数学学案：互动课堂第二讲二圆内接四边形的性质与判定定理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精互动课堂重难突破一、圆内接四边形的性质定理圆内接四边形的性质定理包括两个:定理1是圆的内接四边形对角互补；定理2是圆的内接四边形的外角等于它的内角的对角。这两个定理表述形式稍有差别,但反映的本质相同，都反映了圆内接四边形所具有的特征。利用这两个定理，可以借助圆变换角的位置，得到角的相等关系或互补关系,再进行其他的计算或证明.利用这两个定理可以得出一些重要结论，如内接于圆的平行四边形是矩形；内接于圆的菱形是正方形；内接于圆的梯形是等腰梯形.应用这些性质可以大大简化证明有关几何题的推理过程。二、圆内接四边形的判定定理1。定理：如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆。2。符号语言表述：在四边形ABCD中,如果∠B+∠D=180°,那么四边形ABCD内接于圆。3.证明思路：要证明四边形ABCD内接于圆，就是要证明A、B、C、D四点在同一个圆上。根据我们的经验,若能证明这四个点到一个定点距离相等即可.但是这个定点一时还找不出来。不过对于不在同一条直线上的三点来说，总可以确定一个圆.因此我们可以先经过A、B、C、D中的任意三个点，譬如过A、B、C三点作一个圆,再证明第四个点D也在这个圆上就可以了.但是直接证明点D在圆上很困难,所以我们采用反证法证明。也就是假设点D不在圆上,经过推理论证，得出错误的结论,这就说明点D不在圆上是错误的,因此点D只能在圆上。图2-2—1由于点D不在圆上时,可能出现点D在圆外和点D在圆内两种情况,所以应分别加以证明,下面先讨论点D在圆内的情况.假设点D在圆内,若作出对角线BD，延长BD和圆交于D′,连结AD′、CD′，则ABCD′为圆内接四边形（如图221），则∠ABC+∠AD′C=180°.另一方面,因为∠ADB、∠BDC分别是△AD′D和△CD′D的外角，所以有∠AD′B〈∠ADB，∠BD′C〈∠BDC，于是有∠AD′C〈∠ADC.因为已知∠ABC+∠ADC=180°，所以∠ABC＋∠AD′C〈180°，这与圆内接四边形的性质定理矛盾。因此可证点D不能在圆内。用类似的方法也可以证明点D也不能在圆外.因此点D在圆上,即四边形ABCD内接于圆.三、判定四点共圆的方法(1)如果四个点与一定点距离相等，那么这四个点共圆。(2）如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆.（3）如果一个四边形的一个外角等于它的内对角,那么这个四边形的四个顶点共圆。(4）如果两个直角三角形有公共的斜边,那么这两个三角形的四个顶点共圆(因为四个顶点与斜边中点距离相等）.四、刨根问底问题圆内接四边形判定定理的证明，推导出与圆内接四边形性质定理相矛盾的结果，体现了反证法证明几何命题的基本思路.反证法是证明问题的有效方法,那么与正面证明相比较，反证法有什么特点?它证明问题的步骤怎样?它有什么优点？探究:反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾,从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法.反设是反证法的基础，为了正确地作出反设,掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如:是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于；垂直于/不垂直于;等于/不等于；大(小）于/不大(小)于；都是/不都是;至少有一个/一个也没有;至少有n个/至多有（n—1）个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。归谬是反证法的关键,导出矛盾的过程没有固定的模式,但必须从反设出发,否则推导将成为无源之水,无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型:与已知条件矛盾，与已知的公理、定义、定理、公式矛盾，与反设矛盾,自相矛盾.