专题17-相似三角形中的四心问题专练(一)(解析版)-九下数学专题培优训练

第=page22页，共=sectionpages22页专题17相似三角形中的四心问题专练（一）班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题已知直角三角形的两条直角边长分别为3，4，则该三角形的重心与外心的距离为(    )A.12 B.52 C.53【答案】D【分析】

本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质、重心的性质；熟练掌握勾股定理和重心定理，熟记直角三角形的外心是斜边的中点是解题的关键．

根据勾股定理求出斜边的长度，根据斜边中线长为斜边长的一半求出斜边的中线CD，由重心定理即可得出GD的长．

【解答】

解：如图所示：设D为AB的中点，连接CD，

∵∠ACB=90°，

∴斜边AB=32+42=5，

∴斜边AB的中线CD=12×5=52，

∵直角三角形的外心就为直角三角形斜边上的中点，

∴D为Rt△ABC的外心，

∵重心是三角形中线的交点，故重心G如图，点E为△ABC的内心，过点E作MN // BC交AB于点M，交AC于点N.若AB=7，AC=5，BC=6，则MN的长为(

)A.3.5 B.4 C.5 D.5.5【答案】B【分析】连接EB、EC，如图，利用三角形内心的性质得到∠1=∠2，利用平行线的性质得∠2=∠3，所以∠1=∠3，则BM=ME，同理可得NC=NE，接着证明△AMN∽△ABC，所以MN6=7−BM7，则BM=7−76MN①，同理可得CN=5−56MN②，把两式相加得到MN的方程，然后解方程即可．

本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了相似三角形的判定与性质．

【解答】解：连接EB、EC，如图，

∵点E为△ABC的内心，

∴EB平分∠ABC，EC平分∠ACB，

∴∠1=∠2，

∵MN//BC，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠3，

∴BM=ME，

同理可得NC=NE，

∵MN//BC，

∴△AMN∽△ABC，

∴MNBC=AMAB，即MN6=7−BM在△ABC中，AC=6，AB=14，BC=16，点D是△ABC的内心，过D作DE//AC交BC于E，则DE的长为(    )

A.169 B.163 C.83 【答案】C【分析】过点B作BH//AC，交AD的延长线于点H，由内心的性质可证AB=BH=14，DE=EC，通过证明△ACF∽△HBF，可求CF的长，通过证明△DEF∽△ACF，可求DE的长．

本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的内心的性质，利用相似三角形的性质求出CF的长是本题的关键．

【解答】解：如图，过点B作BH//AC，交AD的延长线于点H，

∵点D是△ABC的内心，

∴∠BAD=∠CAD，∠ACD=∠DCB，

∵DE//AC，BH//AC，

∴∠H=∠DAC，∠EDC=∠ACD，

∴∠H=∠BAD，∠EDC=∠ECD，

∴AB=BH=14，DE=EC，

∵BH//AC，

∴△ACF∽△HBF，

∴ACBH=CFBF，

∴614=CF16−CF

∴CF=245，

∵DE//AC，

∴△DEF∽△ACF，如图，已知点B，D在AC的两侧，E，F分别是△ACD与△ABC的重心，且EF= 2，则BD的长度是(    )

A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【分析】

本题考查三角形的重心的性质，相似三角形的判定和性质；解题的关键是作辅助线，灵活运用三角形重心的性质及相似三角形的判定与性质来解题，

连接DE并延长，交AC于点O，连接BO.根据重心的性质得出FB=2FO，ED=2EO，再证明△EOF∽△DOB，根据相似三角形对应边成比例求出BD=3EF.

【解答】

解：如图，连接DE并延长，交AC于点O，连接BO．

∵点E为△ADC的重心，

∴点O为AC的中点，FB=2FO；

又∵点F为△ABC的重心，

∴点F在线段BO上，ED=2EO；

∴OFOB=OEOD=13，

又∵∠EOF=∠DOB，

∴△EOF∽△DOB，

∴如图，在△ABC中，点O为重心，则S△DOE：S△DCE=(    )

A.1：4

B.1：3

C.1：2

D.2：3

【答案】B【分析】

本题考查的是相似三角形的判定与性质，先根据题意得出DE是△ABC的中位线是解答此题的关键．利用三角形重心的定义得出D是AB的中点，E是AC的中点，根据题意判断出DE是△ABC的中位线，故可得出△ODE∽△OCB，由此可得出ODOC【解答】

