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学必求其心得,业必贵于专精学必求其心得,业必贵于专精学必求其心得,业必贵于专精互动课堂重难突破一、极坐标的概念1。在生活中,如台风预报、地震预报、测量、航空、航海中等,我们经常用距离和方向来表示一点的位置。用距离和方向表示平面上一点的位置,就是极坐标.2.如图,极坐标系内一点的极坐标的规定:对于平面上任意一点M,用ρ表示线段OM的长度,用θ表示从Ox到OM的角度,ρ叫做M的极径,θ叫做点M的极角,有序数对(ρ,θ)就叫做M的极坐标。把定义弄清楚,我们就会用极坐标确定点的位置。特别注意:(1)①极点,②极轴,③长度单位,④角度单位和它的正方向构成了极坐标系的四要素,缺一不可。(2)特别地,当M在极点时,它的极坐标ρ=0,θ可以取任意值.极点O的坐标为(0,θ)(θ∈R).(3)一般地,不作特殊说明时,ρ≥0,θ可取任意实数。3。建立极坐标系后,给定ρ(ρ≥0)和θ,就可以在平面内唯一确定点M。确定的方法是:(1)由θ定射线.根据θ角确定点M所在的射线OM;(2)由ρ取点.在射线OM上取|OM|=ρ,点M的位置即可确定.4。给定平面内任意一点M,也可以找到它的极坐标(ρ,θ)(ρ≥0).特别注意:(1)一般地,极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)表示同一个点.和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.(2)如果规定ρ≥0,0≤θ<2π,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(ρ,θ)表示;同时,极坐标(ρ,θ)表示的点也是唯一确定的.5。为完整起见,现作一补充:若ρ〈0,则—ρ〉0,我们规定点M(ρ,θ)与点P(-ρ,θ)关于极点对称.点M(ρ,θ)(ρ<0)的位置的确定方法是:(1)由θ定射线。先找出θ角的终边所在的射线,确定其反向延长线OM。(2)由ρ取点.在射线OM上取|OM|=-ρ,点M的位置即可确定,如图.进一步可以得出,极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)(—ρ,θ+π+2kπ)(k∈Z)表示同一点。应当指出,若ρ<0,应有说明;否则,可认为ρ≥0。二、极坐标和直角坐标的互化平面内的一个点既可以用直角坐标表示,也可以用极坐标表示.我们要理解极坐标的概念,会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化,利用两种坐标的互化,可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题.1.互化的前提条件:①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合;②极轴与x轴的正半轴重合;③两种坐标系中取相同的长度单位。2。极坐标与直角坐标的互化公式:x=ρcosθ,y=ρsinθ.ρ2=x2+y2,tanθ=(x≠0).3.极坐标与直角坐标的互化,常用方法有代入法、平方法等,还经常用到同乘以(或除以)ρ等技巧.4.由直角坐标化成极坐标时,要注意点所在象限,从而确定极角θ.试一试:(1)已知点A的极坐标(-4,),求它的直角坐标;(2)已知点B、C、D的直角坐标为(2,—2),(0,-15),(—12,5),求它的极坐标(ρ〉0,0≤θ〈2π).解:(1)点A的直角坐标为(-2,2)。(2)∵ρ=tanθ==-1,且点位于第四象限,(注意!)∴θ=,点B的极坐标为(2,).又∵x=0,y〈0,ρ=15,∴点C的极坐标为(15,).对于D(—12,5),ρ=13,tanθ=—.∵D在第二象限内,∴θ=π—arctan.∴D点坐标为(13,π-arctan).活学巧用【例1】已知两点的极坐标A(3,)、B(3,),则|AB|=________,AB与极轴正方向所成的角为________.解析:如图,根据极坐标的定义可得|AO|=|BO|=3,∠AOB=60°,即△AOB为正三角形。答案:3点评:在极坐标系中,点P1(ρ1,θ1)、P2(ρ2,θ2)(ρ1、ρ2〉0),则P1P2两点距离|P1P2|=请同学们推导一下。【例2】在极坐标系中,若等边△ABC的两个顶点是A(2,)、B(2,),那么顶点C的坐标可能是()A。(4,)B.(2,)C.(2,π)D.(3,π)解析:如图,由题设可知A、B两点关于极点O对称,即O是AB的中点。又|AB|=4,△ABC为正三角形,|OC|=2,∠AOC=,C对应的极角θ=+=或θ=-=-,即C点极坐标为(23,)或(2,-).答案:B点评:在找点的极坐标时,把图形画出来,可以帮助我们解决问题,从图形中很容易找到极角和极径。这一点跟直角坐标系中的方法是一致的,数形结合.【例3】在极坐标系中与点A(3,—)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是()A。(3,)B。(3,)C.(3,)D。(3,)解析:极坐标中的点(ρ,θ)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标为(ρ,2kπ—θ)(k∈Z),利用这一规律即可.答案:B点评:一般地,在极坐标系中点(ρ,θ)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标为(ρ,2kπ—θ)(k∈Z);点(ρ,θ)关于极点对称的点的极坐标为(ρ,2kπ+π+θ)(k∈Z);点(ρ,θ)关于过极点且垂直于极轴的直线对称的点的极坐标为(ρ,2kπ+π—θ)(k∈Z)。【例4】(1)θ=的直角坐标方程是________;(2)极坐标方程ρ=sinθ+2cosθ所表示的曲线是________。解析:(1)根据极坐标的定义,∵tanθ=,∴tan=,即y=-x(x≤0)。(2)将极坐标方程化为直角坐标方程即可判断曲线的形状,因为给定的ρ不恒等于零,用ρ同乘方程的两边得ρ2=ρsinθ+2ρcosθ。化成直角坐标方程为x2+y2=y+2x,即(x-1)2+(y—)2=,这是以点(1,)为圆心,半径为的圆.答案:(1)y=—x(x≤0)(2)以点(1,)为圆心,半径为的圆点评:当极坐标方程中含有sinθ、cosθ时,可将方程两边同乘以ρ,凑成含有ρsinθ、ρcosθ的项,然后再代入互化公式便可化为直角坐标方程,此法是常用技巧.【例5】进行直角坐标方程与极坐标方程的互化.(1)y2=4x;(2)y2+x2—2x—1=0;(3)θ=;(4)ρcos2=1;(5)ρ2cos2θ=4;(6)ρ=。解:(1)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入y2=4x,得(ρsinθ)2=4ρcosθ,化简得ρsin2θ=4cosθ.(2)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入y2+x2—2x—1=0,得(ρsinθ)2+(ρcosθ)2-2ρcosθ-1=0,化简得ρ2—2ρcosθ-1=0.(3)tanθ=,∴tan==,化简得y=x(x≥0).(4)∵ρcos2=1,∴ρ=1,即ρ+ρcosθ=2。∴+x=2,化简得y2=—4(x-1)。(5)∵ρ2cos2θ=4,∴ρ2cos2θ-ρ2sin2θ=4,即x2—y2=4。(6)∵ρ=,∴2ρ—ρcosθ=1。∴2,化简得3x2+4y2—2x—1=0。点评:在进行两种坐标间的互化时,我们要注意:(1)互化公式是有三个前提条件的,极点与直角坐标系的原点重合;极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合;两种
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