人教版六年级下册数学教案

人教版六年级下册数学教案——负数教学目标来源：网络2009-08-0409:34:23[标签：六年级负数人教版教案]奥数精华资讯免费订阅1．在熟悉的生活情境中初步认识负数，能正确的读、写正数和负数，知道0既不是正数也不是负数。

2．初步学会用负数表示一些日常生活中的实际问题，体验数学与生活的密切联系。

3．能借助数轴初步学会比较正数、0和负数之间的大小。人教版六年级下册数学教案——负数教材说明和教学建议来源：网络2009-08-0409:35:04[标签：数学教材人教版六年级负数教案]奥数精华资讯免费订阅教材说明本单元内容是在学生认识了自然数、分数和小数的基础上，结合学生熟悉的生活情境初步认识负数。《标准》第二学段这部分内容的具体目标是：“在熟悉的生活情境中，了解负数的意义，会用负数表示一些日常生活中的问题。”以往负数的教学安排在中学阶段，现在安排在本单元主要是考虑到负数在生活中有着广泛的应用，学生在日常生活中已经接触了一些负数，有了初步认识负数的基础。在此基础上，初步认识负数，能进一步丰富学生对数概念的认识，有利于中小学数学的衔接，为第三学段进一步理解有理数的意义和运算打下良好的基础。在实际生活中存在很多具有相反意义的量，比如，气温的零上和零下，存折上现金的存入和支取，水位高度的上升和下降，海拔高度的高于海平面和低于海平面，等等。为了表示这样两种相反意义的量，还用学生原有的数概念知识就不够了，这样就自然引入了负数的认识。教材首先通过学生熟悉的生活情境如气温（例1）、存折（例2）中蕴含的具有两种相反意义的量来体会引入负数的必要性，初步理解负数的含义，接下来通过用负数表示日常生活中的简单问题加深对负数意义的理解。在此基础上，例3让学生在直线上表示出正数和负数，初步建立数轴的模型，形式数的比较完整的认知结构，例4借助数轴对气温进行排序让学生初步辨别正数、0和负数之间的大小关系。本单元教材在编排上有以下几个特点。1．选取学生熟悉的生活素材，加深对负数意义的理解。为了帮助学生更好的理解负数的意义，体会正数和负数可以表示两种相反意义的量，教材注意结合学生熟悉的生活情境，选取学生感兴趣的素材，唤起学生已有的生活经验，使他们在具体的情境中认识负数。例如，例1通过冬天教室里和教室外的气温对比，室内、室外的气温分别是零上16℃和零下16℃，来引入负数。因为气温是学生每天都能接触到的信息，从气温引入能让学生感受生活中出现负数的必要性。再如，例2通过明细中存入和支取的对比，进一步体会生活中用正负数表示两种相反意义的量。另外，在练习中还安排了用正负数表示相对于海平面的海拔高度、相对于北京时间的其他地区的时间，等等。2．初步建立数轴的模型，渗透数形结合的思想。在学生初步认识负数后，例3安排了一个活动情境，在直线上表示从一点向两个相反方向运动后的情形，也就是在直线上表示正数、0和负数的内容，帮助学生进一步感受负数的意义并初步建立数轴的模型。例4进一步让学生把未来一周每天的最低气温在数轴上表示出来，借助数轴来比较数的大小。利用学生对温度高低的亲身体验理解正数、0和负数的大小，初步体会数轴上数的顺序，完成对数的结构的初步构建。教学建议1．通过丰富多彩的生活情境，加深学生对负数的认识。负数的出现，是生活中表示两种相反意义的量的需要。教学时，教师应通过丰富多彩的生活实例，特别是学生感兴趣的一些素材来唤起已有的生活经验，激发学习兴趣，在具体情境中感受出现负数的必要性，并通过两种相反意义的量的对比，初步建立负数的概念。在引入负数以后，教师要鼓励学生举出生活中用正负数表示两种相反意义的量的实际例子，培养学生用数学的眼光观察生活，并通过大量的事例加深对负数的认识，感受数学在实际生活中的广泛应用。2．把握好教学要求。对负数的教学要把握好要求，作为中学进一步学习有理数的过渡，小学阶段只要求学生初步认识负数，能在具体的情境中理解负数的意义，初步建立负数的概念。这里不出现正负数的数学定义，而是描述什么样的数是正数，什么样的数是负数，只要求学生能辨认正负数。关于数轴的认识，这里还没有出现严格的数学定义，而是描述性的定义，只是让学生借助已有的在直线上表示正数和0的经验，迁移类推到负数，能在数轴上表示出正数、0和负数所对应的点。关于数的大小比较，特别是两个负数的比较，这里还不是抽象的比较，只要能借助数轴来比较就可以了。3．本单元内容可安排3课时进行教学。人教版六年级上册数学教案——课题：圆锥的体积来源：网络2009-08-0409:38:31[标签：六年级人教版教案]奥数精华资讯免费订阅教学内容：教材第25、26页例2和相关的内容。

教学目标：

1．理解和掌握圆锥体积的计算方法，并能运用公式解决简单的实际问题。

2．培养学生乐于学习，勇于探索的情趣。

教学准备：准备若干同样的圆柱形容器,若干与圆柱等底等高和不等底不等高的圆锥形容器，沙子和水。

一、引出问题

1．出示圆锥形小麦堆。

师：看，小麦堆得像小山一样，小麦丰收了！张小虎和爷爷笑得合不拢嘴。这时，爷爷用竹子量了量麦堆的高和底面的直径，出了个难题要考一考小虎：你能算出这堆小麦大约有多少立方米吗？

这下可难住了小虎，因为他只学过圆柱的体积计算，圆锥的体积怎样计算还没学，怎么办？你有办法知道圆锥的体积吗？（板书：圆锥的体积）

2．引导学生独立思考，提出各种猜想。

根据学生的各种猜想，教师进一步引导学生思考，我们学过哪些图形的体积计算？圆锥的体积与哪种图形的体积有关？

3．进一步观察、比较、猜测。师举起圆柱、圆锥教具，把圆锥体套在透明的圆柱体里，让想一想它们的体积之间会有什么样的关系。（生猜测，圆柱的体积可能是圆锥的2倍、3倍、4倍或其他）

二、实验探究圆锥与圆柱体积之间的关系

1．开展实验收集数据。

师：圆锥的体积究竟和圆柱体积有什么关系？请同学们亲自验证。

这里有沙子和水，还有等底等高和不等底不等高的各种圆柱、圆锥的模具。实验要求：各组根据需要选用实验用具，小组成员分工合作，轮流操作，作好实验数据的收集整理。

1号圆锥2号圆锥3号圆锥次数

与圆柱是否等底等高

如何实验？分小组先议一议，再动手。（学生动手操作，教师巡视，发现问题及时指导。实验结束将小组记录展示在黑板上）

2．分析数据，作出判断。

（1）观察全班的实验结果。

①各组说说各种实验结果。

②观察全班数据，你发现了什么？（发现大多数情况下圆柱能装下三个圆锥的沙或水，也有两次多或四次等不同结果）

③进一步观察分析，什么情况下圆柱刚好能装下三个圆锥的沙或水？（各组互相观察各自的圆柱圆锥，发现只要是等底等高，圆柱的体积都是圆锥体积的3倍，也就是说在等底等高的情况下圆锥体积是圆柱体积的。）

④是不是所有符合等底等高条件的圆柱、圆锥都具备这样的关系呢？（师用标准教具装水实验一次）

（2）总结结论。

让学生总结实验结果。

3．你能用字母表示出它们的关系吗？

生汇报，师板书：圆锥体体积V=Sh

4．加深理解。

师：在Sh中，“Sh”表示什么？为什么还要乘？

师：要求圆锥的体积必须知道什么条件？还要注意什么？

三、实践应用

1．填空。

圆柱的体积是9cm3，与它等底等高的圆锥体积是（）。

圆锥的底面积5．4m2，高21m，体积是（）。

2．判断。

圆锥的体积等于圆柱体积的3倍。

圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的。

3．师：对于张爷爷提出的难题，现在可以解决了吗？

学生根据提供的麦堆的高1m和底面直径2m，先求出圆锥的底面积，再用圆锥体积公式求出麦堆的体积。

4．请同学们仔细看看课本，想一想，对于今天学习的内容，还有什么问题？

四、小结

同学们，通过这节课的学习，你有什么感受和想法？（学生自由发言）人教版六年级下册数学教案——比例教学目标来源：网络2009-08-0409:39:33[标签：六年级人教版教案]奥数精华资讯免费订阅1．理解比例的意义和基本性质，会解比例。2．理解正比例和反比例的意义，能找出生活中成正比例和成反比例量的实例，能运用比例知识解决简单的实际问题。3．认识正比例关系的图像，能根据给出的有正比例关系的数据在有坐标系的方格纸上画出图像，会根据其中一个量在图像中找出或估计出另一个量的值。4．了解比例尺，会求平面图的比例尺以及根据比例尺求图上距离或实际距离。5．认识放大与缩小现象，能利用方格纸等形式按一定的比例将简单图形放大或缩小，体会图形的相似。6．渗透函数思想，使学生受到辩证唯物主义观点的启蒙教育。人教版六年级下册数学教案——比例教材说明和教学建议来源：网络2009-08-0409:40:12[标签：数学教材六年级人教版教案]奥数精华资讯免费订阅教材说明