解：由三角形重心的定义得出D是AB的中点，E是AC的中点，

∵在△ABC中，两条中线BE，CD相交于点O，

∴DE是△ABC的中位线，

∴△ODE∽△OCB，

∴ODOC=12，

∴ODCD=13，

∵△DOE与△DCE等高，

如图，点G是△ABC的重心，GD//BC，则S△ADG:S△ABC等于(    )．A.2:3 B.4:9 C.2:9 D.无法确定【答案】C【分析】

此题主要考查了相似三角形的判定与性质和三角形重心的性质等知识，根据已知得出SADG：S△ANC=(23)2是解题关键．根据重心的性质得出AGGN=21，以及AGAN=23，即可得出SADG：S△ANC的比值，再利用三角形中线的性质得出S△ANC=S△ABN，进而得出答案．

【解答】

解：延长AG到BC于点N，

∵点G是△ABC的重心，GD//BC，

∴AGGN=21，

∴AGAN=2二、填空题如图，G是△ABC的重心，AG⊥GC，AC=4，则BG的长为__________．【答案】4【分析】

本题考查了三角形重心，直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形重心的定义是关键，延长BG交AC于D点，G是△ABC的重心，故BD为△ABC的中线；又AG⊥GC，故GD为Rt△AGC斜边上的中线，根据直角三角形斜边上中线的性质可知GD=12AC，即可得到BG=2GD=AC．

【解答】

解：如图，延长BG交AC于D点，

∵G是△ABC的重心，

∴BD为△ABC的中线，

又∵AG⊥GC，

∴GD为Rt△AGC斜边上的中线，

∴GD=12AC，

∵G是△ABC如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D.AD与BC相交于点F，连结BE，DC，已知EF=2，CD=5，则AD=_____________．【答案】25【分析】

本题考查的是三角形的内接圆与内心、外接圆与外心，掌握三角形的内心的定义、圆周角定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

根据三角形的内心的定义得到BD=CD，△BDF∽△ADB，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可．

【解答】解：∵点E是△ABC的内心，

∴∠BAD=∠CAD，∠ABE=∠CBE，

∴BD=CD，∴BD=CD=5，

由圆周角定理得，∠CAD=∠CBD，

∵∠DBE=∠CBD+∠CBE，∠DEB=∠BAD+∠ABE，

∴∠DBE=∠DEB.∴DE=DB=5，

∴DF=DE−EF=3，

∵∠DBC=∠BAD，∠BDF=∠ADB，

∴△BDF∽△ADB，∴DF

如图，△ABC中，AB=AC=310，BC=6，且若CD经过△ABC的外心O交AB于D，则CD=______．

【答案】90【分析】延长AO交BC于F，作DE⊥BC于E，如图，证明AF垂直平分BC得到∠AFC=90°，BF=CF=3，再利用勾股定理计算出AF=9，设⊙O的半径为r，则OC=OA=r，OF=9−r，根据勾股定理得到(9−r)2+32=r2，则可解得r=5，设DE=x，EF=y，根据平行线分线段成比例定理，由DE//AF得到DEAF=BEBF，则x=3(3−y)，由OF//DE得4x=33+y，再利用代入消元求出y=1513，然后根据平行线分线段成比例定理，利用OF//DE可求出CD．

本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．也考查了三角形外心和等腰三角形的性质．

【解答】解：延长AO交BC于F，作DE⊥BC于E，如图，

∵AB=AC，OB=OC，

∴AF垂直平分BC，

∴∠AFC=90°，BF=CF=12BC=3，

在Rt△ACF中，AF=(310)2−32=9，

设⊙O的半径为r，则OC=OA=r，OF=9−r，

在Rt△OCF中，(9−r)2+32=r2，解得r=5，

∴OF=4，

设DE=x，EF=y，如图，点G是△ABC的重心，GE//BC，如果BC=12，那么线段GE的长为

．

【答案】4【分析】

本题考查三角形的重心，属于基础题．

先根据三角形重心性质得到AG=2GD，再证明△AGE∼△ADC，根据相似三角形的性质即可计算GE的长．

【解答】

解：因为点G是△ABC的重心，

所以AG=2GD，BD=DC=12BC=6，

因为GE //BC，

所以△AGE∼△ADC，

所以AGAD=GEDC，即GE如图，点G是△ABC的重心，GH⊥BC，垂足为点H，若GH=6，则点A到BC的距离为______

【答案】18【分析】

本题考查的是相似三角形的判定与性质，三角形的重心有关知识，根据题意作图，利用重心的性质AD：GD=3：1，同时还可以求出△ADE∽△GDH，从而得出AD：GD=AE：GH=3：1，根据GH=6即可得出答案．

