2024-2025学年安徽省合肥市六校联盟高二上学期11月期中联考数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年安徽省合肥市六校联盟高二上学期11月期中联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知直线l过A−1,1、B−1,3两点，则直线l的倾斜角的大小为(

)A.不存在 B.π3 C.π2 2.已知直线a的方向向量为a，平面α的法向量为n，下列结论成立的是(

)A.若a//n，则a//α B.若a⊥n，则a⊥α

C.若a//n，则a⊥α3.已知两平行直线x+2y−5=0，2x+4y+m=0的距离为5，则m的值为(

)A.0或−10 B.0或−20 C.15或−25 D.04.已知点A(a,−3,5)，B(0,b,2)，C(2,7,−1)，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是(

)A.−2，3 B.−1，2 C.1，3 D.−2，25.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P是棱B1CA.不确定 B.2 C.22 6.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，NA.

−14a+34b+c7.台风中心从M地以每小时302km的

速度向西北方向移动，离台风中心303km内的地区为危险地区，城市N在M地正西方向60kmA.1小时 B.2小时 C.3小时 D.8.已知圆C：x−12+y2=4的圆心为点C，直线l：x=my+2与圆C交于M，N两点，点A在圆C上，且CA//MN，若AM⋅A.23 B.3 C.2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量a=1,1,x，b=−3,x,9，若a，b的夹角是钝角，则xA.−4 B.−3 C.0 D.110.已知直线l：2a−3x+1−ay+1=0，则A.直线l的一个方向向量为1−a,2a−3

B.直线l过定点

C.若直线l不经过第二象限，则a<1

D.若a=2，则圆x2+y211.已知点M在圆Q：x2+y+22=4上，点P是直线l：4x−3y+6=0上一点，过点P作圆Q的两条切线，切点分别为A、B，又设直线l分别交x，y轴于C，A.PA的最小值为2105

B.直线AB必过定点

C.满足MC⊥MD的点有两个

D.过点D作圆Q的切线，切线方程为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知点M在平面ABC内，O为空间内任意一点，若MA=−14OA+1213.直线l过点M(−1,2)，且与以P(−4,−1)、Q(3,0)为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是

．14.如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD、ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.长度为1的金属杆端点N在对角线BF上移动，另一个端点M在正方形ABCD内(含边界)移动，且始终保持MN⊥AB，则端点M的轨迹长度为

．

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知直线l1：2x+y+4=0与直线l2：x−3y−5=0的交点为(1)求点M关于直线x−y+2=0的对称点N；(2)求点A4,0到经过点M的直线l距离的最大值，并求距离最大时的直线l的方程．16.(本小题12分)如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，M，N分别为棱SB，SC的中点．

(1)证明：MN//平面SAD；(2)若SA=AD=2，求直线SD与平面ADNM所成角的正弦值．17.(本小题12分)已知动点P与两个定点A(1,0)，B(4,0)的距离的比是2．(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)直线l过点(2,1)，且被曲线C截得的弦长为23，求直线l18.(本小题12分)如图1所示▵PAB中，AP⊥AB,AB=AP=12．D,C分别为PA,PB中点．将▵PDC沿DC向平面ABCD上方翻折至图2所示的位置，使得PA=62.连接PA,PB,PC得到四棱锥P−ABCD，记PB的中点为N，连接CN，动点Q

(1)证明：CN⊥平面PAB；(2)若QC=2QN，连接AQ,PQ，求平面PAQ与平面ABCD的夹角的余弦值；(3)求动点Q到线段AP的距离的取值范围．19.(本小题12分)在空间直角坐标系Oxyz中，已知向量n=(a,b,c)，点P0x0,y0,z0.若直线l以n为方向向量且经过点P0，则直线l的标准式方程可表示为x−x(1)证明：向量n=(a,b,c)是平面α:ax+by+cz+d=0(2)若平面α1:x+2y−1=0，平面β1:2y−z+1=0，直线l为平面α1和平面β1的交线，求直线(3)若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为α2、β2、γ，其中平面α2经过点(4,0,0)，(3,1,−1)，(−1,5,2)，平面β2:y+z=4，平面γ:mx+(m+1)y+(m+2)z+3=0参考答案1.C

2.C

3.B

4.D

5.D

6.A

7.B

8.A

9.AC

10.BD

11.BCD

12.14

或0.2513.(−∞,−114.π215.解：(1)联立方程2x+y+4=0x−3y−5=0，解得所以两直线l1，l2的交点为设Nx0,y0联立方程x0−1所以N−4,1(2)因为AM=所以点A4,0到经过点M的直线l距离的最大值为由题意，AM与l垂直，则kAM=0+24+1=所以直线l的方程为y=−52所以当距离最大时，直线l的方程为5x+2y+9=0．

16.解：(1)∵M、N分别为SB，SC的中点，∴MN//BC，∵ABCD为正方形，∴BC//AD，则MN//AD，∵MN⊄平面SAD，AD⊂平面SAD，∴MN//平面SAD．(2)由题知SA⊥平面ABCD，AB⊥AD，建立如图所示的空间直角坐标系，

则S0,0,2，A(0,0,0)，D0,2,0，B2,0,0∴M1,0,1，N∴SD=0,2,−2，AD设平面ADNM的一个法向量为n=(x,y,z)则n令x=1，则y=0，z=−1，∴n设直线SD与平面ADNM所成的角为θ，∴sin所以直线SD与平面ADNM所成角的正弦值为12

17.解：(1)设点P(x,y)，则(x−1)2+y2=2(x−4)2+y2，

化简得x2+y2−10x+21=0，即(x−5)2+y2=4，

所以动点P的轨迹C的方程为(x−5)2+y2=4;

(2)由(1)可知点P的轨迹C是以C(5,0)为圆心，2为半径的圆，

可计算得圆心(5,0)到直线l的距离d=4−3=1，

 ①当直线l的斜率不存在时，圆心到直线18.解：(1)

因为折叠前D为PA中点，PA=12，所以PD=AD=6，折叠后，PA=6所以PD2+AD2=PA所以DC//AB，又因为折叠前PA⊥AB，所以DC⊥PA，所以在折叠后PD⊥AD，DC⊥PD，AD⊥DC；以D为坐标原点，DA、DC、DP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则D0,0,0，A6,0,0，B6,12,0，CN为PB中点，所以N3,6,3，CN=3,0,3m=x,y,z，又AP=−6,0,6−6x+6z=012y=0，令x=1，则y=0，z=1，所以m=1,0,1所以CN//m，所以CN⊥平面(2)设Qx0,y0,z0，由且QC=2QN，所以CQ=23所以x0=2，y0=6，z0QA=4,−6,−2，设平面PAQ的法向量为n−2x1−6y1+4z1=0设平面ABCD的法向量为DP=cosn所以平面PAQ与平面ABCD的夹角的余弦值为3(3)设Qx1,y1,z1，所以CQ=λCN，λ∈0,1，即所以Q3λ,6,3λ，AP=−6,0,6设点Q到线段AP的距离为d，d=d=6−3λ2d=18λ2−36λ+54，λ∈则t=18λ−12+36，λ∈所以d∈6,36，由此可知动点Q到线段AP的

19.解：(1)取平面ax+by+cz+d=0内的任意两点Ax1,则ax1+b即n⋅AB=0，所以n故n=(a,b,c)是平面α:ax+by+cz+d=0(2)记平面α1，β1的法向量为α1设直线l的方向向量l=(x,y,z)因为直线l为