本单元是在学习了比的有关知识并掌握了一些常见数量关系的基础上，学习比例的有关知识及其应用。比例在生活和生产中有着广泛的应用，如，绘制地图需要应用比例尺的知识。比例的知识还是进一步学习中学数学、物理、化学等知识的基础。另外通过对正比例与反比例知识的学习，还可以加深学生对数量之间关系的认识，渗透函数思想，进行辩证唯物主义观点的启蒙教育。

教材还在本单元后面安排了一个“阅读资料”，让学有余力的学生通过阅读了解“斐波那契数列”的由来及特点，寻找其规律，感受数学的内在魅力，增加数学学习的兴趣。

本单元教材编排有以下特点。

1．体现比例在生产和生活中的广泛应用。

首先知识由实际问题引入，例如由大小不同的国旗引入比例的意义，从“世界公园”的埃菲尔铁塔模型引入解比例，从生活中的放大、缩小现象引入图形的放大和缩小等。其次在练习中增加应用问题，例如比例的意义和基本性质的练习过去都限于判断、组比例或解比例式题，现在练习中安排了较多的根据比例意义解比例的实际问题。第三专门安排了比例的应用一节内容，其中既有正、反比例的实际问题，还有比例尺和图形的放大与缩小。通过这些内容的学习，使学生体会比例在生产生活中的应用，提高学生应用所学知识解决实际问题的能力。

2．渗透函数思想。

函数是近代数学的重要概念之一，在现代科学技术中有广泛的应用，是中学数学学习的一个重要内容。在小学，主要是通过一些知识的学习，渗透函数思想。如结合乘除法的学习，通过数量关系进行渗透，本单元中正比例和反比例的意义也是渗透函数思想的重要内容。因为函数关系反映的是变量之间的对应规律，成正比例和反比例的量实际上反映的是两个变量之间的依存关系。教材把正比例与反比例的认识专门安排为一节，通过实例，用列表的形式，让学生体会变量之间的关系，并用=k、x×y=k的式子表示两个变量之间的关系。

在认识正比例关系时，教材通过图像表示两个变量的关系，加深学生对正比例关系的认识，从而进一步加深学生对函数的了解。

教学建议

1．重视基本概念的教学。

比例、正比例、反比例是本单元学习的几个基本概念，十分重要。学习比例的相关知识以及比例的应用都有赖于对这些概念的理解和掌握。如解答含正反比例关系的实际问题，首先要对两个量成何比例做出判断，然后依据正比例或反比例数量关系的特点解答。再如，比例尺的应用及图形的放大与缩小，都要依据比例的意义进行相关的计算。教学中要通过观察、比较、判断、归纳等方法帮助学生建立明晰的概念，把握概念的内涵。同时通过应用，不断加深对这些概念的理解和掌握。

2．提高学生综合运用知识的能力。

本单元的知识综合性比较强，如比例的概念与比、除法、分数等相关知识，解比例及用比例方法解决问题，要用到方程的相关知识。所以学习中既要注意新旧知识的联系，又要注意发展学生综合运用知识的能力。教材的编写也注意体现知识的综合应用，例如比例尺的一些练习，不仅限于计算图上距离和实际距离，而且涉及到测量、图形、方向与位置的知识以及根据实际设计比例尺等。

3．本单元可用14课时进行教学。人教版六年级下册数学教案——统计教学目标来源：网络2009-08-0409:43:28[标签：六年级人教版统计教案]奥数精华资讯免费订阅1．会综合应用学过的统计知识，能从统计图中准确提取统计信息，能够正确解释统计结果。2．能根据统计图提供的信息，作出正确的判断或简单预测。

人教版六年级下册数学教案——统计教材说明和教学建议来源：网络2009-08-0409:43:59[标签：数学教材六年级人教版统计]奥数精华资讯免费订阅教材说明通过前面的学习，学生已经了解几种常见的统计图表的特点和作用，会从统计图表中提取有关信息进行简单的统计分析，会根据分析结果做出简单判断或预测。本单元在此基础上主要是通过简单事例，使学生认识到：统计图直观、形象的特点可以帮助我们进行正确分析、判断或预测，但如果对统计图表不进行认真分析，可能会得到不准确的信息，从而得出错误的结论或判断。因此我们应对统计数据进行认真、客观、全面的分析，以保证所得结论的真实性和判断正确性。教材主要是结合扇形统计图和折线统计图帮助学生体会的。教学建议1．注重知识的前后联系，培养学生综合分析能力。本单元所涉及的统计图（扇形图、折线图等）都是学生以前学过的，故教学时应注意不要简单地重复旧知，应引导学生在复习旧知的基础上重点进行综合分析，从而使学生学会从统计图中准确提取统计信息，能对统计结果作出正确解释，并能根据统计结果作出准确的判断、预测等。2．把握好教学要求。本单元教学时应注意向学生阐明以下两点：第一，统计图在表述统计结果时具有直观、形象的特点，故统计活动中常用统计图来描述统计信息，展示统计结果。第二，对统计图提供的信息要进行认真仔细的分析，不要被一些表面信息迷惑、误导，要保证所得结论的真实性和客观性。实际教学时则可分两步进行：先让学生观察统计图，谈谈直观感受和看法，再引导学生认真分析统计图表达和包含的数据信息，得出正确结论。3．本单元内容可用2课时进行教学。

人教版六年级下册数学教案——课题：统计来源：网络2009-08-0409:44:51[标签：六年级人教版统计教案]奥数精华资讯免费订阅教学内容：教科书第68页例1及练习十一第1题。

教学目标：

1．综合运用统计知识，学会从统计图中准确提取统计信息，并作出正确的判断和简单的预测。

2．理解统计图中各个数据的具体含义，培养学生仔细观察的习惯。

教具准备：多媒体电脑，投影仪。

教学过程：

一、情景引入

同学们，你们喜欢看电视吗？你们知道家里的电视是什么品牌吗？

今天我们就去彩电市场看看各种彩电的市场占有率吧！（出示教科书第68页例1的扇形统计图）

二、探究交流，总结规律

1．小组探讨、交流。

根据这幅统计图，你们了解到哪些信息呢？A牌彩电是市场上最畅销的彩电吗？

根据提出的问题，让学生在小组内交流、讨论。学生可能会产生两种不同的看法：一部分会认为A品牌最畅销，而另一部分则认为A品牌不是最畅销的，从而引起认知冲突。

2．引导释疑。

在学生讨论交流的基础上，教师提问：请大家仔细观察，说说统计图里“其他”部分可能包含了哪些信息呢？

可让学生分别说说“其他”的具体含义，从而明确“其他”里面可能含有比A牌更畅销的彩电品牌。

3．小结。

这幅统计图提供的数据比较模糊，不够完整，我们无法得到有关彩电市场占有率的完整信息，所以从本统计图中不能得出A牌彩电最畅销这样的结论。

引导学生认识到：在利用统计图作判断和决策时，一定要仔细观察，注意从统计图提供的数据信息出发，不要单凭直观感受轻易下结论。

三、巩固练习

1．完成教科书第69页练习十一第1题。

2．补充习题。

出示右图，提问：p64q[转换].jpg

（1）六(1)班同学喜欢哪项体育活动的人数最多？

（2）你能判断六(1)班同学喜欢哪项体育活动的人数最少吗？

在学生讨论的基础上，着重分析图中“其他”部分可能包含的体育项目，阐明其中可能含有人数比排球项目更少的项目，从而根据该图不能判断出六(1)班同学喜欢哪项体育活动的人数最少。

