.1 C．0.7 D．0.812．（2022·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一期中）设A，B是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是（

）A．若A，B是对立事件，则事件A，B满足P（A）＋P（B）＝1B．事件A，B，C两两互斥，则P（A）＋P（B）＋P（C）＝1C．若A和B互斥，则A和B一定相互独立D．P（A＋B）＝P（A）＋P（B）13．（2022·黑龙江·海伦市第一中学高二期中）某学校餐厅就餐刷卡器是由三个电子元件按如图所示的方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则刷卡器能正常工作.如果各个元件能否正常工作相互独立，元件1、元件2正常工作的概率都是，元件3正常工作的概率是，那么该刷卡器能正常工作的概率为（

）A． B． C． D．14．（2022·山东烟台·高二期中）设事件A，B相互独立，，，则（

）A．0.36 B．0.504 C．0.54 D．0.915．（2022·江苏·海门中学高二阶段练习）已知三家公司同时生产某一产品，它们的市场占有率分别为，，，且对应的次品率为，，，则该产品的次品率为（

）A． B． C． D．二、多选题16．（2021·全国·高一课时练习）下列各对事件中,不是相互独立事件的有A．运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”B．甲､乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”C．甲､乙两运动员各射击一次,“甲､乙都射中目标”与“甲､乙都没有射中目标”D．甲､乙两运动员各射击一次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”17．（2022·甘肃·兰州一中高一期中）已知事件A，B，且，则（

