数学学案：角的概念的推广

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1。1任意角的概念与弧度制1。1。1角的概念的推广基础知识基本能力1．结合实例，运用变化的观点了解角的概念的推广．（重点）2．认识象限角与终边在坐标轴上的角．(易错点)3．掌握终边相同的角的表示方法．(重点、难点)1．能正确地区分正角、负角和零角．(重点)2．对于象限角与终边在坐标轴上的角,应知道角的顶点及角的始边的位置的规定．(难点）3．根据角的代数形式，能判断角所在的位置．(难点）1．任意角（1)角的定义．①静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边．②动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角，所旋转射线的端点叫做角的顶点,开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边．（2）角的记法:用一个希腊字母表示或用三个大写的英文字母表示（字母前面要写“∠"）．(3)在平面内，一条射线绕它的端点旋转有顺时针和逆时针两个相反的方向．习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；当射线没有旋转时,我们也把它看成一个角，叫做零角;旋转生成的角,又常叫做转角．这样就形成了任意大小的角，即任意角．（4)引入正角、负角的概念以后，角的减法运算可以转化为角的加法运算,即α－β可以化为α＋(－β）．这就是说,各角和的旋转量等于各角旋转量的和．终边和始边重合的角是零角吗？答:不一定，零角是终边和始边重合的角，但终边和始边重合的角不一定是零角．【自主测试1】钟表的分针在1。5小时内转了（）A．180°B．－180°C．540°D．－540°解析：分针旋转的角为负角，其值为－(360°＋180°)＝－540°。答案：D2．终边相同的角设α表示任意角，所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为S＝｛β|β＝α＋k·360°，k∈Z｝,即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和的形式．归纳总结相等的角终边一定相同,终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．【自主测试2】与610°角终边相同的角表示为(）A．k·360°＋230°，k∈ZB．k·360°＋250°,k∈ZC．k·360°＋70°，k∈ZD．k·360°＋270°，k∈Z答案：B3．第几象限的角平面内任意一个角都可以通过移动,使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴正半轴重合,这时，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角,如果终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限．【自主测试3－1】已知角α是第三象限的角,则角－α的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：因为角α是第三象限的角，所以k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°，k∈Z，则－k·360°－270°＜－α＜－k·360°－180°，k∈Z.故角－α的终边在第二象限．答案：B【自主测试3－2】角－2013°是第__________象限角．解析:∵－2013°＝－6×360°＋147°，且147°角是第二象限角，∴－2013°是第二象限角．答案:二1．象限角与轴线角的表示剖析:(1）象限角的集合．第一象限的角的集合为｛x|k·360°＜x＜k·360°＋90°,k∈Z｝；第二象限的角的集合为{x|k·360°＋90°＜x＜k·360°＋180°，k∈Z};第三象限的角的集合为{x｜k·360°＋180°＜x＜k·360°＋270°,k∈Z｝；第四象限的角的集合为{x｜k·360°＋270°＜x＜k·360°＋360°,k∈Z｝．（2）若角的顶点在坐标原点，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边落在坐标轴上，称这样的角为轴线角（或象限界角)．终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为｛x｜x＝k·360°，k∈Z｝；终边落在x轴的非正半轴上的角的集合为｛x｜x＝k·360°＋180°,k∈Z｝；终边落在x轴上的角的集合为｛x｜x＝k·180°,k∈Z｝;终边落在y轴的非负半轴上的角的集合为{x|x＝k·360°＋90°,k∈Z}；终边落在y轴的非正半轴上的角的集合为{x|x＝k·360°－90°，k∈Z}；终边落在y轴上的角的集合为{x｜x＝k·180°＋90°,k∈Z}；终边落在坐标轴上的角的集合为｛x|x＝k·90°，k∈Z}．名师点拨象限角与轴线角的集合的表示形式并不唯一，还有其他的表示形式．如终边落在y轴的非正半轴上角的集合为{x|x＝k·360°＋270°，k∈Z｝．2．第一象限的角、小于90°的角、0°～90°的角、锐角的区别剖析：受初中所学角的影响，在解决问题时，考虑的角往往停留在锐角、直角、钝角上，即初中所学角的范围，没有按任意角来看待．其突破方法是把握住各自的取值范围．锐角的集合是{α｜0°＜α＜90°｝；0°~90°的角的集合是｛α｜0°≤α＜90°}；小于90°的角的集合是｛α｜α＜90°}，包括锐角以及所有的负角和零角；第一象限的角的集合是｛α|k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}，其中有正角和负角．3．教材中的“思考与讨论"(1)如果α是第一象限的角，那么α的取值范围可以表示为怎样的不等式?（2)如果α分别是第一、第二、第三和第四象限的角，那么eq\f（α,2）分别是第几象限的角？剖析:(1）如果α是第一象限的角,那么α的取值范围可以表示为k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z.