四、总结概括

1．学了这节课，你知道在利用统计图作分析判断时应注意哪些问题吗？

2．能谈谈你的收获吗？人教版六年级下册数学教案——数学广角教学目标来源：网络2009-08-0409:45:38[标签：数学人教版六年级]奥数精华资讯免费订阅1．经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。2．通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的魅力。

人教版六年级下册数学教案——数学广角教材说明和教学建议来源：网络2009-08-0409:46:11[标签：数学教材数学六年级]奥数精华资讯免费订阅教材说明这部分教材通过几个直观例子，借助实际操作，向学生介绍“抽屉原理”，使学生在理解“抽屉原理”这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题加以“模型化”，会用“抽屉原理”加以解决。在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题。例如，任意13人中，至少有两人的出生月份相同。任意367名学生中，一定存在两名学生，他们在同一天过生日。在这类问题中，只需要确定某个物体（或某个人）的存在就可以了，并不需要指出是哪个物体（或哪个人），也不需要说明是通过什么方式把这个存在的物体（或人）找出来。这类问题依据的理论，我们称之为“抽屉原理”。“抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家狄里克雷（Dirichlet）运用于解决数学问题的，所以又称“狄里克雷原理”，也称为“鸽巢原理”。“抽屉原理”的理论本身并不复杂，甚至可以说是显而易见的。例如，要把三个苹果放进两个抽屉，至少有一个抽屉里有两个苹果。这样的道理对于小学生来说，也是很容易理解的。但“抽屉原理”的应用却是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能得到一些令人惊异的结果。因此，“抽屉原理”在数论、集合论、组合论中都得到了广泛的应用。本单元用直观的方式，介绍了“抽屉原理”的两种形式。例1描述的是最简单的“抽屉原理”：把m个物体任意分放进n个空抽屉里（m＞n，n是非0自然数），那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物体。例2描述了“抽屉原理”更为一般的形式：把多于kn个物体任意分放进n个空抽屉里（k是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少（k+1）个物体。如果问题所讨论的对象有无限多个，“抽屉原理”还有另一种表述：把无限多个物体任意分放进n个空抽屉，那么一定有一个抽屉中放进了无限多个物体。这类问题对于小学生而言较难理解，因此教材中没有涉及到。例3是“抽屉原理”的具体应用。“做一做”和练习十二中安排了许多“抽屉原理”的变式练习，帮助学生加深对“抽屉原理”的理解，并学会利用“抽屉原理”解决简单的实际问题。教学建议1．应让学生初步经历“数学证明”的过程。在数学上，一般是用反证法对“抽屉原理”进行严格证明。在小学阶段，虽然并不需要学生对涉及到“抽屉原理”的相关现象给出严格的、形式化的证明，但仍可引导学生用直观的方式对某一具体现象进行“就事论事”式的解释。本单元安排了一些需要学生解释原因的题目（如第70页的“做一做”），可以鼓励学生借助学具、实物操作或画草图的方式进行“说理”。实际上，通过“说理”的方式来理解“抽屉原理”的过程就是一种数学证明的雏形。通过这样的方式，有助于逐步提高学生的逻辑思维能力，为以后学习较严密的数学证明做准备。2．应有意识地培养学生的“模型”思想。“抽屉问题”的变式很多，应用更具灵活性。当我们面对一个具体问题时，能否将这个具体问题和“抽屉问题”联系起来，能否找到该问题中的具体情境和“抽屉问题”的“一般化模型”之间的内在关系，能否找出该问题中什么是“待分的东西”，什么是“抽屉”，是影响能否解决该问题的关键。教学时，要引导学生先判断某个问题是否属于用“抽屉原理”可以解决的范畴，如果可以，再思考如何寻找隐藏在其背后的“抽屉问题”的一般模型。这个过程实际上是学生经历将具体问题“数学化”的过程，能否从纷繁芜杂的现实素材中找出最本质的数学模型，是体现学生数学思维和能力的重要方面。3．要适当把握教学要求。“抽屉原理”本身或许并不复杂，但它的应用广泛且灵活多变，因此，用“抽屉原理”来解决实际问题时，经常会遇到一些困难。例如，有时要找到实际问题与“抽屉问题”之间的联系并不容易，即使找到了，也很难确定用什么作为“抽屉”，要用几个“抽屉”。因此，教学时，不必过于追求学生“说理”的严密性，只要能结合具体问题把大致意思说出来就可以了，更要允许学生借助实物操作等直观方式进行猜测、验证。4．本单元内容可用3课时进行教学。人教版六年级下册数学教案——数学广角具体内容的说明和教学建议来源：网络2009-08-0409:46:37[标签：数学人教版六年级]奥数精华资讯免费订阅

1．例1。

编写意图教材借助把4枝铅笔放进3个文具盒中的操作情境，介绍了一类较简单的“抽屉问题”。学生在操作实物的过程中可以发现一个现象：不管怎么放，总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔，从而产生疑问，激起寻求答案的欲望。在这里，“4枝铅笔”就是“4个要分放的物体”，“3个文具盒”就是“3个抽屉”，这个问题用“抽屉问题”的语言来描述就是：把4个物体放进3个抽屉，总有一个抽屉至少有2个物体。

为了解释这一现象，教材呈现了两种思考方法。第一种方法是用操作的方法进行枚举。通过直观地摆铅笔，发现把4枝铅笔分配到3个文具盒中一共只有四种情况（在这里，只考虑存在性问题，即把4枝铅笔不管放进哪个文具盒，都视为同一种情况）。在每一种情况中，都一定有一个文具盒中至少有2枝铅笔。通过罗列实验的所有结果，就可以解释前面提出的疑问。实际上，从数的分解的角度来说，这种方法相当于把4分解成三个数，共有四种情况，即（4，0，0），（3，1，0），（2，2，0），（2，1，1），每一种结果的三个数中，至少有一个数是不小于2的。第二种方法采用的是“反证法”或“假设法”的思路，即假设先在每个文具盒中放1枝铅笔，3个文具盒里就放了3枝铅笔。还剩下1枝，放入任意一个文具盒，那么这个文具盒中就有2枝铅笔了。这种方法比第一种方法更为抽象，更具一般性。例如，如果要回答“为什么把（n＋1）枝铅笔放进n个文具盒，总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔”的问题，用枚举的方法就很难解释，但用“假设法”来说明就很容易了。

为了对这类“抽屉问题”有更深的理解，教材在“做一做”中安排了一个“鸽巢问题”。学生可以利用例题中的方法迁移类推，加以解释。

教学建议

由于例题中的数据较小，为学生自主探索提供了很大的空间。因此，教学时，可以放手让学生自主思考，先采用自己的方法进行“证明”，然后再进行交流。除了教材上提供的两种方法以外，还会有其他的方法（如数的分解法），只要是合理的，都应给予鼓励。在此过程中，教师也应给予适当的指导。例如，要使学生明确，这里只需解决存在性问题就可以了。如果有的同学在枚举的时候，给三个文具盒标上序号，把（4，0，0）、（0，4，0）和（0，0，4）理解成三种不同的情况，教师应指出，在研究这一类问题时，作这样的区分是没有必要的。这样的指导有助于培养学生具体情况具体分析的数学思维。

教学时应有意识地让学生理解“抽屉问题”的“一般化模型”。教学时，在学生自主探索的基础上，可以引导他们对教材上提供的两种方法进行比较，思考一下枚举的方法有什么优越性和局限性，假设的方法有什么优点，使学生逐步学会运用一般性的数学方法来思考问题。学生在解决了“4枝铅笔放进3个文具盒”的问题以后，可以让学生继续思考：把5枝铅笔放进4个文具盒，总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔，为什么？如果把6枝铅笔放进5个文具盒，结果是否一样呢？把7枝铅笔放进6个文具盒呢？把10枝铅笔放进9个文具盒呢？把100枝铅笔放进99个文具盒呢？引导学生得出一般性的结论：只要放的铅笔数比文具盒的数量多1，总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔。接着，可以继续提问：如果要放的铅笔数比文具盒的数量多2，多3，多4呢？引导学生发现：只要铅笔数比文具盒的数量多，这个结论都是成立的。通过这样的教学过程，有助于发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。