）A．如果，那么B．如果A与B互斥，那么C．如果A与B相互独立，那么D．如果A与B相互独立，那么18．（2022·贵州·遵义四中高一期末）已知事件，且，，则（

）A．如果，那么,B．如果与互斥，那么,C．如果与相互独立，那么，D．如果与相互独立，那么,三、双空题19．（2021·全国·高二课时练习）在一次数学考试中，第22题和第23题为选做题规定每位考生必须且只需在其中选做一题.设4名考生选做这两题的可能性均为.则其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率为_____；甲、乙2名学生都选做第22题的概率为_______.20．（2021·江苏常州·高一期末）甲、乙二人做射击游戏，甲、乙射击击中与否是相互独立事件．规则如下：若射击一次击中，则原射击人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击．已知甲、乙二人射击一次击中的概率均为，且第一次由甲开始射击．①求前3次射击中甲恰好击中2次的概率____________；②求第4次由甲射击的概率________．四、填空题21．（2022·全国·高二单元测试），，表示3种开关并联，若在某段时间内它们正常工作的概率分别0.9，0.8，0.7，那么此系统的可靠性为______________.22．（2021·浙江·高一单元测试）甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率分别为0.8和0.7，那么，在一次预报中，甲站、乙站预报都准确的概率为_____.23．（2022·全国·模拟预测）2022北京冬奥会期间，吉祥物冰墩墩成为“顶流”，吸引了许多人购买，使一“墩”难求.甲､乙､丙3人为了能购买到冰墩墩，商定3人分别去不同的官方特许零售店购买，若甲､乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为，丙购买到冰墩墩的概率为，则甲，乙､丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为___________.24．（2022·福建泉州·高二期中）某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人、二级射手8人、三级射手7人、四级射手1人，一、二、三、四级射手能通过选拔进入比赛的概率分别为0.9，0.7，0.5，0.2，则任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率为__________．五、解答题25．（2021·浙江·高一单元测试）某女篮运动员统计了她最近几次参加比赛投篮的得分情况，得到的数据如下表所示.投篮次数投中两分的次数投中三分的次数754512注：每次投篮，要么得两分，要么得三分，要么没投中.记该女篮运动员在一次投篮中，投中两分为事件A，投中三分为事件B，没投中为事件C，试估计.26．（2020·江苏·镇江市实验高级中学高二阶段练习）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，.（1）记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求，的概率；（2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.27．（2021·全国·高二课时练习）某高校的入学面试中有4道不同的题目，每位面试者都要回答这4道题目．已知李明答对第1题、第2题、第3题、第4题的概率分别为假设对这4道题目能否答对是独立的，该高校要求至少答对其中的3道题才能通过面试．用Ai表示事件“李明答对第i道题”（i＝1，2，3，4）．（1）写出所有的样本点；（2）求李明通过面试的概率．28．（2022·陕西·泾阳县教育局教学研究室高二期中（文））已知甲、乙、丙三人独自射击，命中目标的概率分别是、、．设各次射击都相互独立．(1)若乙对同一目标射击两次，求恰有一次命中目标的概率；(2)若甲、乙、丙三人对同一目标各射击一次，求目标被命中的概率．【答案精讲】1．C【解析】【分析】利用相互独立事件的定义直接判断各选项，即可得到结果．【详解】对于选项A，事件发生与否与无关，同时，事件发生与否与无关，则事件与事件N是相互独立事件；对于选项B，袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件“第一次摸到白球”，事件“第二次摸到白球”，则事件发生与否与无关，同时，事件发生与否与无关，则事件与事件是相互独立事件；对于选项C，袋中有3白、2黑，5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件“第一次摸到白球”，事件“第二次摸到黑球”，则事件发生与否和事件有关，故事件和事件与不是相互独立事件；对于选项D，甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件“从甲组中选出1名男生”，事件“从乙组中选出1名女生”，则事件发生与否与无关，同时，事件发生与否与无关，则事件与事件是相互独立事件；故选：C.【点睛】本题主要考查了相互独立事件的概念和对相互独立事件的判断，本题属于基础题.2．C【解析】根据互斥事件和相互独立事件的概念逐一判断即可.【详解】与可以同时发生但是不放回的摸球第一次对第二次有影响，所以不为互斥事件，也非相互独立事件；与可以同时发生所以不是对立事件；与，第一次摸到白球与第一次摸到黑球一定不能同时发生，不是相互独立事件.故选：C.【点睛】本题考查互斥事件和相互独立事件的概念，是基础题.3．B【解析】【分析】利用独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率.【详解】甲乙各射击一次，则“甲中靶”与“乙中靶”相互独立，所以，甲乙各射击一次，则两人都中靶的概率为.故选：B.【点睛】本题考查利用独立事件的概率的乘法公式计算事件的概率，考查计算能力，属于基础题.4．C【解析】利用对立事件进行事件的概率计算；【详解】两家机构都不能够研究出“新冠”疫苗的概率为，至少有一家机构能够研究出“新冠”疫苗的概率为，故选：C.【点睛】本题考查对立事件求概率，属于基础题.5．A【解析】从1中减去中一等奖、二等奖、鼓励奖的概率，所得即为不中奖的概率.【详解】由于奖项一等奖、二等奖、鼓励奖和不中奖四个事件是相互独立，且构成事件为必然事件，∴不中奖的概率为：,故选：A.【点睛】本题考查互斥事件的概率计算，属简单题.6．（1）互斥事件；（2）相互独立事件；（3）相互独立事件．【解析】【分析】（1）利用互斥事件的定义进行判断即可；（2）利用相互独立事件的定义进行判断即可；（3）利用相互独立事件的定义进行判断即可．【详解】（1）一张奖券不可能既中一等奖又中二等奖，即这两个事件不可能同时发生，故它们是互斥事件．（2）由双色球的中奖规则可知，甲是否中奖对乙没有影响，反之亦然，故它们是相互独立事件．（3）“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，反之亦然，所以它们是相互独立事件．7．（1）0.42；（2）0.46.【解析】（1）由相互独立事件概率的乘法公式运算即可得解；（2）由互斥事件概率的加法公式及相互独立事件概率的乘法公式运算即可得解.【详解】（1）事件“甲、乙二人都破译密码”可表示为AB，事件A，B相互独立，由题意可知，所以；（2）事件“恰有一人破译密码”可表示为，且,互斥所以.8．（Ⅰ）三科成绩均未获得第一名的概率是（Ⅱ）恰有一科成绩未获得第一名的概率是【解析】【详解】试题分析：解：分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为，则（Ⅰ）答：三科成绩均未获得第一名的概率是（Ⅱ）（）答：恰有一科成绩未获得第一名的概率是考点：本题主要考查离散型随机变量的概率计算．点评：注意事件的相互独立性，利用公式加以计算．9．（1）2000，；（2）；（3）只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动，理由见解析.【解析】（1）由调查评分在的市民为人及频率可得样本容量；根据频率和为1可得t；（2）由（1）知，根据调查评分在有人，有人，计算出心理等级均达不到良好的概率，由对立事件的概率可得答案；（3）由频率分布直方图估计市民心理健康问卷调查的平均评分及平均值与0.8作比较可得答案.【详解】（1）由已知条件可得，每组的纵坐标的和乘以组距为1，所以，解得.（2）由（1）知，所以调查评分在的人数占调查评分在人数的，若按分层抽样抽取人，则调查评分在有人，有人，因为经过心理疏导后的恢复情况相互独立，所以选出的人经过心理疏导后，心理等级均达不到良好的概率为，所以经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为良好的概率为.（3）由频率分布直方图可得，，估计市民心理健康问卷调查的平均评分为，所以市民心理健康指数平均值为，所以只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动.【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用及相互独立事件概率的求解，由频率分布直方图中是没有样本数据的，平均值等于每个小长方形面积乘每组横坐标的中点，然后相加求和，且所有矩形的面积之和为1，考查了学生分析数据处理问题的能力.10．D【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件的概念和性质，根据题中条件，逐项判断，即可得出结果.【详解】因为彼此互斥的事件，，，发生的概率分别为0.1，0.1，0.4，0.4，所以与是互斥事件，但，所以与不是对立事件，故A错；与是互斥事件，但，所以与不是对立事件，故B错；与是互斥事件，且，所以也是对立事件，故C错；与是互斥事件，且，所以也是对立事件，故D正确.故选：D.【点睛】本题主要考查互斥事件与对立事件的定义，属于基础题型.11．A【解析】【分析】由，可求出，进而可求出.【详解】因为事件和互斥，所以,则，故.故答案为A.【点睛】本题考查了互斥事件概率加法公式，考查了对立事件的概率求法，考查了计算求解能力，属于基础题．12．A【解析】【分析】A.该选项正确；B.事件A，B，C两两互斥，举例说明该选项错误；C.若A和B互斥，则A和B一定不相互独立，所以该选项错误；D.只有当A和B互斥时，P（A＋B）＝P（A）＋P（B），所以该选项错误.【详解】A.若A，B是对立事件，则事件A，B满足P（A）＋P（B）＝1，所以该选项正确；B.事件A，B，C两两互斥，如:投掷一枚均匀的骰子，设{向上的点数是1点}，{向上的点数是2点}，{向上的点数是3点}，则A，B，C两两互斥，,P（A）＋P（B）＋P（C）＜1,所以该选项错误；C.若A和B互斥，则，则A和B一定不相互独立，所以该选项错误；D.只有当A和B互斥时，P（A＋B）＝P（A）＋P（B），所以该选项错误.故选：A13．B【解析】【分析】利用对立事件的概率求出元器件1和2至少一个正常工作的概率，再由相互独立事件同时发生的概率公式求刷卡器正常工作的概率即可.【详解】该刷卡器能正常工作需要元器件1和2至少有一个正常工作，同时元器件3正常工作，所以刷卡器能正常工作的概率.故选：B14．C【解析】【分析】根据独立事件的概率计算公式，结合题意，带值求解即可.【详解】根据题意，互斥，相互独立，，相互独立，，相互独立，故.故选：C.15．B【解析】【分析】利用独立事件的乘法公式及互斥事件加法公式求该产品的市场次品率即可.【详解】由题设，该产品的次品率为.故选：B16．ACD【解析】根据相互独立事件的概念以及判断，分析出是相互独立事件的选项.【详解】在A中,甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立;在B中,甲､乙各射击一次,“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响,二者是相互独立事件;在C中,甲,乙各射击一次,“甲､乙都射中目标”与“甲､乙都没有射中目标“不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立;在D中,设“至少有1人射中目标”为事件A,“甲射中目标但乙未射中目标”为事件B,则,因此当时,,故A､B不独立,故选：ACD【点睛】本小题主要考查相互独立事件的判断，属于基础题.17．ABD【解析】【分析】根据事件的包含关系、相互独立､互斥事件概率计算方法计算即可.【详解】如果，那么，，故A正确；如果A与互斥，那么，，故B正确；如果A与相互独立，那么，，故C错误；如果A与相互独立，那么，故D正确；故选：ABD18．ABD【解析】【分析】根据互斥事件的加法公式、独立事件的乘法公式以及对立事件的概率公式进行计算可得答案.【详解】对于A，如果，则，，故A正确；对于B，如果与互斥，则，，故B正确；对于C，如果与相互独立，则，，故C不正确；对于D，如果与相互独立，则，。故D正确故选：ABD19．