(2）如果α是第一象限的角,则k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，故180°·k＜eq\f(α，2)＜180°·k＋45°，k∈Z.①若k＝2n，n∈Z，则360°·n＜eq\f（α,2）＜360°·n＋45°，n∈Z，此时eq\f（α，2）为第一象限的角．②若k＝2n＋1,n∈Z，则360°·n＋180°＜eq\f（α,2)＜360°·n＋180°＋45°，n∈Z,此时eq\f(α，2)为第三象限的角．所以，当α为第一象限的角时，eq\f(α,2）可以为第一或第三象限的角．同理，当α为第二象限的角时，eq\f（α,2)可以为第一或第三象限的角;当α为第三象限的角时，eq\f(α，2）可以为第二或第四象限的角；当α为第四象限的角时，eq\f(α,2）可以为第二或第四象限的角．为此，我们可以用以下方法对角eq\f(α，2)的终边所在的象限的结论进行记忆:作出各个象限的角平分线，它们与坐标轴一起把周角等分成8个区域，从x轴的非负半轴起，按逆时针方向把这8个区域依次循环标上1,2，3,4,如图所示．标的数字是几的两个区域,就是α为第几象限角时，eq\f（α，2）的终边所在的区域．题型一对角的概念的理解【例题1】下列结论：①第一象限的角都是锐角;②锐角都是第一象限的角；③第一象限的角一定不是负角；④小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中正确的序号为__________(把正确结论的序号都写上）．解析：①－320°角是第一象限的角,可它不是锐角,故①不正确．②锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，所以是第一象限的角，故②正确．③－330°角是第一象限的角，但它是负角,故③不正确．④0°的角小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角，也不是锐角，故④不正确．答案：②反思解答本题的关键在于正确理解象限角、锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧,判断结论正确需要证明，而判断结论不正确，只要举出一个反例即可．题型二终边相同的角的问题【例题2】在与10030°的角终边相同的角中，求满足下列条件的角．（1)最大的负角;（2）最小的正角;(3）360°~720°之间的角．分析：先写出与10030°的角终边相同的角的一般形式，再求满足条件的整数k即可．解：与10030°的角终边相同的角的集合为S＝｛β|β＝k·360°＋10030°,k∈Z}．（1)由－360°＜k·360°＋10030°＜0°，k∈Z,得－10390°＜k·360°＜－10030°,k∈Z，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°。（2）由0°＜k·360°＋10030°＜360°，k∈Z,得－10030°＜k·360°＜－9670°，k∈Z，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.（3）由360°＜k·360°＋10030°＜720°，k∈Z，得－9670°＜k·360°＜－9310°，k∈Z，解得k＝－26.故所求的角为β＝670°.反思对于终边相同的角的集合，最大的负角应在－360°～0°之间，最小的正角应在0°～360°之间．题型三终边相同的角的集合之间的关系【例题3】判断下列角的集合的关系:设集合A＝{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}∪｛α|α＝k·180°,k∈Z}，集合B＝｛β｜β＝k·90°,k∈Z}，则（)A．ABB．BAC．A∩B＝D．A＝B解析:∵集合A＝{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z｝∪｛α|α＝k·180°,k∈Z}＝{α｜α＝(2k＋1）·90°，k∈Z｝∪{α｜α＝2k·90°，k∈Z}＝｛α｜α＝m·90°，m∈Z｝，集合B＝｛β|β＝k·90°,k∈Z},∴A＝B．答案：D反思判断角的集合之间的关系一般有两种方法：一种方法是将各集合中表示角的式子化为同一种形式（这种方法要用到整数分类的有关知识);另一种方法是将各集合中表示角的式子中的k赋值，并将角的终边画在坐标系中，直至重复出现相同位置的终边为止，根据各类集合中角的终边的情况,判断角的集合之间的关系．题型四易错辨析【例题4】已知角α，β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为__________．错解：∵角α，β的终边关于y轴对称，∴eq\f（α＋β,2)＝90°＋k·360°（k∈Z）．错因分析:上述解法仅是关于y轴正半轴对称的情况，而忽视了关于y轴负半轴对称的情况．正解：∵角α，β的终边关于y轴对称，∴eq\f（α＋β，2)＝90°＋k·180°（k∈Z)，即α＋β＝180°＋k·360°(k∈Z）．答案:α＋β＝180°＋k·360°(k∈Z)1．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是()A．120°B．－120°C．240°D．－240°答案：D2．与120°角终边相同的角是（)A．－600°＋k·360°（k∈Z）B．－120°＋k·360°（k∈Z）C．120°＋(2k＋1)·180°（k∈Z）D．660°＋k·360°（k∈Z）答案:A3．在－398°，38°,142°，1042°四个角中，终边相同的角是（)A．－398°，38°B．－398°，142°C．－398°,1042°D．142°，1042°答案：C4．角α终边上的一点的坐标是P(0，－3）,则角α的集合是__________．解析:角α的终边与y轴的非正半轴重合．答案：｛α｜α＝n·360°＋270°，n∈Z}5．终边在直线y＝－eq\r(3)x上的所有角的集合是______,上述集合中，在－180°到180°之间的角是__________．解析:终边在y＝－eq\r（3)x上的所有角的集合是｛α｜α＝k·360°＋120°，k∈Z}∪{α｜α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝｛α｜α＝n·180°＋120°，n∈Z}．当n＝－1,0时，取得在－180°到180