2．例2。

编写意图

本例介绍了另一种类型的“抽屉问题”，即“把多于kn个的物体任意分放进n个空抽屉（k是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少（k+1）个物体。”实际上，如果设定k=1，这类“抽屉问题”就变成了例1的形式。因此，这两类“抽屉问题”在本质上是一致的，例1只是例2的一个特例。教材提供了让学生把5本书放进2个抽屉的情境，在操作的过程中，学生发现不管怎么放，总有一个抽屉至少放进3本书，从而产生探究原因的愿望。学生仍然可以采用枚举的方法，把5分解成两个数，有（5，0），（4，1），（3，2）三种情况。在任何一种结果中，总有一个数不小于3。更具一般性的仍然是假设的方法，即先把5本书“平均分成2份”。利用有余数除法5÷2=2……1可以发现，如果每个抽屉放进2本，还剩1本。把剩下的这1本放进任何一个抽屉，该抽屉里就有3本书了。

研究了“把5本书放进2个抽屉”的问题后，教材又进一步提出“如果一共有7本书，9本书，情况会怎样？”的问题，让学生利用前面的方法进行类推，得出“7本书放进2个抽屉，总有一个抽屉至少放进4本书，9本书放进2个抽屉，总有一个抽屉至少放进5本书”的结论。

在此基础上，让学生观察这几个“抽屉问题”的特点，寻找规律，使学生对这一类“抽屉原理”达到一般性的理解。例如，学生可以通过观察，归纳出“要把a（a是奇数）本书放进2个抽屉，如果a÷2=b……1，那么总有一个抽屉至少有（b＋1）本书”的一般性结论。教材第71页的“做一做”延续了第70页“做一做”的情境，在例2的基础上有所扩展，把“抽屉数”变成了3，要求学生在例2思考方法的基础上进行迁移类推。

教学建议

教学例2时，仍应鼓励学生用多样化的方法解决问题，自行总结“抽屉原理”。例如，在解决“5本书放2个抽屉”的问题时，由于数据较小，学生用动手操作或分解数的方法仍有其直观、简单的特点，这也是学生最容易想到的方法。但由于枚举的方法毕竟受到数据大小的限制，随着书的本数的增多，教师应该进行适当的引导。例如，可以提问学生“125本书放进2个抽屉呢？”由于数据很大，用枚举法解决就相当繁琐了，就可以促使学生自觉采用更一般的方法，即假设法。假设法最核心的思路就是把书尽量多地“平均分”给各个抽屉，看每个抽屉能分到多少本书，剩下的书不管放到哪个抽屉，总有一个抽屉比平均分得的本数多1本。这个核心思路是用“有余数除法”这一数学形式表示出来的，需要学生借助直观，逐步理解并掌握。

当学生利用有余数除法解决了本例中的三个具体问题后，教师应引导学生总结归纳这一类“抽屉问题”的一般规律，要把某一数量（奇数）的书放进2个抽屉，只要用这个数除以2，总有一个抽屉至少放进数量比商多1的书。例如，要把125本书放进2个抽屉，125÷2=62……1，因此，总有一个抽屉至少放进63本书。如果进一步一般化的话，就是：要把a个物体放进n个抽屉，如果a÷n=b……c（c≠0），那么一定有一个抽屉至少可以放（b＋1）个物体。这一结论与前文提到的“把多于kn个物体任意分放进n个空抽屉（k是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少（k＋1）个物体”意思是完全一致的。

学生完成“做一做”时，可以仿照例2，利用8÷3=2……2，可知总有一个鸽舍里至少有3只鸽子。

需要注意的是，例2中“某个抽屉至少有的书的本数”是除法算式中的商加“1”，而例2中除法算式的余数也正好是1，很容易让学生错误地理解成是商加“余数”，并迁移到“做一做”，想成至少有“2（商）＋2（余数）”，把结论变成“至少有4只鸽子要飞进同一个鸽舍里”。事实上，只要学生从本质上理解“抽屉原理”的推理过程，就能克服这种错误理解。

3．例3。编写意图

本例是“抽屉原理”的具体应用，也是运用“抽屉原理”进行逆向思维的一个典型例子。要从4个红球和4个蓝球中摸出2个同色的球，问最少需要摸出几个球。要解决这个问题，可以联想到前两个例题中的“抽屉问题”。因为一共有红、蓝两种颜色的球，可以把两种“颜色”看成两个“抽屉”，“同色”就意味着“同一抽屉”。这样，就可以把“摸球问题”转化成“抽屉问题”。假设最少要摸出a个球，a÷2=1……b，当b=1时，a就是最小的，此时a=3。即至少要摸出3个球，才能保证有两个球是同色的。

教材通过三个学生的对话，指出了学生可以通过先猜测再验证的方法来解决问题，也反映了学生在解决这个问题时有可能会遇到的一些困难。例如，本例中的“4个红球和4个蓝球”很容易给学生造成干扰。

接下来，教材引导学生把这个结论进一步推广，指出“只要摸出的球比它们的颜色种数多1，就能保证有两个球同色。”例如，球的颜色有三种，至少要摸出四个球，才能保证摸出的球里有两个同色。教材第72页的“做一做”中第2题描述的就是这种情形。“做一做”第1题也是“抽屉原理”的典型例子。其中“370名学生中一定有两人的生日是同一天”与例1中的“抽屉原理”是一类，“49名学生中一定有5人的出生月份相同”则与例2的类型相同。

教学建议

教学例3时，要先引导学生思考本例的问题与前面所讲的抽屉原理是否有联系，有什么样的联系，应该把什么看成抽屉，要分放的东西是什么。但学生在思考这些问题的时候，一开始可能会缺乏思考的方向，很难找到切入点。此时，可以让学生先自由猜测，再验证。例如，有的学生会猜测“只摸2个球能否保证这2个球同色”，只要举出一个反例就可以推翻这种猜测，如这两个球正好是一红一蓝时就不能满足条件。再如，由于受到题目中“4个红球和4个蓝球”这个条件的干扰，许多学生会猜测要摸的球数只要比其中一种颜色的个数多1就可以了，即“至少要摸出5个球才能保证一定有2个是同色的”。为了验证这个猜测，学生会自觉地把“摸球问题”与“抽屉问题”联系起来，把两种颜色看成两个抽屉。根据5÷2=2……1，可以知道，摸出5个球时至少有3个球同色。因此，摸出5个球是没有必要的。

在学生猜测、验证的基础上，逐步引导学生把具体问题转化为“抽屉问题”，找出这里的“抽屉”是什么，“抽屉”有几个，再应用前面所学的“抽屉原理”进行反向推理。例如，在本例中，根据例1中的结论“只要分的物体个数比抽屉数多，就能保证一定有一个抽屉至少有2个球”就能推断“要保证有一个抽屉至少有2个球，分的物体个数至少比抽屉数多1”。现在，“抽屉数”就是“颜色数”，结论就变成了：“要保证摸出两个同色的球，摸出的球的数量至少要比颜色种数多1。”因此，要从两种颜色的球中保证摸出两个同色的，最少要摸出3个球。应用此结论，就可以直接解决“做一做”第2题的问题。

在教学的过程中，在实际问题和“抽屉问题”之间架起一座桥梁并不是一件非常容易的事。如果学生在理解时存在比较大的困难时，也可以引导他们这样思考：球的颜色一共有两种，如果只取两个球，会出现三种情况：两个红球、一个红球一个蓝球、两个蓝球。如果再取一个球，不管是红球还是蓝球，都能保证三个球中一定有两个同色的。

完成第72页的“做一做”第1题时，要引导学生把“生日问题”转化成“抽屉问题”。因为一年中最多有366天，如果把这366天看作366个抽屉，把370个学生放进366个抽屉，人数大于抽屉数，因此总有一个抽屉里至少有两个人，即他们的生日是同一天。而一年中有12个月，如果把这12个月看作12个抽屉，把49个学生放进12个抽屉，49÷12=4……1，因此，总有一个抽屉里至少有5（即4＋1）个人，也就是他们的生日在同一个月。

4．关于练习十二中一些习题的说明和教学建议。

第1题，可以让学生先用扑克牌操作一下，看看实验结果是否和题目所描述的一致，再对其中的原因加以思考。我们可以用抽屉原理来解释这一现象：一副扑克牌共54张，去掉2张王牌，只剩下方块、红桃、梅花、黑桃四种花色。我们把4种花色当作4个抽屉，把5张扑克牌放进4个抽屉中，必有一个抽屉至少有2张扑克牌，即至少有2张是同花色的。

第2题，相当于把41环分到5个抽屉（代表5镖）中，根据41÷5＝8……1，必有一个抽屉至少有9（即8＋1）环。

第3题中的第一个问题与例3的类型相同，只要想一共有3种颜色，至少拿出4根小棒就能保证一定有2根同色的小棒。

第4题，把两种颜色当作两个抽屉，把正方体6个面当作物体，要把6个面分配给两个抽屉，6÷2=3，至少有3个面要涂上相同的颜色。人教版六年级下册数学教案——综合应用：节约用水来源：网络2009-08-0409:46:56[标签：六年级人教版教案]奥数精华资讯免费订阅教材说明