【解答】

解：设BC的中线是AD，BC的高是AE，

由重心性质可知：

AD：GD=3：1，

∵GH⊥BC，

∴△ADE∽△GDH，

∴AD：GD=AE：GH=3：1，

∴AE=3GH=3×6=18，

三、解答题如图，在4×4的方格中，点A，B，C为格点．

(1)利用无刻度的直尺在图1中画△ABC的中线BE和重心G；

(2)在图2中标注△ABC的外心O并画出外接圆及切线CP．

【分析】(1)根据中线的概念作图；

(2)根据线段垂直平分线的定义作图．

本题主要考查作图−应用与设计作图，解题的关键是掌握三角形的高线、中线以及角平分线的定义．

【解答】解：(1)如图所示，BE和点G即为所求；

(2)如图所示，⊙O和PC即为所求．已知：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB于点D，∠CAB的三等分线AE、AF分别与CD交于点E、F，连结BE并延长与AC交于点M，连结MF并延长与BC交于点N．

(1)求∠ABE的度数；

(2)求证：点F是△BCM的内心；

(3)如图2，若AB=4，点Q为线段BC上一动点，点P是平面内一点，且∠PDQ=90°，DPDQ=12，当点Q从点C运动到点【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握住相似三角形的判定与性质是解答的关键．

(1)根据已知∠ACB=90°，AC=BC，得出CD是△ABC的对称轴，从而找出∠CAB的三等分线，求出∠ABE的度数；

(2)依据三线合一得出∠CAB的三等分线，由对称的性质得出BF是∠MBC的平分线，从而得出结论；

(3)由点H是BD的中点得出BD=CD，然后依据比值得出DHCD=DPDQ，再找出∠CDQ=∠HDP，从而得出△HDP∽△CDQ，然后依据相似三角形的性质逐步解答即可．

【解答】解：(1)∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠CAB=∠CBA=45°，

∵CD⊥AB于点D，

∴直线CD是△ABC的对称轴，

∴∠ABE=∠BAE，

∴AE、AF是∠CAB的三等分线，

∴∠BAE=15°，

∴∠ABE=15°；

(2)连结BF，

由三线合一可知CD是∠ACB的角平分线，

∴AE、AF是∠CAB的三等分线，

∴AF是△AEC的角平分线，

根据轴对称的性质可得：BF是∠MBC的平分线，

∴点F是△BCM的内心；

(3)取BD的中点H，连接HP，

∵点H是BD的中点，BD=CD，

∴DHCD=12，

∴DPDQ=12，

∴DHCD=DPDQ，

∵CD⊥AB，∠PDQ=90°，

∴∠CDQ+∠QDB=90°，∠QDB+∠HDP=90°，

∴∠CDQ=∠HDP，

∴△HDP∽△CDQ，

∴∠DHP=∠DCQ=45°，HPCQ=12如图，在△ABC中，AD为边BC上的中线，且AD平分∠BAC.嘉淇同学先是以A为圆心，任意长为半径画弧，交AD于点P，交AC于点Q，然后以点C为圆心，AP长为半径画弧，交AC于点M，再以M为圆心，PQ长为半径画弧，交前弧于点N，作射线CN，交BA的延长线于点E．

(1)通过嘉淇的作图方法判断AD与CE的位置关系是______，数量关系是______；

(2)求证：AB=AC；

(3)若BC=24，CE=10，求△ABC的内心到BC的距离．【答案】(1)AD//CE；

EC=2AD

；

(2)证明：∵AD//CE，

∴∠BAD=∠E，∠DAC=∠ACE，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠DAC，

∴∠ACE=∠E，

∴AC=AE，

由(1)知△ABD∽△EBC，

∴ABEB=BDBC=12，

∴EB=2AB，即AB=AE，

∴AB=AC．

(3)解：∵BC=24，CE=10，

∴BD=12，AD=5，

∵AB=AC，BD=CD，

∴AD⊥BD，

设△ABC内心到BC距离为r，

∴ABBD=5−rr，【分析】(1)由作图方法可知∠DAC=∠ACE，则AD//CE，根据BC=2BD，可证CE=2AD；

(2)由(1)知△ABD∽△EBC，证出BE=2AB，得AB=AE，又AC=AE，则AB=AC；

(3)设△ABC内心到BC距离为r，可得ABBD=5−rr，即可求出r．

本题是圆的综合题目，考查了内心的定义、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识．

【解答】解：(1)∵嘉淇的作图方法可知∠DAC=∠ACE，

∴AD//CE，

∴△ABD∽△EBC，

∴BDBC=ADCE，

∵AD为边BC上的中线，

∴BC=2BD，

∴CE=2AD，

故答案为：AD//CE，EC=2AD；

(2)证明：∵AD//CE，

∴∠BAD=∠E，∠DAC=∠ACE，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠DAC，

∴∠ACE=∠E，

∴AC=AE，

由(1)知△ABD∽△EBC，

∴ABEB=BDBC=12，

∴EB=2AB，即AB=AE，

∴AB=AC．

(3)解：∵BC=24，CE=10，

∴BD=12，AD=5，

∵AB=AC，BD=CD，

∴AD⊥BD，

设△ABC内心到BC距离为r，如图：AB是⊙O的直径，AC交⊙O于G，E是AG上一点，D为△BCE内心，BE交AD于F，且∠DBE=∠BAD．

(1)求证：BC是⊙O的切线；

(2)求证：DF=DG；

(3)若∠ADG=45°，DF=1，则有两个结论：①AD⋅BD的值不变；②AD−BD的值不变，其中有且只有一个结论正确，请选择正确的结论，证明并求其值．【分析】(1)先证∠DBC=∠BAD，再证∠DBC+∠ABD=90°，即∠ABC=90°，可得出结论；