反证法可以分为归谬反证法（结论的反面只有一种)与穷举反证法（结论的反面不止一种）,如在上述定理证明中,假设点D不在圆上,则有点D在圆外和点D在圆内两种情况，必须一一证出这两种情况都不成立后，才能肯定点D在圆上.用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：（1)反设;(2)归谬；（3）结论。对于一些从正面难以说明的问题，反证法往往有着出奇制胜的作用。活学巧用【例1】圆内接四边形ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4，则∠D=。思路解析:由圆内接四边形性质可知：∠A+∠C=180°，根据∠A∶∠C=2∶4，可求出∠A和∠C,从而求出∠B和∠D.方法一:∵四边形ABCD内接于圆，∴∠A+∠C=180°.又∠A∶∠C=2∶4,∴∠A=60°,∠C=120°.又∠A∶∠B=2∶3，∴∠B=90°。∴∠D=180°—∠B=90°.方法二：∵∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4,又∠A+∠C=∠B+∠D，∴∠A∶∠B∶∠C∶∠D=2∶3∶4∶3.∴∠B=∠D。又∠B+∠D=180°，∴∠D=90°。答案:90°【例2】如图2—2—2,已知ABCD为平行四边形，过点A和B的圆与AD、BC分别交于E、F.求证:C、D、E、F四点共圆.图2-2—2思路解析：连结EF.由∠B+∠AEF=180°,∠B＋∠C=180°，可得∠AEF=∠C.证明：连结EF.∵ABCD为平行四边形，∴∠B＋∠C=180°.∵A、B、F、E内接于圆,∴∠B+∠AEF=180°.∴∠AEF=∠C.∴C、D、E、F四点共圆.【例3】两圆相交于A、B,过A作两直线分别交两圆于C、D和E、F.若∠EAB=∠DAB。求证：CD=EF。图2-2—3思路解析：要证CD=EF,只需证明△CBD≌△EBF即可.从图2—2-3可以看出∠C=∠E，∠D=∠F，因此，尚需找一条对应边相等即可。比如,能否推出BC=BE呢？要证BC=BE，只需∠CEB=∠ECB.有无可能呢?可以发现∠ECB=∠1，又已知∠1=∠2，所以,只需证∠2=∠CEB即可。这时我们发现ABEC是圆内接四边形，根据性质定理,它的外角∠2与它的内对角∠CEB当然相等.至此，思路完全沟通。证明:连结EC、DF，∵ABEC为圆内接四边形,∴∠2=∠CEB。又∵∠1=∠ECB,且∠1=∠2，∴∠CEB=∠ECB。∴BC=BE。在△CBD与△EBF中，∠C=∠E,∠D=∠F,BC=BE，∴△CBD≌△EBF.∴CD=EF.【例4】在锐角△ABC中,BD、CE分别是边AC、AB上的高线，DG⊥CE于G，EF⊥BD于F.求证：FG∥BC。图2—2-4思路解析：证FG∥BC,只需证∠DFG=∠DBC即可.我们设法由共斜边的两个直角三角形的四顶点共圆来分析角的关系,探求证明的思路。证明:如图2—2—4,连结DE，由于Rt△BCE与Rt△BCD共斜边BC,所以B、C、D、E四点共圆。由同弧上的圆周角,有∠DBC=∠DEG.同理，Rt△EDF与Rt△DGE共斜边DE，所以D、E、F、G四点共圆.于是，∠DEG=∠DFG。因此，∠DBC=∠DFG.于是FG∥BC.【例5】如图2-2—5，四边形ABCD为⊙O的内接四边形,AB=AD，∠BCD=120°。图2—2—5(1）当⊙O的半径为8cm时，求△ABD的内切圆面积;(2）求证:AC=BC+CD。思路解析：(1)要求内切圆面积，则先求内切圆半径和圆心，因此先研究△ABD的性质。（2)证明线段的和的问题,先在AC上截取CE=BC,然后再证AE=CD.（1)解:过O点作OH⊥BD,垂足为H,连结BO.∵四边形ABCD为⊙O内接四边形,∴∠BAD+∠BCD=180°.∴∠BAD=60°.∵AB=AD,∴△ABD为正三角形.∴OH为△ABD的内切圆半径.在Rt△OBH中，OB