综合应用“节约用水”是结合前面学过的量的计量、统计等知识设计的。旨在通过测量等操作活动，一方面让学生经历收集、整理、分析数据的过程；另一方面促使学生综合运用所学的数学知识、技能和方法科学地认识日常生活中水资源浪费的问题。此外，还可让学生积累节约用水的方法，加强环保意识。

“节约用水”活动由四个部分组成。

1．收集信息。

通过黑板报的形式给出地球水资源的一些统计信息，通过这些信息让学生认识到我国水资源匮乏，帮助学生认识到节约用水的重要意义。在此基础上让学生收集相关的信息：（1）观察生活中浪费水的现象，实际调查一下学校或家里漏水水龙头的数量。（2）选择其中一个漏水的水龙头，测量出它一定时间漏水的量。（3）通过多种途径收集节约用水的资料。

2．分析数据。

小组同学合作对收集到的一定时间水龙头漏水的量进行测量分析，计算出水龙头每分钟漏水的速度。然后，对各组的分析结果进行比较，并针对比较的结果进行小组讨论，“收集到的水龙头漏水速度不一样，怎样表示全班同学调查到的水龙头漏水的一般水平比较恰当”。

3．解决问题。

在上述数据分析的基础上，解决教材75页中提出的问题，帮助学生对生活中浪费水的现象有一个客观而量化地认识。

4．提出方案。

对课前收集的节约用水的资料进行讨论交流，提出具体的节约用水的方案，加强学生的环保教育。

教学建议

1．这部分内容可用1课时进行教学。

2．本综合应用需要教师提前以黑板报或课前作业的形式让学生对我国水资源的情况进行了解，让学生对我国水资源的匮乏有较为深刻地认识，激发他们对生活中浪费水的数量进行考察的兴趣。

3．教师需要提前安排学生选择一个漏水水龙头，收集其一定时间内漏水的数量。提醒学生选择盛水容器时，应该尽量选用不仅能方便大家观察所盛的水量，还要便于测量容积的容器。

4．课堂上，可先让学生交流观察到的生活中浪费水资源的现象，并展示收集到的漏水水龙头一定时间的漏水量。然后小组合作，运用已经学习的测量等相关知识计算出漏水水龙头每分钟的漏水量，并以小组为单位汇报测量的方法、过程以及结果。在学生汇报后，老师可通过提问：“我们班调查到的水龙头漏水速度是多少呢？”引起学生的思考“收集到的水龙头漏水速度不一样，那么怎样表示全班的调查结果更有代表性”这一问题，引导学生运用所学的统计学知识选择恰当的指标，并在此基础上解决75页第1题。

5．统计课前收集到的学校漏水水龙头的数量，解决75页第2题。老师可将该结果与学生所接的漏水量进行比较，帮助学生深刻认识到，虽然一个漏水水龙头一分钟的漏水量不多，但如果不加以注意和控制，一年浪费水的量是很可观的。通过这样的比较可以加深学生对节约用水必要性的认识。

6．解决75页第3题时，老师可以充分调动学生学习的自主性，让他们对自己在课前发现和收集的浪费水的情况进行量化分析与计算。如果需要，老师也可为学生提供一定的素材和帮助。例如，老师可以给他们提供“全国大约有1．5亿个家庭”等信息，让学生统计出全班同学家里共有多少个水龙头漏水，然后结合前面已得到的结果算一算全国的家庭一年大约要浪费多少吨水。

7．结合75页第4题，老师可引导学生说一说收集到的节水资料，并让大家充分讨论有效的节水方案，加强对学生的环保教育。人教版六年级下册数学教案——数与代数来源：网络2009-08-0409:48:10[标签：六年级人教版代数教案]奥数精华资讯免费订阅教材说明

本节内容比较丰富，头绪较多，既有数与运算、代数初步、量与计量等方面的基础知识和基本技能，又有数学问题解决的常用思考方法与策略。教材分成六段。

第一段数的认识，着重复习小学阶段所学数的概念。这部分内容从纵向看，包括整数、小数、分数、百分数的有关概念，也包括负数的初步认识。从横向看，可以归结为五个方面的内容，即数的意义、数的读法和写法、数的大小比较、数的性质、数的改写。教材设计的一系列作为整理和复习提示的问题，涵盖了前四方面的内容。至于数的改写，包括多位数改写成用万或亿作单位的数，以及小数、分数、百分数的互化，则安排在练习中予以巩固。

第二段数的运算，着重复习整数、小数、分数的四则运算。包括四则运算的意义、计算方法、运算定律及其应用。

第三段式与方程，着重复习用字母表示数、简单的方程及其应用。

第四段常见的量，着重复习小学阶段所学的量。包括长度、面积、体积、容积、质量、时间等计量单位的进率，以及同一种量不同单位的改写。

第五段比和比例，着重复习比和比例的基本知识及其应用，以及正反比例的概念。

第六段数学思考，教材通过三个实际问题，着重引导学生复习怎样寻找规律，怎样画图或列表帮助思考，解决问题。

这些内容的内在联系在于数与运算是最基础的数学知识，量与计量是数与运算的应用。式与方程、比和比例是数与运算进一步的抽象与发展。数学思考则是更为一般的数学推理的训练。

教学建议

1．注意概念的理解。

这部分复习内容概念比较集中，复习时可以通过让学生自己举出例证加以说明的方式帮助学生重温概念的含义，并促进理解。这样也能避免机械背诵概念条文的做法。有些容易混淆的概念可以通过对比、辨析，帮助学生搞清它们的异同点。那些有待进一步学习的概念，如负数、正比例与反比例等，就更不能追求讲深讲透，只要让学生在教材给定的水平上，获得初步认识、初步了解就可以了。

2．重视计算能力的培养与提高。

小学阶段所学的数值计算都集中在本节中，复习时要注意在理解算理，搞清算法之间内在联系与区别的基础上，合理安排练习。比如每天有计划、有侧重地练习一些口算和少量的混合运算，这样的分布练习比集中练习效果更好。

3．本节内容可以安排10课时教学。

具体内容的说明和教学建议

1．数的认识。

编写意图

这段教材包括两个层次的复习，并配备了两个“做一做”和一个练习。

教材的第一层次首先提出问题：“你学过哪些数？说一说它们在生活中的应用”。设置这个问题的目的在于让学生再现学过的数，并举例说明。由此，不仅可以复习各类数的含义及其实际应用，还能练习它们的读法和写法。

为了给学生以启发，教材通过插图，给出了五个实例，分别涉及整数、小数、分数、百分数和负数，旨在举一反三，使学生联想到这些数在日常生活中更多的应用实例。

接着，教材对整数概念做了概括性的描述，并指出了自然数与整数的关系，以及自然数的单位。然后，通过第77页上面的“做一做”帮助学生搞清整数与自然数、正数、负数之间的关系。

在此基础上，教材的第二层次进一步启发学生的回想，还学了哪些关于数的知识，然后提出5个更深入的问题，分别涉及十进制计数法，数的大小比较，分数与小数的基本性质，小数点移动引起小数大小变化的规律，数的整除的主要概念。通过这些问题的回答，帮助学生比较系统地回顾、再现已学的有关数的主要知识。第77页下面的“做一做”是针对多位数的计数单位概念设计的填空题。

配合这段教材的练习十三共有9道大题，基本覆盖了小学阶段数的认识的主要知识点。

教学建议

（1）教学时可以按照教材提示，先让学生说说六年来学过了哪些数，分别举出生活中应用这些数的例子，并说明每个数的具体含义。为此，可以课前布置学生收集生活中应用各种数的例子。学生发言时可能提到无限循环小数、无限不循环小数（如π），教师应加以肯定。教材给出的五个例子可以作为补充材料使用。学生读数时，应注意读得是否正确，也可以让其他同学边听边记下这些数，以了解数的写法掌握情况，发现问题及时纠正。

当然也可先让学生读出课本上五个例子中的数，说出每个数的名称与具体含义，然后再让学生自己举例。教师还可以补充一些具有地方特色的数据或当前热点新闻中的某些数据，使数学更贴近学生的实际生活。