【解析】由题意利用相互独立事件的概率乘法公式，计算求得结果．【详解】解：设事件A表示“甲选做第22题”，事件B表示“乙选做第22题”，则甲，乙2各学生选做同一道题的事件为“”，且事件A，B相互独立，.∴甲、乙两名学生选做同一道题的概率为；，∴甲、乙两名学生都选做第22题的概率为.故答案为：；．【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．20．

,

【解析】【详解】①由题意,前3次射击中甲恰好击中2次,即前2次甲都击中目标,但第三次没有击中目标,故它的概率为.②第4次由甲射击包括甲连续射击3次且都击中；第一次甲射击击中，但第二次没有击中，第三次由乙射击没有击中；第一次甲射击没有击中，且乙射击第二次击中，但第三次没有击中；第一次甲射击没有击中，且乙射击第二次没有击中，第三次甲射击击中；故这件事的概率为.21．0.994【解析】根据并联线路的特征，只有三个开关同时发生故障，系统才不正常，可以考虑对立事件求解.【详解】某段时间内三个开关全部坏掉的概率为，所以系统正常工作的概率为，所以此系统的可靠性为0.994.故答案为：0.994.【点睛】本题主要考查对立事件和独立事件的概率求解，正面考虑情况较多时，一般考虑对立事件来转化，侧重考查数学运算的核心素养.22．0.56.【解析】记事件:甲站预报准确，事件：乙站预报准确，则事件为甲乙两站都预报准确，根据独立事件的乘法公式可得答案.【详解】记事件:甲站预报准确，事件：乙站预报准确，则事件为甲乙两站都预报准确，且，，又与相互独立，所以.故答案为：0.56【点睛】本题考查了独立事件的乘法公式，属于基础题.23．【解析】【分析】先算出甲乙2人均购买不到冰墩墩的概率，然后算出丙购买不到冰墩墩的概率，进而算出甲乙丙3人都购买不到冰墩墩的概率，最后算出答案.【详解】因为甲乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为，所以甲乙