(2)如图1，连接DE，分别证∠BFD=∠ABD，∠BFD=∠DGC，则∠DFE=∠DGE，因为D为△BCE内心，所以∠DEG=∠DEB，可得△DEF≌△DEG，即可得出结论；

(3)先判断AD−BD的值不变，如图2，在AD上截取DH=BD，连接BH、BG，先证AB=2BG，BD=DH，再证△ABH∽△GBD，求出AH的长，即可证明AD−BD=2．

本题考查了圆的有关概念及性质，切线的判定定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，综合性质较强，解题关键是能够熟练掌握各方面的知识，并能够灵活运用圆的有概念及性质和相似三角形的判定与性质等．

【解答】(1)证明：∵D为△BCE内心，

∴∠DBC=∠DBE，

∵∠DBE=∠BAD．

∴∠DBC=∠BAD，

∵AB是⊙O

的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠BAD+∠ABD=90°，

∴∠DBC+∠ABD=90°，即∠ABC=90°，

∴AB⊥BC，

∴BC是⊙O

的切线；

(2)证明：如图1，连接DE，

∵∠DBC=∠BAD，∠DBC=∠DBE，

∴∠DBE=∠BAD，

∴∠ABF+∠BAD=∠ABF+∠DBE，

∴∠BFD=∠ABD，

∵∠DGC=∠ABD，

∴∠BFD=∠DGC，

∴∠DFE=∠DGE，

∵D为△BCE内心，

∴∠DEG=∠DEB，

在△DEF和△DEG中∠DFE=∠DGE∠DEG=∠DEFDE=DE，

∴△DEF≌△DEG(AAS)，

∴DF=DG；

(3)解：AD−BD的值不变；

如图2，在AD上截取DH=BD，连接BH、BG，

∵AB是直径，

∴∠ADB=∠AGB=90°，

∵∠ADG=45°，

∴∠ABG=∠ADG=45°，

∴AB=2BG，

∵∠BDH=90°，BD=DH，

∴∠BHD=45°，

∴∠AHB=180°−45°=135°，

∵∠BDG=∠ADB+∠ADG=90°+45°=135°，

∴∠AHB=∠BDG，

∵∠BAD=∠BGD，

∴△ABH∽△GBD，

∴AHDG=ABBG=2，

如图1，P为△ABC内一点，连接PA，PB，PC，在△PAB，△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．

(1)如图2，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC>∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E.试说明E是△ABC的自相似点；(2)在△ABC中，∠A<∠B<∠C．

(i)如图3，利用尺规作出△ABC的自相似点P(写出作法并保留作图痕迹)；

(ii)若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．(内心是三角形三个内角的角平分线交点)【分析】此题主要考查了相似三角形的判定以及三角形的内心作法和作一角等于已知角，此题综合性较强，注意从已知分析获取正确的信息是解决问题的关键．

(1)根据已知条件得出∠BEC=∠ACB，以及∠BCE=∠ABC，得出△BCE∽△ABC，即可得出结论；

(2)(i)根据作一角等于已知角即可得出△ABC的自相似点；

(ii)根据∠PBC=∠A，∠BCP=∠ABC=∠2∠PBC=2∠A，∠ACB=2∠BCP=4∠A，即可得出各内角的度数．

【解答】解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB上的中线，

∴CD=12AB，

∴CD=BD，

∴∠BCE=∠ABC，

∵BE⊥CD，∴∠BEC=90°，

∴∠BEC=∠ACB，

∴△BCE∽△ABC，

∴E是△ABC的自相似点；

作法：①在∠ABC内，作∠CBD=∠A，②在∠ACB内，作∠BCE=∠ABC，BD交CE于点P，

则P为△ABC的自相似点；(ii)∵P是△ABC的内心，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB，

∵△ABC的内心P是该三角形的自相似点，

∴∠PBC=∠A，∠BCP=∠ABC=2∠PBC=2∠A，∠ACB=2∠BCP=4∠A，

∴∠A+2∠A+4∠A=180°，

∴∠A=180°7，

我们知道：三角形三条角平分线