（2）教学概念时，可以让学生阅读课本第77页最上面的那段话，然后让他们说说两个省略号的用意，并思考回答：有没有最大的整数，最小的整数？从而比较全面地理解整数的个数是无限的。也可以让学生在下面带有箭头的直线上标出1，2，3，4…和-1，-2，-3，-4，…然后看书并回答上述问题。

关于“自然数是整数的一部分”，也可以说成自然数是等于、大于0的整数或不小于0的整数。如果有学生说到“自然数是非负整数”，应予以肯定，但教师不必主动提出“非负整数”这一新的术语。

（3）第77页上面的“做一做”，可以让学生独立完成，把答案填在课本上。交流答案时，教师可以加以板书：

还可以让学生在数轴上标出表示、2．5的点。

（4）教学第二层次的内容时，可以根据第77页上小精灵的提示，先组织小组交流，组内同学互相说一说，关于数的认识你还知道哪些其他知识，然后组织全班交流，并着重讨论课本上的五个问题。

学生回答第一个问题时，教师可以出示整数、小数的数位顺序表，根据学生的回答，逐步把表填完整。

对于第二个问题，可以引导学生分别说出整数和小数的大小比较方法，分数的大小比较方法。

回答第三个问题时，可以要求学生先说出分数、小数基本性质各自的内容并举例，再说明它们有什么关系。教师可以作出板书，如：

0．1＝0．10＝0．100＝……

＝＝＝……

使学生清晰地感悟，因为小数是分母为10，100，1000，…的分数，所以小数的基本性质是分数基本性质的特殊情况。

学生回答第五个问题后，还可以让他们说说大于0的自然数有哪几种常用的分类方法，即根据是否是2的倍数，分成偶数与奇数两类；根据所含因数的个数，分成1、质数与合数三类。

（5）第77页下面的“做一做”，可以让学生自己把答案填在课本上。交流时，应让学生说出算式所表示的27046的组成情况。

（6）关于练习十三中一些习题的说明和教学建议。

练习十三各题的答案，都可以让学生独立填写在课本上。

第1题，要求学生根据问题情境的具体内容选择适当的数，旨在通过联系实际巩固对数的意义的认识。

第2题，以世界上陆地面积最大的四个国家的面积数为题材，让学生复习多位数的改写，包括以万为单位的近似数和以亿为单位的近似数，练习后可以让学生说说改写时要注意什么。

第3题，以商品打折为题材，复习百分数与折扣的概念及其应用。

第4题，四个数中都有数字“2”，分别表示2个十，2个百分之一，或2个0．01，2个，2个百。通过练习，让学生进一步分清整数、小数各数位上的计数单位和分数单位。

第5题，是小数、分数与百分数的互化练习，可在练习后让学生说一说互化的方法。

第6题，是比较数的大小的混合练习。其中有整数、小数、分数和负数的大小比较。还有两小题是量的大小比较。1．3元与1．30元的单位相同，只要比较1．3与1．30的大小就行了。1．39吨与913千克的单位不同，可以统一单位再比较，也可以直接根据吨与千克的进率，由1．39吨大于1000千克或913千克不到1吨作出判断。

第7题，可以先让学生直接写出得数，再说说怎样算的，使学生明白，把一个数的小数点向右边移动一位、二位、三位，相当于这个数乘上10、100、1000。

第8题，可以让学生完成填空后说说因数、公因数、最大公因数和倍数、公倍数、最小公倍数的含义。

第9题，是有关数概念的判断题，其中只有第（1）、（3）题是对的。判断后应当让学生说说理由。其中第（4）题可以用举出反例的方法说明，第（5）题中尽管=50％，但由于百分数只用来表示一个数的百分之几，所以一般不带上单位用来表示量。

2．数的运算。

编写意图

教材安排了三个层次的整理和复习。第一层次给出了两个供小组讨论交流的问题，要求学生举例说明运算意义，并对整数、小数、分数的计算方法进行比较，找出它们的共同点和不同点。这里，教材通过两个同学讨论过程中的对话片段，对比较四则计算方法的异同点作了一些提示，以促进学生举一反三，继续展开讨论。

人教版六年级下册数学教案——综合应用来源：网络2009-08-0409:49:18[标签：六年级人教版教案]奥数精华资讯免费订阅本单元设计了三个主题鲜明的综合应用活动，让学生通过综合应用所学的知识和方法解决实际问题，进一步加深对所学知识的理解，获得运用数学解决问题的思考方法，体会数学知识和方法在解决实际问题中的作用，培养研究和解决问题意识和能力。

具体内容的说明和教学建议

1．有趣的平衡。

教材说明

“有趣的平衡”是在学生掌握了比例知识的基础上设计的，其目的是使学生通过实验，发现左边的棋子数×刻度数＝右边的棋子数×刻度数，初步感受杠杆原理。同时发现当“左边的棋子数×刻度数”的积不变时，“右边的棋子数”与“刻度数”成反比例关系，加深对反比例关系的理解。

“有趣的平衡”活动由三部分组成。

（1）制作实验用具。

教材在第一幅图中，介绍了如何制作本活动所需的实验用具（简单杠杆）：选一根长约1m粗细均匀的竹竿，在中点位置打个小孔并拴上绳子。然后从中点开始每隔8cm刻一个小槽。并通过学生提起拴竹竿的绳子，强调制作的简易杠杆要保持平衡。

（2）探索规律，体会杠杆原理。

这部分内容体现了从特殊到一般的探究过程，体现在第二、三幅图中。具体过程是：先探索特殊条件下竹竿保持平衡的规律，再探索一般条件下竹竿保持平衡的规律。

探索特殊条件下竹竿保持平衡的规律。教材第二幅图展现了探究过程：先探究“如果塑料袋挂在竹竿左右两边刻度相同的地方，怎样放棋子才能保证平衡？”再探究“如果左右两个塑料袋放入同样多的棋子，它们移动到什么位置才能保持平衡？”使学生通过两方面的实验，发现规律“如果塑料袋挂在竹竿左右两边刻度相同的地方，放相同数量的棋子才能保持平衡”“如果左右两个塑料袋放入同样多的棋子，它们移动到距中点相同的位置才能保持平衡”。由此探索出特殊条件下竹竿保持平衡的规律。

探索一般条件下竹竿保持平衡的规律。教材第三幅图展现了探究过程：先探究“左边的刻度3上，放4个棋子，右边的刻度4上放几个棋子才能保持平衡？”再探究“左边的刻度6上放1个棋子，右边的刻度3上放几个？在刻度2上呢？”最后让学生总结发现的规律。其中第一个实验，条件比较特殊，左边的棋子数和右边的刻度数都是4，问当左边的刻度是3时，右边的棋子数是几，通过实验学生会发现右边的棋子数也是3。第二个实验，条件更为一般。学生通过这样由特殊到一般的实验，会发现一般条件下竹竿保持平衡的规律：要使竹竿保持平衡，必须使“左边的刻度数×棋子数＝右边刻度数×棋子数”，由此体会杠杆原理。

（3）应用规律，体会反比例关系。

发现竹竿平衡的规律后，教材第四幅图呈现了应用规律探究“在‘左边的刻度数×棋子数的积一定’的条件下，右边的刻度数和棋子数的关系”的活动情境。教材先让学生思考“左边在刻度4上放3个棋子并保持不变，右边分别在各个刻度上放几个棋子才能保持平衡”，由于学生已经了解竹竿平衡的规律，他们会想到：只要右边的刻度数×棋子数＝12，竹竿就会保持平衡。为增加可信度，教材还让学生通过实验进行验证，然后把结果记录在表格中。最后让学生根据表格中的数据发现刻度数和所放棋子数的关系，即在“左边的刻度数×棋子数的积保持不变”的条件下，右边刻度数增大，棋子数反而减少；刻度数减小，棋子数反而增大。从而发现右边刻度数和所放棋子数成反比例关系。

教学建议

（1）本活动是一个操作性很强的活动，教学时可采用小组合作的形式让学生尝试，教师只在关键处给予指导和点拨。

（2）在制作实验用具部分，教师可提前布置学生准备，强调几点。

①准备的竹竿长度是1m，尽量做到粗细均匀。

②在竹竿中点处打孔拴绳子时注意绳子的长度，同时注意检查拎起绳子后竹竿是否平衡。

③从中点处每隔8cm做一个刻度记号（或刻一小槽），尽量等距。

④选用的棋子、装棋子的塑料袋要完全一样。

当然，也可灵活选择，如可用塑料竿代替竹竿，用竹签（竹签插在竹竿上，在竹签上穿珠子）代替塑料袋等。

（3）在探索规律时，教师要注意在适当的时候引导学生从具体上升到抽象，如在探索特殊条件下竹竿保持平衡的规律时，当学生通过具体实验发现规律后，就要适时引导他们进行抽象概括“不管放的顺序怎样，只要在相同的刻度处左右两边放相同数量的棋子，竹竿就能平衡”。探索一般条件下竹竿保持平衡的规律时，也应该注意这一点。在发现竹竿平衡的规律后，教师可以向学生说明这就是物理上的“杠杆原理”，拴绳的那个中点就是支点。

（4）在应用规律部分，教师要注意让学生理解“左边在刻度4处放3个棋子并保持不变”的含义，然后让学生有序地思考：为保持竹竿的平衡应该在各个刻度处怎样放棋子?具体教学时，可以像教材上那样，边思考边实验；也可以先思考，在书中的表格中填出结果，然后再通过实验进行验证；当然也可以先实验再完成表格。

（5）教学发现反比例关系这部分内容时，教师可以先让学生观察记录表，说一说表格中什么没变，什么变了，是怎样变化的，并根据以前所学的知识来描述表格中右边刻度数和所放棋子数之间的关系，从而引导学生发现刻度数和所放棋子数之间的反比例关系。教师也可进行扩展，如给出竹竿一侧的棋子数和刻度数的乘积，让学生说一说如果给出另一侧的棋子数，那么刻度数应该是多少，或给出另一侧的刻度数，让学生说出棋子数等。

2．设计运动场。

教材说明

作为整理与复习中的综合应用，“设计运动场”需要综合应用前面所学的知识，如需要用到比例、面积、体积、周长等知识，这样一方面可以复习、巩固所学的知识，另一方面可以培养学生运用所学知识解决实际问题的能力。

本活动包括以下四部分。

（1）提出设计任务。

活动开始，教师直接提出设计任务，让学生设计一个小型运动场，并明确要求：共设4条跑道，最内侧跑道的内沿长200m，每条跑道宽1m。以此为起点，引出后面的设计活动。

（2）确定跑道的有关数据，绘制平面图。

设计运动场需要考虑的因素很多，教材让学生通过小组讨论来确定。教材通过对话的形式呈现了学生讨论合作的结果。①明确跑道的结构：由一个长方形和两个半圆组成。长方形的长是直线跑道的长，宽是两个半圆的直径。②确定数据。长方形的长即直线跑道的长定为50m，由此可以计算出最内侧跑道所在圆的半径约为16m。③绘制跑道的平面图。根据确定的数据，按一定的比例绘制平面图，一方面是设计的需要，另一方面可以复习和巩固圆、比例等有关知识。

（3）确定建造运动场的有关问题。

运动场设计好后，接下来需要考虑建造运动场的一些问题。如，运动场要铺多厚的煤渣；跑道上如果铺塑胶的话，需要多少钱；确定100m和200m赛跑的起跑线等。解决这些问题，需要用到前面所学的有关知识。这部分内容教材以对话和文字的呈现形式，提出了要考虑的细节和相关问题。

（4）完善运动场。

运动场的主体部分设计好后，还可以考虑在其中加设一些其他体育设施。教材以小精灵提问的方式，启发学生考虑这方面的问题。以小组讨论的情境图呈现了学生可能的一些想法。如，跑道里面的长方形可作为小足球场、在半圆里可设计跳远沙坑等。

教学建议

（1）教学时，教师可以直接提出设计任务；也可以创设一个情境，如，某某小学要新建一个小型运动场，正在征集设计方案，请同学们踊跃参加。以此调动学生设计的积极性。

（2）在完成第二部分活动时，教师可以出示以下几个问题，提示设计思路。

①这个运动场设计成什么形状，由哪些图形组成？（可画出简易结构图）

②需要确定哪些数据？把确定或计算出的数据标在简易结构图上。

③按合适的比例绘制出平面图。

交流时，可让学生说一说对每个问题具体想法。如，运动场为什么设计成书上这种形状？因为见过的运动场大多数是这样的，这样的形状占地面积比较少，跑道的长度比较长。在确定直线跑道的长为50m后，为什么可以算出最内侧半圆的半径。因为两个半圆的周长加起来是100m，根据圆的周长计算公式，可以计算出圆的半径大约是16m。如何确定平面图的比例尺等。

（3）在第三部分活动时，可以先让学生考虑建造运动场的一些问题，再交流。教师可以将有实用性的、学生可以解答的和书上的问题板书出来，让学生分析解答。订正时，要注意引导学生说清分析思路，以帮助学生明确、理解数量关系，掌握解决问题的方法和策略。

（4）在讨论给运动场加设运动设施时，教师可以先让学生根据自己的需要来设计，也可以让学生通过调查其他学校运动场的设施来添加。

3．邮票中的数学问题。

教材说明

本综合应用选取与学生生活联系密切的寄信活动为素材，通过探究如何确定邮资、如何根据信函质量支付邮资等活动，一方面巩固所学的组合知识，另一方面培养归纳、推理能力。

本综合应用主要包含两个内容。

（1）按照国家规定，根据信函质量确定邮资。

教材首先呈现了不同面值的一些邮票，让学生了解邮票的有关知识，认识邮票的作用，同时为后面探索邮票中的数学问题做铺垫。接下来出示了国家邮政局关于信函邮资的规定，使学生了解信函邮资的一些常识。如，不同质量的信函邮资标准不同，寄往本埠和外埠的邮资不同等等。并通过两位学生根据具体信件确定邮资的活动，说明确定信函资费的两大要素：第一，信函的目的地是本埠还是外埠。第二，信函质量。

（2）探究合理的邮资支付方式。

在学生掌握了确定信函邮资方法的基础上，教材接着安排了两个探究活动。（1）不超过100g的信函邮资，如何用不多于3张的邮票来支付。（2）不超过400g的信函邮资，如何用不多于4张邮票来支付。两个活动的分析思路和方法是一致的：首先确定信函处于不同质量范围内应付的邮资，再根据这些邮资数值寻找满足条件的邮票组合。

教学建议

（1）正式教学前，可安排学生调查一些关于邮票和邮政资费的信息，并收集一些常用的邮票，以便开展课堂活动。

（2）课堂教学时，可依次分3个专题进行探讨。

①确定每封信函应付的邮资。

教材利用表格的形式给出了国家邮政局关于信函邮资的收取标准，教学时应先引导学生仔细观察表格，理解其中“资费标准”和“计费单位”的具体含义。在此基础上，再根据信函的质量和目的地来确定应付的邮资。教学时可安排学生进行小组交流，明确确定信函邮资的方法，然后结合教材给出的问题进行练习。

②最多只用3张邮票，来支付不超过100g的信函邮资。

教学时，可先让学生填好教材第119页的表格，从而确定100g以内的信函所需支付的各种邮资情况（如下）。再确定哪些资费可仅用80分和1．2元的邮票支付，哪些不能。

1～2021～4041～6061～8081～100本埠0.801.602.403.204.00外埠1.202.403.604.806.00

其中只有：4．0元、4．8元、6．0元不能仅用80分和1．2元的邮票支付。这样就需要设计一张其他面值的邮票。设计时应引导学生想：因最高的资费是6元，故用3张邮票来支付时面值最大的邮票其面值应不小于6÷3=2元。在此基础上，再综合其他条件考虑，最后可确定增加的邮票面值可为2．0元、2．4元或4．0元。

③最多只用4张邮票，来支付不超过400g的信函邮资。

本活动可参照上一活动进行，首先让学生扩充完成教材第119页的表格，从而确定400g以内的信函所需支付的各种邮资情况（如下）。

1～2021～4041～6061～80本埠0.801.602.403.20外埠1.202.403.604.80

81~100101~200201~300301~400本埠4.005.206.407.60外埠6.008.0010.0012.00

其中，不能仅用80分和1．2元的邮票支付的邮资是：5．2元、6．4元、7．6元、6．0元、8．0元、10．0元、12．0元。

接下来再确定需要增加的邮票面值。思路同上一活动，首先确定最大面值的邮票面值应不小于12÷4＝3元，再综合考虑其他条件，即可确定需要增加的邮票种类。该问题的答案也相当开放，可设计选用的邮票组合有：（0．8，1．2，4）、（0．8，1．2，2，3）等。

课后，可让学生找一找生活中有没有自己设计的邮票面值，使学生体会：虽然满足条件的邮票组合很多，但邮政部门在发行邮票时，还要从经济、合理、方便、实用等角度进行考虑，从而确定合理的邮票面值组合，这与人民币的面值组合的道理类似。

本小节3个综合应用可用4课时进行教学。然后，教材让小精灵提醒学生注意四则运算中的一些特殊情况，并通过三组填空题，帮助学生系统整理0与1在四则运算中的特性。

其后的“做一做”设计了六道各种类型的计算题，要求学生计算时先想一想需要注意什么。这六道计算题，看似简单，却涵盖了整数、小数、分数四则计算的主要情况。学生通过思考与计算，可以对四则计算的方法与要点作出比较系统的回顾。

第二层次主要复习混合运算顺序、运算定律和简便运算。教材先让学生通过填表，对所学的五条运算定律进行整理。然后给出例1，复习运用乘法分配律使运算简便，并兼带复习四则混合运算的顺序。例1下面的“做一做”，则继续引导学生复习巩固运算顺序和乘法的简便运算。

第三个层次主要复习用算术方法解决问题的一般思路和步骤。学生在小学阶段已经学会解答很多实际问题，教材在这里帮助学生总结一下，在解决问题时，有哪些共性的东西。解决问题时，重点是要分析已知信息和问题之间的数量关系，然后根据四则运算的意义选择适当的运算方法进行列式计算，求得答案。

在小学学习的解决问题，主要是用一步计算和两步计算来解答，一般不超过三步。一步计算的是简单的解决问题，两步或两步以上的是复杂的解决问题。简单的问题是一切复杂问题的基础，无论多么复杂的问题都必须通过一步一步的计算来解决，也就是说复杂的问题都可以看作是由若干个简单的问题组合而成的。复习了整数、小数和分数的四则运算的意义之后，通过解决简单的问题，使学生认识到无论是整数、小数问题，还是分数问题，解答时均是利用已知信息进行加、减、乘、除运算去求它们的和、差、积、商。也就是说解答简单问题的关键是结合具体情境进行分析数量关系，根据四则运算的意义列式解答。

教材首先明确通过运算可以解决很多实际问题，说明在小学阶段运算是解决问题的主要手段。接下来由小精灵提出了一个重要的问题：解决问题时有哪些主要步骤？然后通过例2，帮助学生归纳和整理解决问题的一般步骤。

例2，是“求比一个数多几分之几的数是多少”的两步分数问题。教材中没有给出具体的解答步骤和方法，只是给出线段图帮助学生分析数量关系。例2下面的“做一做”，是复杂的“求一个数是另一个数的百分之几”的百分数问题。

配合数的运算这部分内容的复习与巩固的需要，教材安排了练习十四，共7道题。包括有关概念、算理的运用，以及笔算、估算、混合运算和四则运算的实际应用。

教学建议

（1）教学问题1时，着重让学生自己举例说明四则运算的含义，并相互交流。减法、除法运算的各种具体情况，不必求全。

对于问题2，同样可以引导学生举例说明。必要时教师可以补充典型例子。如：

50±30＝（5个10加、减3个10）

0．5±0．3＝

（5个0．1加、减3个0．1）

±＝±

（5个加、减3个）

这样更容易看出整数、小数、分数加减法的共同点，都是把相同计数单位的数相加、减，区别只是整数、小数只要对齐数位就行了，而异分母分数需要通过通分转化为分数单位相同的分数，再相加、减。

乘、除法计算方法的讨论，可分别从小数与整数、分数与整数相应运算之间的关系着手，加以举例说明。如：

7×8与0．7×0．08（乘的过程相同，区别在于小数点。）

56÷4与5．6÷4

（除的过程相同，区别在于小数点。）

↑

0．56÷0．4

（转化为除数是整数的小数除法）

×÷＝××

（转化为整数乘除法4÷4，7×8，9×1）

（2）整理0和1在四则运算中的特性时，可以先让学生独立完成第81页上的填空，再交流、核对答案。对于学习基础较好的班级，可以进一步启发学生找出什么情况下运算结果是原数（a＋0，a－0，a×1，a÷1），什么情况下运算结果为0（a－a，a×0，0÷a）。还可以由同数相减、相除引出同数相加、相乘，让学生比较它们的区别。

a－a＝0，a÷a＝1，a＋a＝2a，a×a＝a2

即同数相加得原数的2倍，同数相乘记作原数的平方。

（3）第80页上的“做一做”，可以让学生独立完成，核对答案后再让学生说说计算时需要注意什么。也可以先让学生看题说一说，根据以往的计算经验，你认为应该提醒同学注意什么，然后再各自完成计算。

（4）复习运算定律时，不妨先让学生独自把教科书第81页表中的空格填完，再作交流。通常，教师会让学生用语言叙述这五条运算定律，这当然是可以的，但不要强求话语的统一，更不宜让学生去死记硬背。教师可以指出，加法交换律、结合律能综合运用于连加运算，加数经过交换、结合，运算符号不变，还是连加。乘法交换律、结合律也相类似。只有乘法分配律涉及乘加或乘减两种运算。

（5）教学例1前，可先请学生回想并说说四则混合运算顺序有哪些规定。然后针对例1说说按顺序应该先算什么、再算什么，本题能否利用运算定律使计算简便。要使学生明白，这题是求两个积的和，而且有相同因数，所以可逆向运用乘法分配律使计算简便。接着，让学生自己在课本上写出例1的计算过程。也可以由学生先算，再交流、小结。

（6）第81页上的“做一做”可以先做再说。说的意图是明确一般情况下按运算顺序计算。当运算与数据都具备简便运算条件时，可根据运算定律进行简便运算。“做一做”的左边一题既有加、减法，又有除法，按运算顺序的规定算。右面一题是连乘，可以根据乘法交换律、结合律让学生直接在算式上跨越约分。

作为五条运算定律在运算过程中的运用，教材的例1是逆向运用乘法分配律（a＋b）c＝ac＋bc的一个例子（乘法分配律的顺向运用安排在练习中）。同页上“做一做”的右边一题是运用乘法交换律、结合律的一个例子。加法交换律、结合律的运用就不再举例了。

（7）在教学解决问题的步骤时，可以先引导学生复习前面学习的四则运算的意义及利用四则运算解决简单的问题，使学生明确计算是解决问题的主要手段，并引导学生整理解答过程。然后结合例2的教学总结解决问题的一般步骤。

在教学例2时，要引导学生明确在解决问题时，可以分成几个步骤：第一步做什么，第二步做什么……然后重点引导启发学生分析题目的数量关系，搞清楚复杂的问题要分成几步解答，每一步要解答什么问题。解决问题时，一般主要利用两种分析方法──分析法和综合法。分析法就是从问题出发，逐步找出解答问题所需要的信息，求得问题的解决；综合法就是从已知信息出发，利用已知信息看能解决什么问题，从而求得问题的解决。通过这样的分析，理出复杂问题分几步计算解决，理解复杂的问题是怎样在简单问题的基础上一步步发展起来的，从而掌握分析数量关系的方法，提高解决问题的能力。就例2而言，可以引导学生用分析法这样思考：要求六（2）班交了多少件作品，就要找到六（2）班的作品与什么有关系，有什么样的关系。通过分析发现，六（2）班的作品与六（1）班的有关系，六（2）班的作品比六（1）班的多四分之一，从而找到了解决问题的方法。

教师在引导学生解决问题时，可先启发学生独立思考，再在小组内讨论交流，重点围绕以下几个问题进行讨论交流。第一，解决问题时一般可以分成几个主要步骤？每一步做什么？第二，分析数量关系时，你运用了什么方法？第三，需要借助线段图等直观手段吗？第四，解决问题时需要注意什么？

然后，让学生分小组汇报讨论交流的成果，教师在归纳的基础上总结解决问题的一般步骤。首先，理解题意，找出已知信息和所求问题；其次，分析数量关系，确定先算什么，再算什么，最后算什么；再次，确定每一步该怎样算，列出算式，算出得数；最后，进行检验，写出答案。检验是解决问题的一个步骤，要养成检验的好习惯。

为了使学生能顺利在解决问题的过程中分析数量关系，教师有必要把经常用到的数量关系，让学生在理解的基础上记住。如时间、速度和路程，单价、数量和总价，工效、时间和工作总量，单产量、数量和总产量，收入、支出和结余，本金、利率、时间和利息等等。

（8）第82页上的“做一做”，可以让学生独立完成，再让学生说说是怎样分析数量关系的，计算时需要注意什么。

（9）关于练习十四中一些习题的说明和